Диск Эйри - Airy disk

Компьютерное изображение диска Эйри. В оттенки серого Интенсивность была скорректирована для повышения яркости внешних колец узора Эйри.

Компьютерный диск Эйри из дифрагированного белого света (D65 спектр ). Обратите внимание, что красный компонент дифрагирует больше, чем синий, поэтому центр выглядит слегка синеватым.

Настоящий диск Эйри, созданный красным лазер луч через 90-микрометр точечная апертура с 27 порядками дифракции

Диск Эйри захвачен на 2000 мм объектив на диафрагме f / 25. Размер изображения: 1 × 1 мм.

В оптика, то Диск Эйри (или же Воздушный диск) и Воздушный узор это описания лучших-сосредоточенный место из свет что идеальный линза с циркуляром отверстие может сделать, ограниченный дифракция света. Диск Эйри важен в физика, оптика, и астрономия.

Дифракционная картина, полученная от равномерно освещенной круглой апертуры, имеет яркий Центральный регион, известный как диск Эйри, который вместе с серией концентрический кольца вокруг называется узором Эйри. Оба названы в честь Джордж Бидделл Эйри. Феномен диска и колец был известен еще до Эйри; Джон Гершель описал появление яркого звезда видно сквозь телескоп под большим увеличением для статьи 1828 года о свете для Энциклопедия Метрополитана:

... тогда звезда рассматривается (при благоприятных условиях спокойной атмосферы, постоянной температуры и т. д.) как идеально круглый, четко очерченный планетный диск, окруженный двумя, тремя или более попеременно темными и яркими кольцами, которые, если при внимательном осмотре видны слегка окрашенные по краям. Они сменяют друг друга почти через равные промежутки вокруг центрального диска ...^[1]

Эйри написал первую полную теоретическую трактовку, объясняющую это явление (его 1835 г. «О дифракции на предметном стекле с круглой апертурой»).^[2]

Математически дифракционная картина характеризуется длиной волны света, освещающего круглую апертуру, и размером апертуры. В внешний вид дифракционной картины дополнительно характеризуется чувствительностью глаза или другого детектора, используемого для наблюдения картины.

Наиболее важное применение этой концепции находится в камеры, микроскопы и телескопы. Из-за дифракции наименьшая точка, в которую линза или зеркало может сфокусировать луч света, имеет размер диска Эйри. Даже если бы можно было сделать идеальный объектив, все равно есть предел разрешающей способности изображения, создаваемого таким объективом. Оптическая система, в которой разрешение больше не ограничивается дефектами линз, а только дифракцией, называется ограниченная дифракция.

Размер

Вдали от апертуры угол, под которым возникает первый минимум, отсчитываемый от направления падающего света, определяется по приблизительной формуле:

{ displaystyle sin theta приблизительно 1,22 { frac { lambda} {d}}}

или, для малых углов, просто

{ displaystyle theta приблизительно 1,22 { frac { lambda} {d}},}

куда θ в радианах, λ - длина волны света в метрах, а d диаметр отверстия в метрах. Эйри написал это как

{ displaystyle s = { frac {2,76} {a}},}

куда s был угол первого минимума в угловых секундах, а был радиус апертуры в дюймах, а длина волны света была принята равной 0,000022 дюйма (560 нм; средняя длина волны видимого диапазона).^[3] Это равно угловое разрешение круглой апертуры. В Критерий Рэлея для едва различимого двух объектов, которые являются точечными источниками света, таких как звезды, видимые в телескоп, заключается в том, что центр диска Эйри для первого объекта находится в первом минимуме диска Эйри второго. Это означает, что угловое разрешение системы с дифракционным ограничением определяется теми же формулами.

