Релятивистские волновые уравнения - Википедия - Relativistic wave equations

Часть серии на
Квантовая механика
${ Displaystyle я HBAR { гидроразрыва { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Goudsmit Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Море Дирака Теория возмущений Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Квантовая геометрия Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая гравитация Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин

В физика, конкретно релятивистская квантовая механика (RQM) и его приложения к физика элементарных частиц, релятивистские волновые уравнения предсказывать поведение частицы на высоком энергии и скорости сопоставимо с скорость света. В контексте квантовая теория поля (QFT) уравнения определяют динамику квантовые поля Решения уравнений, универсально обозначаемые как ψ или же Ψ (Греческий psi ), называются "волновые функции "в контексте RQM, и"поля "в контексте КТП. Сами уравнения называются" волновыми уравнениями "или" уравнениями поля ", потому что они имеют математическую форму волновое уравнение или генерируются из Плотность лагранжиана и теоретико-полевые Уравнения Эйлера – Лагранжа. (видеть классическая теория поля для фона).

в Картина Шредингера, волновая функция или поле является решением Уравнение Шредингера;

${ displaystyle i hbar { frac { partial} { partial t}} psi = { hat {H}} psi}$

один из постулаты квантовой механики. Все релятивистские волновые уравнения можно построить, задав различные формы Гамильтонов оператор ЧАС описывая квантовая система. В качестве альтернативы, Фейнман с формулировка интеграла по путям использует лагранжиан, а не гамильтонов оператор.

В более общем плане - современный формализм релятивистских волновых уравнений таков: Группа Лоренца теория, в которой спин частицы соответствует представления группы Лоренца.^[1]

История

Начало 1920-х: классическая и квантовая механика

Провал классическая механика применительно к молекулярный, атомный, и ядерный систем и меньше вызвали потребность в новой механике: квантовая механика. Математическая формулировка была проведена Де Бройль, Бор, Шредингер, Паули, и Гейзенберг, и другие, примерно в середине 1920-х годов, и в то время было аналогом классической механики. В Уравнение Шредингера и Картинка Гейзенберга напоминают классический уравнения движения в пределе большого квантовые числа и как сокращенный Постоянная Планка час, квант действие, стремится к нулю. Это принцип соответствия. На этой точке, специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга, как первоначально предлагалось, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся вблизи скорость света, или при изменении количества частиц каждого типа (это происходит в реальной взаимодействия частиц; многочисленные формы частицы распадаются, уничтожение, создание материи, парное производство, и так далее).

Конец 1920-х: релятивистская квантовая механика спина-0 и спина-1/2 частицы

Описание квантово-механических систем, которые могли бы объяснить релятивистский эффекты искали многие физики-теоретики; с конца 1920-х до середины 1940-х гг.^[2] Первая основа для релятивистская квантовая механика, т.е. специальная теория относительности, применяемая вместе с квантовой механикой, была обнаружена всеми, кто открыл то, что часто называют Уравнение Клейна – Гордона:

${ displaystyle - hbar ^ {2} { frac { partial ^ {2} psi} { partial t ^ {2}}} + ( hbar c) ^ {2} nabla ^ {2} psi = (mc ^ {2}) ^ {2} psi ,,}$

(1)

вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистский соотношение энергия-импульс:

${ Displaystyle E ^ {2} - (ПК) ^ {2} = (mc ^ {2}) ^ {2} ,,}$

(2)

Решения (1) находятся скалярные поля. Уравнение KG нежелательно из-за его предсказания отрицательный энергии и вероятности, в результате квадратичный природа (2) - неизбежное в релятивистской теории. Это уравнение было первоначально предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам, только чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называют Уравнение Шредингера ) по-прежнему было важным. Тем не менее, - (1) применимо к спину 0 бозоны.^[3]

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могли предсказать тонкая структура в Спектральная серия водорода. Таинственное основное свойство было вращение. Первый двумерный спиновые матрицы (более известный как Матрицы Паули ) были представлены Паули в Уравнение Паули; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающим дополнительный член для частиц в магнитные поля, но это было феноменологический. Weyl нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; то Уравнение Вейля, за безмассовый вращение-1/2 фермионы. Проблема была решена Дирак в конце 1920-х годов, когда он продвинул применение уравнения (2) к электрон - различными манипуляциями факторизовал уравнение в виде:

