Формула Даламбера - Википедия - dAlemberts formula

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Формула Даламбера»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Сентябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, и в частности уравнения в частных производных (PDE), формула даламбера является общим решением одномерной волновое уравнение ${ Displaystyle и_ {tt} (х, т) = с ^ {2} и_ {хх} (х, т)}$ (где нижние индексы указывают частичная дифференциация, с использованием оператор Даламбера, PDE становится: ${ displaystyle Box u = 0}$).

Решение зависит от первоначальные условия в ${ displaystyle t = 0}$: ${ Displaystyle и (х, 0)}$ и ${ Displaystyle и_ {т} (х, 0)}$Состоит из отдельных условий начальных условий. ${ Displaystyle и (х, 0)}$ и ${ Displaystyle и_ {т} (х, 0)}$:

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {2}} left [u (x-ct, 0) + u (x + ct, 0) right] + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct} ^ {x + ct} u_ {t} ( xi, 0) , d xi.}$

Назван в честь математика. Жан ле Ронд д'Аламбер, который вывел его в 1747 году как решение проблемы вибрирующая струна.^[1]

Подробности

В характеристики PDE являются ${ Displaystyle х pm ct = mathrm {const} ,}$, поэтому мы можем использовать замену переменных ${ Displaystyle му = х + ct, eta = x-ct ,}$ преобразовать PDE в ${ Displaystyle и _ { му eta} = 0 ,}$. Общее решение этой PDE: ${ Displaystyle и ( му, эта) = F ( му) + G ( эта) ,}$ куда ${ Displaystyle F ,}$ и ${ Displaystyle G ,}$ находятся ${ Displaystyle С ^ {1} ,}$ функции. Назад в ${ Displaystyle х, т ,}$ координаты,

${ Displaystyle и (х, т) = F (х + ct) + G (x-ct) ,}$

${ Displaystyle и ,}$ является ${ Displaystyle С ^ {2} ,}$ если ${ Displaystyle F ,}$ и ${ Displaystyle G ,}$ находятся ${ Displaystyle С ^ {2} ,}$.

Это решение ${ Displaystyle и ,}$ можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью ${ displaystyle c ,}$ движется в противоположных направлениях по оси x.

Теперь рассмотрим это решение с Данные Коши ${ Displaystyle и (х, 0) = г (х), и_ {т} (х, 0) = час (х) ,}$.

С помощью ${ Displaystyle и (х, 0) = г (х) ,}$ мы получили ${ Displaystyle F (х) + г (х) = г (х) ,}$.

С помощью ${ Displaystyle и_ {т} (х, 0) = час (х) ,}$ мы получили ${ Displaystyle cF '(х) -cG' (х) = час (х) ,}$.

Мы можем проинтегрировать последнее уравнение, чтобы получить

${ Displaystyle cF (x) -cG (x) = int _ {- infty} ^ {x} h ( xi) , d xi + c_ {1}. ,}$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы получить

${ Displaystyle F (x) = { frac {-1} {2c}} left (-cg (x) - left ( int _ {- infty} ^ {x} h ( xi) , d xi + c_ {1} right) right) ,}$

${ Displaystyle G (x) = { frac {-1} {2c}} left (-cg (x) + left ( int _ {- infty} ^ {x} h ( xi) d xi + c_ {1} right) right). ,}$

Теперь, используя

${ Displaystyle и (х, т) = F (х + ct) + G (x-ct) ,}$

Формула Даламбера принимает следующий вид:

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} {2}} left [g (x-ct) + g (x + ct) right] + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct} ^ {x + ct} h ( xi) , d xi.}$^[2]

Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений

Общий вид неоднородный дифференциальное уравнение канонического гиперболического типа имеет вид:

${ Displaystyle и_ {тт} -у_ {хх} = е (х, т), , и (х, 0) = г (х), , и_ {т} (х, 0) = ч (х) ,}$

за ${ displaystyle - infty <Икс < infty, , , t> 0, е в C ^ {2} ( mathbb {R} ^ {2}, mathbb {R})}$.

Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно преобразовать в соответствующие им уравнения. канонические формы. Это уравнение является одним из трех случаев: Эллиптическое уравнение в частных производных, Параболическое уравнение в частных производных и Гиперболическое уравнение в частных производных.

Единственная разница между однородный и неоднородный (частичный) дифференциальное уравнение в том, что в однородной форме мы позволяем только 0 стоять справа ( ${ displaystyle f (x, t) = 0}$ ), а неоднородный - гораздо более общий, как в ${ Displaystyle f (х, т)}$ может быть любой функцией, если она непрерывный и может быть непрерывно дифференцированный дважды.

Решение вышеуказанного уравнения дается формулой:

${ Displaystyle и (х, т) = { гидроразрыва {1} {2}} { Bigl (} г (х + т) + г (хт) { biggr)} + ​​{ гидроразрыва {1} {2 }} { biggl (} int limits _ {xt} ^ {x + t} h (s) ds { biggr)} + ​​{ frac {1} {2}} { biggl (} int пределы _ {0} ^ {t} int limits _ {x-t + tau} ^ {x + t- tau} f (s, tau) dsd tau { Bigr)}}$.

Если ${ displaystyle g (x) = 0}$, первая часть исчезает, если ${ Displaystyle ч (х) = 0}$, вторая часть исчезает, а если ${ displaystyle f (x) = 0}$, третья часть исчезает из решения, поскольку интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0.

Это означает, что однородное уравнение ( ${ displaystyle f (x, t) = 0}$ ) возвращает нашу исходную формулу для случая ${ displaystyle c = 1}$.

Смотрите также

• Оператор Даламбера
• Механическая волна
• Волновое уравнение

Примечания

внешняя ссылка

• Пример решения неоднородного волнового уравнения с сайта www.exampleproblems.com

https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html