Однако, хотя угол, под которым возникает первый минимум (который иногда называют радиусом диска Эйри), зависит только от длины волны и размера апертуры, вид дифракционной картины будет варьироваться в зависимости от интенсивности (яркости) источника света. . Поскольку любой детектор (глазной, пленочный, цифровой), используемый для наблюдения дифракционной картины, может иметь пороговое значение интенсивности для обнаружения, полная дифракционная картина может быть не видна. В астрономии внешние кольца часто не видны даже на сильно увеличенном изображении звезды. Возможно, ни одно из колец не видно, и в этом случае изображение звезды выглядит как диск (только центральный максимум), а не как полная дифракционная картина. Более того, более слабые звезды будут выглядеть как диски меньшего размера, чем более яркие звезды, потому что меньшая часть их центрального максимума достигает порога обнаружения.^[4] Хотя теоретически все звезды или другие "точечные источники" с заданной длиной волны и наблюдаемые через заданную апертуру имеют одинаковый радиус диска Эйри, описываемый приведенным выше уравнением (и одинаковый размер дифракционной картины), различаясь только по интенсивности, внешний вид выглядит так более слабые источники отображаются как диски меньшего размера, а более яркие источники отображаются как диски большего размера.^[5] Это было описано Эйри в его оригинальной работе:^[6]

Быстрое уменьшение света в следующих друг за другом кольцах в достаточной степени объясняет видимость двух или трех колец с очень яркой звездой и невидимость колец со слабой звездой. Разница в диаметрах центральных пятен (или ложных дисков) разных звезд ... также полностью объяснена. Таким образом, радиус ложного диска слабой звезды, где свет менее половины интенсивности центрального света не производит впечатления на глаз, определяется как [s = 1.17/а], в то время как радиус ложного диска яркой звезды, где ощущается свет, равный 1/10 интенсивности центрального света, определяется как [s = 1.97/а].

Несмотря на эту особенность работы Эйри, радиус диска Эйри часто указывается как угол первого минимума даже в стандартных учебниках.^[7] На самом деле угол первого минимума является ограничивающим значением для размера диска Эйри, а не определенным радиусом.

Примеры

Логарифмический график зависимости диаметра апертуры от углового разрешения на дифракционном пределе для различных длин волн света по сравнению с различными астрономическими инструментами. Например, синяя звезда показывает, что космический телескоп Хаббла практически ограничен дифракцией в видимом спектре на 0,1 угловой секунды, тогда как красный кружок показывает, что человеческий глаз теоретически должен иметь разрешающую способность 20 угловых секунд, хотя зрение 20/20 разрешается только до 60 угловых секунд (1 угловая минута)

Камеры

Если два объекта, отображаемых камерой, разделены достаточно маленьким углом, чтобы их диски Эйри на детекторе камеры начали перекрываться, объекты больше не могут быть четко разделены на изображении, и они начинают размываться вместе. Говорят, что два объекта только что решено когда максимум первого паттерна Эйри падает поверх первого минимума второго паттерна Эйри ( Критерий Рэлея ).

Следовательно, наименьшее угловое разделение двух объектов, которое может иметь место до того, как они существенно размываются вместе, определяется, как указано выше, как

{ displaystyle sin theta = 1,22 , { frac { lambda} {d}}.}

Таким образом, способность системы разрешать детали ограничена отношением λ /d. Чем больше апертура для данной длины волны, тем мельчайшие детали можно различить на изображении.

Это также можно выразить как

{ displaystyle { frac {x} {f}} = 1,22 , { frac { lambda} {d}},}

куда ${ displaystyle x}$ - разделение изображений двух объектов на пленке, и ${ displaystyle f}$ - расстояние от линзы до пленки. Если принять расстояние от линзы до пленки примерно равным фокусное расстояние линзы, находим

{ displaystyle x = 1,22 , { frac { lambda f} {d}},}

но ${ displaystyle { frac {f} {d}}}$ это f-число линзы. Типичная настройка для использования в пасмурный день: ж/8 (видеть Солнечное 16 правило ). Для фиолетового 380-450 нм самая короткая длина волны видимого света, длина волны λ составляет около 420 нанометры (видеть конические клетки на чувствительность клеток конуса S). Это дает значение для ${ displaystyle x}$ около 4 мкм. В цифровой камере пиксели датчик изображений менее половины этого значения (один пиксель для каждого объекта, по одному на каждое пространство между ними) не приведет к значительному увеличению захваченного Разрешение изображения. Однако это может улучшить окончательное изображение за счет передискретизации, что позволит снизить уровень шума.

Человеческий глаз

Продольные сечения сфокусированного луча с отрицательной (вверху), нулевой (в центре) и положительной сферической аберрацией (внизу). Объектив слева.