${ displaystyle left ({ frac {E} {c}} - { boldsymbol { alpha}} cdot mathbf {p} - beta mc right) left ({ frac {E} {c }} + { boldsymbol { alpha}} cdot mathbf {p} + beta mc right) psi = 0 ,,}$

(3А)

и одним из этих факторов является Уравнение Дирака (см. ниже) после вставки операторов энергии и импульса. Впервые введены новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистском волновом уравнении и объяснил тонкую структуру водорода. Решения (3А) являются многокомпонентными спинорные поля, и каждый компонент удовлетворяет (1). Замечательный результат спинорных решений состоит в том, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина описывает античастица; в этом случае электрон и позитрон. Теперь известно, что уравнение Дирака применимо для всех массивных вращение-1/2 фермионы. В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, а в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Хотя уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно верно только для спиновых1/2 фермионов, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, которые вызывали разногласия в то время (в частности, не всем физикам нравилось "Море Дирака «состояний с отрицательной энергией).

1930–1960-е годы: релятивистская квантовая механика частиц высших спинов.

Стала ясна естественная проблема: обобщить уравнение Дирака на частицы с любое вращение; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно из-за спинор формализм, введенный Дираком в его уравнение, и недавние разработки спинорного исчисления ван дер Варден в 1929 г.), а в идеале - с решениями с положительной энергией.^[2]

Это было введено и решено Майораном в 1932 году, отклонившись от Дирака. Майорана считается одним из «корней» (3А):

${ displaystyle left ({ frac {E} {c}} + { boldsymbol { alpha}} cdot mathbf {p} - beta mc right) psi = 0 ,,}$

(3B)

куда ψ теперь спинорное поле с бесконечным числом компонент, неприводимое к конечному числу тензоры или спиноры, чтобы убрать неопределенность в знаке. В матрицы α и β - бесконечномерные матрицы, связанные с бесконечно малыми Преобразования Лоренца. Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B чтобы удовлетворить уравнению (2), вместо этого он восстановил уравнение, используя Лоренц-инвариантный действие, через принцип наименьшего действия, и применение Группа Лоренца теория.^[4][5]

Майорана внес и другие важные вклады, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различной размерности (5, 6 и 16). Их предвосхитили позже (более активно) де Бройль (1934) и Даффин, Кеммер и Петио (около 1938–1939) см. Алгебра Даффина – Кеммера – Петио. Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новым математическим инструментом в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнер потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году.^[2]

Дирак в 1936 г. и Фирц и Паули в 1939 г. построили уравнения из неприводимых спиноров. А и Bсимметричной по всем индексам для массивной частицы со спином п + ½ для целого числа п (видеть Обозначения Ван дер Вардена для значения пунктирных индексов):

${ displaystyle p _ { gamma { dot { alpha}}} A _ { epsilon _ {1} epsilon _ {2} cdots epsilon _ {n}} ^ {{ dot { alpha}} { dot { beta}} _ {1} { dot { beta}} _ {2} cdots { dot { beta}} _ {n}} = mcB _ { gamma epsilon _ {1} epsilon _ {2} cdots epsilon _ {n}} ^ {{ dot { beta}} _ {1} { dot { beta}} _ {2} cdots { dot { beta}} _ {n}}}$

(4А)

${ displaystyle p ^ { gamma { dot { alpha}}} B _ { gamma epsilon _ {1} epsilon _ {2} cdots epsilon _ {n}} ^ {{ dot { beta }} _ {1} { dot { beta}} _ {2} cdots { dot { beta}} _ {n}} = mcA _ { epsilon _ {1} epsilon _ {2} cdots epsilon _ {n}} ^ {{ dot { alpha}} { dot { beta}} _ {1} { dot { beta}} _ {2} cdots { dot { beta} } _ {n}}}$

(4B)

куда п - импульс как ковариантный спинорный оператор. За п = 0, уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака и А и B вместе трансформируются как оригинал Спинор Дирака. Устранение либо А или же B показывает, что А и B каждый выполнить (1).^[2]

