Модель жесткого шестиугольника - Hard hexagon model

В статистическая механика, то модель жесткого шестиугольника является двумерным решетчатая модель газа, где частицы могут находиться в вершинах треугольная решетка но никакие две частицы не могут быть смежными.

Модель решена Бакстер  (1980 ), который обнаружил, что это связано с Роджерс-Рамануджан идентичности.

Статистическая сумма модели жесткого шестиугольника

Модель жесткого шестиугольника возникает в рамках большой канонический ансамбль, где общее количество частиц ("шестиугольников") может изменяться естественным образом и фиксируется химический потенциал. В модели жесткого шестиугольника все допустимые состояния имеют нулевую энергию, поэтому единственной важной термодинамической регулирующей переменной является отношение химического потенциала к температуре. μ/(kT). Экспонента этого отношения, z = ехр (μ/(kT)) называется Мероприятия а большие значения примерно соответствуют более плотным конфигурациям.

Для треугольной решетки с N сайты, большая функция раздела является

${displaystyle displaystyle {mathcal {Z}} (z) = sum _ {n} z ^ {n} g (n, N) = 1 + Nz + {frac {1} {2}} N (N-7) z ^ {2} + cdots}$

куда грамм(п, N) - количество способов размещения п частицы на разных узлах решетки, так что никакие 2 не могут быть смежными. Функция κ определяется формулой

${displaystyle kappa (z) = lim _ {Nightarrow infty} {mathcal {Z}} (z) ^ {1 / N} = 1 + z-3z ^ {2} + cdots}$

так что log (κ) - это свободная энергия на единицу сайта. Решение модели жесткого шестиугольника означает (примерно) нахождение точного выражения для κ как функции z.

В средняя плотность ρ дан для малых z к

${displaystyle ho = z {frac {dlog (kappa)} {dz}} = z-7z ^ {2} + 58z ^ {3} -519z ^ {4} + 4856z ^ {5} + cdots.}$

Вершины решетки делятся на 3 класса, пронумерованные 1, 2 и 3, что определяется тремя различными способами заполнения пространства твердыми шестиугольниками. Есть 3 локальные плотности ρ₁, ρ₂, ρ₃, соответствующие 3 классам сайтов. Когда активность велика, система приближается к одной из этих трех упаковок, поэтому локальные плотности различаются, но когда активность ниже критической точки, три локальные плотности одинаковы. Критическая точка, отделяющая низкоактивную гомогенную фазу от высокоактивной упорядоченной фазы, равна ${displaystyle z_ {c} = (11 + 5 {sqrt {5}}) / 2 = phi ^ {5} = 11.09017 ....}$ с Золотое сечение φ. Выше критической точки локальные плотности различаются, и в фазе, где большинство шестиугольников находится в узлах типа 1, можно расширить как

${displaystyle ho _ {1} = 1-z ^ {- 1} -5z ^ {- 2} -34z ^ {- 3} -267z ^ {- 4} -2037z ^ {- 5} -cdots}$

${displaystyle ho _ {2} = ho _ {3} = z ^ {- 2} + 9z ^ {- 3} + 80z ^ {- 4} + 965z ^ {- 5} -cdots.}$

Решение

Решение дано для малых значений z < z_c к

${displaystyle displaystyle z = {гидроразрыв {-xH (x) ^ {5}} {G (x) ^ {5}}}}$

${displaystyle kappa = {frac {H (x) ^ {3} Q (x ^ {5}) ^ {2}} {G (x) ^ {2}}} prod _ {ngeq 1} {frac {(1 -x ^ {6n-4}) (1-x ^ {6n-3}) ^ {2} (1-x ^ {6n-2})} {(1-x ^ {6n-5}) (1 -x ^ {6n-1}) (1-x ^ {6n}) ^ {2}}}}$

${displaystyle ho = ho _ {1} = ho _ {2} = ho _ {3} = {frac {-xG (x) H (x ^ {6}) P (x ^ {3})} {P ( Икс)}}}$

куда

${displaystyle G (x) = prod _ {ngeq 1} {frac {1} {(1-x ^ {5n-4}) (1-x ^ {5n-1})}}}$

${displaystyle H (x) = prod _ {ngeq 1} {frac {1} {(1-x ^ {5n-3}) (1-x ^ {5n-2})}}}$

${displaystyle P (x) = prod _ {ngeq 1} (1-x ^ {2n-1}) = Q (x) / Q (x ^ {2})}$

${displaystyle Q (x) = prod _ {ngeq 1} (1-x ^ {n}).}$

Для больших z > z_c решение (в фазе, когда большинство занятых участков имеют тип 1) дается выражением

${displaystyle displaystyle z = {гидроразрыв {G (x) ^ {5}} {xH (x) ^ {5}}}}$

${displaystyle kappa = x ^ {- {frac {1} {3}}} {frac {G (x) ^ {3} Q (x ^ {5}) ^ {2}} {H (x) ^ {2 }}} prod _ {ngeq 1} {frac {(1-x ^ {3n-2}) (1-x ^ {3n-1})} {(1-x ^ {3n}) ^ {2}} }}$

${displaystyle ho _ {1} = {гидроразрыв {H (x) Q (x) (G (x) Q (x) + x ^ {2} H (x ^ {9}) Q (x ^ {9})) )} {Q (x ^ {3}) ^ {2}}}}$

${displaystyle ho _ {2} = ho _ {3} = {frac {x ^ {2} H (x) Q (x) H (x ^ {9}) Q (x ^ {9})} {Q ( х ^ {3}) ^ {2}}}}$

${displaystyle R = ho _ {1} -ho _ {2} = {frac {Q (x) Q (x ^ {5})} {Q (x ^ {3}) ^ {2}}}.}$

Функции грамм и ЧАС появиться в Роджерс-Рамануджан идентичности, а функция Q это Функция Эйлера, который тесно связан с Функция Дедекинда эта. Если Икс = e^2πiτ, тогда q^−1/60грамм(Икс), Икс^11/60ЧАС(Икс), Икс^−1/24п(Икс), z, κ, ρ, ρ₁, ρ₂, а ρ₃ находятся модульные функции τ, а Икс^1/24Q(Икс) является модульной формой веса 1/2. Поскольку любые две модулярные функции связаны алгебраическим соотношением, отсюда следует, что функции κ, z, р, ρ являются алгебраическими функциями друг друга (достаточно высокой степени) (Джойс 1988 ).

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э. (1981), «Модель жесткого шестиугольника и тождества типа Роджерса-Рамануджана», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 78 (9): 5290–5292, Bibcode:1981PNAS ... 78.5290A, Дои:10.1073 / пнас.78.9.5290, ISSN  0027-8424, МИСТЕР  0629656, ЧВК  348728, PMID  16593082
• Бакстер, Родни Дж. (1980), "Жесткие шестиугольники: точное решение", Журнал физики A: математические и общие, 13 (3): L61 – L70, Bibcode:1980JPhA ... 13L..61B, Дои:10.1088/0305-4470/13/3/007, ISSN  0305-4470, МИСТЕР  0560533
• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решаемые модели в статистической механике (PDF), Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-083180-7, МИСТЕР  0690578
• Джойс, Г. С. (1988), "Точные результаты для активности и изотермической сжимаемости модели жесткого шестиугольника", Журнал физики A: математические и общие, 21 (20): L983 – L988, Bibcode:1988JPhA ... 21L.983J, Дои:10.1088/0305-4470/21/20/005, ISSN  0305-4470, МИСТЕР  0966792
• Exton, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения, Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Константа энтропии жесткого шестиугольника». MathWorld.