В самый быстрый f-число для человеческий глаз составляет около 2,1,^[8] соответствующий дифракционно-ограниченному функция разброса точки диаметром примерно 1 мкм. Однако при этом f-числе сферическая аберрация ограничивает остроту зрения, а диаметр зрачка 3 мм (f / 5,7) приближается к разрешению, достигаемому человеческим глазом.^[9] Максимальная плотность шишек у человека ямка составляет примерно 170 000 на квадратный миллиметр,^[10] из чего следует, что расстояние между конусами в человеческом глазу составляет около 2,5 мкм, что приблизительно соответствует диаметру функции рассеяния точки при f / 5.

Сфокусированный лазерный луч

Круговой лазерный луч с равномерной интенсивностью поперек круга (луч с плоским верхом), сфокусированный линзой, образует в фокусе узор диска Эйри. Размер диска Эйри определяет интенсивность лазера в фокусе.

Прицельный прицел

Некоторые прицельные приспособления для оружия (например, FN FNC ) требуют, чтобы пользователь совместил визирный прицел (задний, ближний, т.е. который будет не в фокусе) с наконечником (который должен быть сфокусирован и наложен на цель) на конце ствола. Глядя через визир, пользователь заметит диск Эйри, который поможет центрировать прицел над штифтом.^[11]

Условия наблюдения

Свет от равномерно освещенной круглой апертуры (или от равномерного плоского луча) будет демонстрировать дифракционную картину Эйри вдали от апертуры из-за Фраунгофера дифракция (дифракция в дальней зоне).

Условия для нахождения в дальнем поле и проявления паттерна Эйри следующие: падающий свет, освещающий апертуру, представляет собой плоскую волну (без изменения фазы по апертуре), интенсивность постоянна по площади апертуры и расстояние ${ displaystyle R}$ от апертуры, где наблюдается дифрагированный свет (расстояние до экрана), велико по сравнению с размером апертуры, а радиус ${ displaystyle a}$ апертуры не намного больше длины волны ${ displaystyle lambda}$ света. Последние два условия формально можно записать как ${ Displaystyle R> ^ {2} / lambda}$ .

На практике условия равномерного освещения могут быть выполнены, если источник освещения расположен далеко от апертуры. Если условия для дальнего поля не выполняются (например, если диафрагма большая), дифракционная картина Эйри в дальней зоне также может быть получена на экране, гораздо более близком к диафрагме, с помощью линзы сразу после диафрагмы (или линзы сам может формировать проем). В этом случае узор Эйри будет сформирован в фокусе объектива, а не на бесконечности.

Следовательно, фокусное пятно однородного кругового лазерного луча (луча с плоским верхом), сфокусированного линзой, также будет узором Эйри.

В камере или системе формирования изображения объект, находящийся на большом расстоянии, отображается линзой объектива на пленку или плоскость детектора, и на детекторе наблюдается картина дифракции в дальней зоне. Результирующее изображение представляет собой свертку идеального изображения с дифракционной картиной Эйри из-за дифракции на диафрагме диафрагмы или из-за конечного размера линзы. Это приводит к конечному разрешению описанной выше системы линз.

Математическая формулировка

Дифракция на круглом отверстии. Паттерн Эйри наблюдается, когда

{ Displaystyle R> ^ {2} / lambda}

(т.е. в дальней зоне)

Дифракция на диафрагме с линзой. Изображение в дальней зоне будет (только) сформировано на экране на расстоянии одного фокусного расстояния, где R = f (f = фокусное расстояние). Угол наблюдения

{ displaystyle theta}

остается таким же, как в безлинзовом корпусе.