В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на спин-³⁄₂ частиц и получил Уравнение Рариты – Швингера, включая Лагранжиан для его генерации, а затем обобщил уравнения, аналогичные спину п + ½ для целого числа п. В 1945 году Паули предложил опубликовать статью Майораны 1932 года. Бхабха, который вернулся к общим идеям, представленным Майораном в 1932 году. Бхабха и Любански предложили полностью общую систему уравнений, заменив массовые члены в (3А) и (3B) произвольной константой при соблюдении набора условий, которым должны подчиняться волновые функции.^[6]

Наконец, в 1948 году (в том же году, что и Фейнман с формулировка интеграла по путям был отлит), Bargmann и Вигнер сформулировал общее уравнение для массивных частиц, которые могут иметь любой спин, рассматривая уравнение Дирака с полностью симметричным конечнокомпонентным спинором и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): Уравнения Баргмана – Вигнера.^[2][7] В начале 1960-х годов переформулировка уравнений Баргмана – Вигнера была сделана Х. Джус и Стивен Вайнберг, то Уравнение Джооса – Вайнберга. В то время различные теоретики проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высокими спинами.^[1][8][9]

1960-е годы по настоящее время

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной задачей в квантовой теории. Это все еще область современных исследований, потому что проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют.^[5]

Линейные уравнения

Следующие уравнения имеют решения, удовлетворяющие принцип суперпозиции, т.е. волновые функции равны добавка.

Повсюду стандартные соглашения обозначение тензорного индекса и Обозначение слэша Фейнмана используются, включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобных компонентов индексируемых величин. Обозначим волновые функции ψ, и ∂_μ компоненты четырехступенчатый оператор.

В матрица уравнения, Матрицы Паули обозначаются σ^μ в котором μ = 0, 1, 2, 3, куда σ⁰ это 2 × 2 единичная матрица:

${ displaystyle sigma ^ {0} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$

а остальные матрицы имеют свои обычные представления. Выражение

${ Displaystyle sigma ^ { mu} partial _ { mu} Equiv sigma ^ {0} partial _ {0} + sigma ^ {1} partial _ {1} + sigma ^ {2 } partial _ {2} + sigma ^ {3} partial _ {3}}$

это 2 × 2 матрица оператор действующий на 2-компонентный спинорные поля.

В гамма-матрицы обозначаются γ^μ, в котором снова μ = 0, 1, 2, 3, и есть несколько представлений на выбор. Матрица γ⁰ является нет обязательно 4 × 4 единичная матрица. Выражение

${ displaystyle i hbar gamma ^ { mu} partial _ { mu} + mc Equiv i hbar ( gamma ^ {0} partial _ {0} + gamma ^ {1} partial _ {1} + gamma ^ {2} partial _ {2} + gamma ^ {3} partial _ {3}) + mc { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$

это 4 × 4 матрица оператор который действует на 4-компонентный спинорные поля.

Обратите внимание, что такие термины, как "MC" скалярное умножение ан единичная матрица соответствующих измерение, общие размеры 2 × 2 или же 4 × 4, и являются условно не написано для простоты.