В интенсивность паттерна Эйри следует Фраунгофера дифракция шаблон круглой апертуры, заданный квадратом модуля упругости преобразование Фурье круглой апертуры:

{ Displaystyle I ( theta) = I_ {0} left [{ frac {2J_ {1} (ka sin theta)} {ka sin theta}} right] ^ {2} = I_ { 0} left [{ frac {2J_ {1} (x)} {x}} right] ^ {2}}

куда ${ displaystyle I_ {0}}$ - максимальная интенсивность рисунка в центре диска Эйри, ${ displaystyle J_ {1}}$ это Функция Бесселя первого вида порядка один, ${ Displaystyle к = {2 pi} / { lambda}}$ это волновое число, ${ displaystyle a}$ - радиус апертуры, а ${ displaystyle theta}$ - угол наблюдения, то есть угол между осью круглой апертуры и линией между центром апертуры и точкой наблюдения. ${ displaystyle x = ka sin theta = { frac {2 pi a} { lambda}} { frac {q} {R}}}$ , куда q - радиальное расстояние от точки наблюдения до оптической оси и р расстояние до апертуры. Обратите внимание, что диск Эйри, указанный в приведенном выше выражении, действителен только для больших р, куда Фраунгофера дифракция применяется; расчет тени в ближнем поле должен выполняться с использованием Дифракция Френеля.

Однако точный образец Эйри делает появляются на конечном расстоянии, если линза помещена в апертуру. Тогда узор Эйри будет идеально сфокусирован на расстоянии, заданном фокусным расстоянием объектива (при условии, что коллимированный свет, падающий на апертуру), определяемый приведенными выше уравнениями.

Нули ${ Displaystyle J_ {1} (х)}$ находятся в ${ displaystyle x = ka sin theta приблизительно 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706 dots}$ . Отсюда следует, что первое темное кольцо на дифрактограмме возникает там, где ${ displaystyle ka sin { theta} = 3,8317 точек}$ , или же

{ displaystyle sin theta приблизительно { frac {3.83} {ka}} = { frac {3.83 lambda} {2 pi a}} = 1,22 { frac { lambda} {2a}} = 1,22 { frac { lambda} {d}}}

.

Если линза используется для фокусировки рисунка Эйри на конечном расстоянии, тогда радиус ${ displaystyle q_ {1}}$ первого темного кольца на фокальной плоскости определяется исключительно числовая апертура А (тесно связанный с f-число ) к

{ displaystyle q_ {1} = R sin theta _ {1} приблизительно 1,22 {R} { frac { lambda} {d}} = 1,22 { frac { lambda} {2A}}}

где числовая апертура А равен радиусу апертуры d/ 2, деленное на R ', расстояние от центра рисунка Эйри до край апертуры. Просмотр апертуры радиуса d/ 2 и объектив в качестве камеры (см. Диаграмму выше), проецирующий изображение на фокальную плоскость на расстоянии жчисловая апертура А связано с часто цитируемым f-числом N = f / d (отношение фокусного расстояния к диаметру линзы) по ${ displaystyle A = { frac {r} {R '}} = { frac {r} { sqrt {f ^ {2} + r ^ {2}}}} = { frac {1} { sqrt {4N ^ {2} +1}}}}$ ; для N >> 1 это просто аппроксимируется как ${ Displaystyle А приблизительно { гидроразрыва {1} {2N}}}$ . Это показывает, что наилучшее возможное изображение разрешающая способность камеры ограничено числовой апертурой (и, следовательно, f-числом) его линзы из-за дифракция.

Половина максимума центрального диска Эйри (где ${ Displaystyle J_ {1} (х) = {х} / {2 { sqrt {2}}}}$ ) происходит в ${ displaystyle x = 1,61633 точек}$ ; 1 / e² точка (где ${ Displaystyle J_ {1} (х) = {х} / {2e}}$ ) происходит в ${ displaystyle x = 2,58383 точек}$ , а максимум первого кольца приходится на ${ displaystyle x = 5,13562 точек}$ .

Интенсивность ${ displaystyle I_ {0}}$ в центре дифракционной картины связана с полной мощностью ${ displaystyle P_ {0}}$ инцидент на проеме^[12]

{ displaystyle I_ {0} = { frac { mathrm {E} _ {A} ^ {2} A ^ {2}} {2R ^ {2}}} = { frac {P_ {0} A} { lambda ^ {2} R ^ {2}}}}

куда ${ displaystyle mathrm {E}}$ - мощность источника на единицу площади апертуры, А - площадь апертуры ( ${ Displaystyle А = пи а ^ {2}}$ ), а R - расстояние от апертуры. В фокальной плоскости линзы ${ Displaystyle I_ {0} = (P_ {0} A) / ( lambda ^ {2} f ^ {2})}$ . Интенсивность в максимуме первого кольца составляет около 1,75% от интенсивности в центре диска Эйри.