Частицы квантовое число спина s	Имя	Уравнение	Типичные частицы, описываемые уравнением
0	Уравнение Клейна – Гордона	${ Displaystyle ( hbar partial _ { mu} + imc) ( hbar partial ^ { mu} -imc) psi = 0}$	Безмассовая или массивная частица со спином 0 (например, Бозоны Хиггса ).
1/2	Уравнение Вейля	${ Displaystyle sigma ^ { mu} partial _ { mu} psi = 0}$	Безмассовые частицы со спином 1/2.
	Уравнение Дирака	${ displaystyle left (я hbar partial ! ! ! / - mc right) psi = 0}$	Массивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны ).
	Двухчастичные уравнения Дирака	${ displaystyle [( gamma _ {1}) _ { mu} (p_ {1} - { tilde {A}} _ {1}) ^ { mu} + m_ {1} + { tilde { S}} _ {1}] Psi = 0,}$ ${ displaystyle [( gamma _ {2}) _ { mu} (p_ {2} - { tilde {A}} _ {2}) ^ { mu} + m_ {2} + { tilde { S}} _ {2}] Psi = 0.}$	Массивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны ).
	Уравнение майорана	${ displaystyle i hbar partial ! ! ! / psi -mc psi _ {c} = 0}$	Массивный Майорановые частицы.
	Уравнение Брейта	${ Displaystyle я hbar { гидроразрыва { partial Psi} { partial t}} = left ( sum _ {i} { hat {H}} _ {D} (i) + sum _ { i> j} { frac {1} {r_ {ij}}} - sum _ {i> j} { hat {B}} _ {ij} right) Psi}$	Две массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны ) электромагнитно взаимодействуют в первом порядке теории возмущений.
1	Уравнения Максвелла (в QED с использованием Датчик Лоренца )	${ Displaystyle partial _ { mu} partial ^ { mu} A ^ { nu} = е { overline { psi}} gamma ^ { nu} psi}$	Фотоны, безмассовые частицы со спином 1.
	Уравнение Прока	${ Displaystyle partial _ { mu} ( partial ^ { mu} A ^ { nu} - partial ^ { nu} A ^ { mu}) + left ({ frac {mc} { hbar}} right) ^ {2} A ^ { nu} = 0}$	Массивная частица со спином 1 (например, W- и Z-бозоны ).
3/2	Уравнение Рариты – Швингера	${ displaystyle epsilon ^ { mu nu rho sigma} gamma ^ {5} gamma _ { nu} partial _ { rho} psi _ { sigma} + m psi ^ { mu} = 0}$	Массивные частицы со спином 3/2.
s	Уравнения Баргмана – Вигнера	${ displaystyle (-i hbar gamma ^ { mu} partial _ { mu} + mc) _ { alpha _ {1} alpha _ {1} '} psi _ { alpha' _ { 1} alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2s}} = 0}$ ${ displaystyle (-i hbar gamma ^ { mu} partial _ { mu} + mc) _ { alpha _ {2} alpha _ {2} '} psi _ { alpha _ {1 } alpha '_ {2} alpha _ {3} cdots alpha _ {2s}} = 0}$ ${ Displaystyle qquad vdots}$ ${ displaystyle (-i hbar gamma ^ { mu} partial _ { mu} + mc) _ { alpha _ {2s} alpha '_ {2s}} psi _ { alpha _ {1 } alpha _ {2} alpha _ {3} cdots alpha '_ {2s}} = 0}$ куда ψ ранг-2s 4-х компонентный спинор.	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).[8][10]
	Уравнение Джооса – Вайнберга	${ displaystyle [(я hbar) ^ {2s} gamma ^ { mu _ {1} mu _ {2} cdots mu _ {2s}} partial _ { mu _ {1}} partial _ { mu _ {2}} cdots partial _ { mu _ {2s}} + (mc) ^ {2s}] psi = 0}$	Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).

Линейные калибровочные поля

В Уравнение Даффина – Кеммера – Петио. альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:

${ displaystyle (я hbar beta ^ {a} partial _ {a} -mc) psi = 0}$

Строительство RWE

Используя 4-векторы и соотношение энергии-импульса

Начни со стандарта специальная теория относительности (SR) 4-вектора

4 позиции ${ Displaystyle X ^ { mu} = mathbf {X} = (ct, { vec { mathbf {x}}})}$

4-скоростной ${ Displaystyle U ^ { mu} = mathbf {U} = gamma (с, { vec { mathbf {u}}})}$

4-импульс ${ Displaystyle P ^ { mu} = mathbf {P} = left ({ frac {E} {c}}, { vec { mathbf {p}}} right)}$

4-волновой вектор ${ displaystyle K ^ { mu} = mathbf {K} = left ({ frac { omega} {c}}, { vec { mathbf {k}}} right)}$

4-градиентный ${ Displaystyle partial ^ { mu} = mathbf { partial} = left ({ frac { partial _ {t}} {c}}, - { vec { mathbf { nabla}}} верно)}$

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим Скаляр Лоренца:

${ Displaystyle mathbf {U} = { frac {d} {d tau}} mathbf {X}}$, куда ${ Displaystyle тау}$ это подходящее время

${ Displaystyle mathbf {P} = m_ {o} mathbf {U}}$, куда ${ displaystyle m_ {o}}$ это масса покоя

${ Displaystyle mathbf {K} = (1 / HBAR) mathbf {P}}$, какой 4-вектор версия Соотношение Планка – Эйнштейна и де Бройль волна материи связь

${ Displaystyle mathbf { partial} = -i mathbf {K}}$, какой 4-градиентный версия комплексный плоские волны

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

${ Displaystyle mathbf {U} cdot mathbf {U} = (с) ^ {2}}$

${ Displaystyle mathbf {P} cdot mathbf {P} = (m_ {o} c) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf {K} cdot mathbf {K} = left ({ frac {m_ {o} c} { hbar}} right) ^ {2}}$

${ displaystyle mathbf { partial} cdot mathbf { partial} = left ({ frac {-im_ {o} c} { hbar}} right) ^ {2} = - left ({ frac {m_ {o} c} { hbar}} right) ^ {2}}$

Последнее уравнение является фундаментальным квантовым соотношением.

Применительно к скалярному полю Лоренца ${ displaystyle psi}$, мы получаем уравнение Клейна – Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.

${ displaystyle [ mathbf { partial} cdot mathbf { partial} + left ({ frac {m_ {o} c} { hbar}} right) ^ {2}] psi = 0}$: в 4-векторном формате

${ displaystyle [ partial _ { mu} partial ^ { mu} + left ({ frac {m_ {o} c} { hbar}} right) ^ {2}] psi = 0}$: в тензорном формате

${ displaystyle [( hbar partial _ { mu} + im_ {o} c) ( hbar partial ^ { mu} -im_ {o} c)] psi = 0}$: в факторизованном тензорном формате

В Уравнение Шредингера это низкоскоростной предельный случай (v << c) из Уравнение Клейна – Гордона.

Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю ${ displaystyle A ^ { mu}}$ вместо скалярного поля Лоренца ${ displaystyle psi}$, то получается Уравнение Прока (в Датчик Лоренца ):

${ displaystyle [ mathbf { partial} cdot mathbf { partial} + left ({ frac {m_ {o} c} { hbar}} right) ^ {2}] A ^ { mu } = 0}$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободный Уравнение Максвелла (в Датчик Лоренца )

${ Displaystyle [ mathbf { partial} cdot mathbf { partial}] A ^ { mu} = 0}$

Представления группы Лоренца.

Под надлежащим ортохронный Преобразование Лоренца Икс → ΛИкс в Пространство Минковского, все одночастичные квантовые состояния ψ^j_σ спина j со спиновой z-компонентой σ локально преобразовать под некоторыми представление D из Группа Лоренца:^[11][12]

${ Displaystyle psi (x) rightarrow D ( Lambda) psi ( Lambda ^ {- 1} x)}$

куда D(Λ) - некоторое конечномерное представление, т.е. матрица. Здесь ψ считается вектор столбца содержащие компоненты с допустимыми значениями σ. В квантовые числа j и σ а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение σ может происходить более одного раза в зависимости от представления. Представления с несколькими возможными значениями для j рассматриваются ниже.

В неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел (А, B). Все остальные представления могут быть построены с использованием различных стандартных методов, таких как взятие тензорные произведения и прямые суммы. Особенно, пространство-время сам по себе представляет собой 4-вектор представление (1/2, 1/2) так что Λ ∈ D '^{(1/2, 1/2)}. Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразовать под (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) представление. В целом (А, B) пространство представления имеет подпространства что под подгруппа пространственных вращения, ТАК (3), преобразовываются несводимо, как объекты вращения j, где каждое допустимое значение:

${ Displaystyle J = А + В, А + В-1, ..., | А-В |,}$

происходит ровно один раз.^[13] В целом, тензорные произведения неприводимых представлений приводимы; они разлагаются как прямые суммы неприводимых представлений.

Представления D^{(j, 0)} и D^{(0, j)} может каждая отдельно представлять частицы спина j. Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения

Есть уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные калибровочные поля

• Уравнение Янга – Миллса: описывает неабелево калибровочное поле
• Уравнения Янга – Миллса – Хиггса: описывает неабелево калибровочное поле, связанное с массивной частицей со спином 0

Спин 2

• Уравнения поля Эйнштейна: описать взаимодействие материи с гравитационное поле (безмассовое поле спина 2):

${ Displaystyle R _ { mu nu} - {1 over 2} g _ { mu nu} , R + g _ { mu nu} Lambda = {8 pi G over c ^ {4} } Т _ { mu nu}}$

Решение - это метрика тензорное поле, а не волновая функция.

Смотрите также

• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Преобразования Лоренца
• Математические описания электромагнитного поля
• Минимальное сцепление
• Теория скалярного поля
• Статус специальной теории относительности

Рекомендации

дальнейшее чтение