Выражение для ${ Displaystyle I ( theta)}$ выше можно проинтегрировать, чтобы получить полную мощность, содержащуюся в дифракционной картине внутри круга заданного размера:

{ Displaystyle P ( theta) = P_ {0} [1-J_ {0} ^ {2} (ka sin theta) -J_ {1} ^ {2} (ka sin theta)]}

куда ${ displaystyle J_ {0}}$ и ${ displaystyle J_ {1}}$ находятся Функции Бесселя. Следовательно, доли полной мощности, содержащиеся в первом, втором и третьем темных кольцах (где ${ Displaystyle J_ {1} (ка грех тета) = 0}$ ) составляют 83,8%, 91,0% и 93,8% соответственно.^[13]

Узор Эйри на интервале кагрехθ = [−10, 10]

Обведенная мощность отображается на графике рядом с интенсивностью.

Аппроксимация с использованием гауссова профиля

Радиальное сечение картины Эйри (сплошная кривая) и ее аппроксимация гауссова профиля (пунктирная кривая). Абсцисса дана в единицах длины волны.

{ displaystyle lambda}

умноженное на f-число оптической системы.

Рисунок Эйри довольно медленно спадает до нуля с увеличением расстояния от центра, при этом внешние кольца содержат значительную часть интегральной интенсивности рисунка. В результате среднеквадратическое значение (RMS) размер пятна не определен (т.е. бесконечен). Альтернативный способ измерения размера пятна - игнорировать относительно небольшие внешние кольца паттерна Эйри и аппроксимировать центральный лепесток с помощью Гауссовский профиль, такой, что

{ Displaystyle I (q) приблизительно I '_ {0} exp left ({ frac {-q ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right) ,}

куда ${ displaystyle I '_ {0}}$ освещенность в центре узора, ${ displaystyle q}$ представляет собой радиальное расстояние от центра рисунка, а ${ displaystyle sigma}$ - среднеквадратичная ширина по Гауссу (в одном измерении). Если мы приравняем максимальную амплитуду диаграммы Эйри и гауссовского профиля, то есть ${ displaystyle I '_ {0} = I_ {0}}$ , и найти значение ${ displaystyle sigma}$ давая оптимальное приближение к образцу, получаем^[14]

{ Displaystyle сигма приблизительно 0,42 лямбда N ,}

куда N это f-число. Если, с другой стороны, мы хотим добиться того, чтобы профиль Гаусса имел тот же объем, что и узор Эйри, тогда это становится

{ displaystyle sigma примерно 0,45 лямбда N .}

В оптическая аберрация Теоретически систему визуализации принято описывать как дифракционно ограниченный если радиус диска Эйри больше, чем среднеквадратичный размер пятна, определенный из геометрической трассировки лучей (см. Дизайн оптических линз ). Приближение гауссовского профиля обеспечивает альтернативный способ сравнения: использование приведенного выше приближения показывает, что среднеквадратичная ширина ${ displaystyle sigma}$ гауссова приближения к диску Эйри составляет около одной трети радиуса диска Эйри, т. е. ${ displaystyle 0.42 lambda N}$ в отличие от ${ displaystyle 1.22 lambda N}$ .

Затуманенный воздушный узор

Аналогичные уравнения могут быть получены и для затемненной дифракционной картины Эйри.^[15]^[16] который представляет собой дифракционную картину от кольцевой апертуры или луча, то есть однородной круглой апертуры (луча), закрытой круглым блоком в центре. Эта ситуация актуальна для многих распространенных конструкций телескопов с рефлектором, которые включают вторичное зеркало, в том числе Ньютоновские телескопы и Телескопы Шмидта – Кассегрена.

{ displaystyle I (R) = { frac {I_ {0}} {(1- epsilon ^ {2}) ^ {2}}} left ({ frac {2J_ {1} (x)} { x}} - { frac {2 epsilon J_ {1} ( epsilon x)} {x}} right) ^ {2}}

куда ${ displaystyle epsilon}$ - коэффициент затемнения кольцевой апертуры, или отношение диаметра загораживающего диска к диаметру апертуры (луча). ${ Displaystyle влево (0 Leq epsilon <1 вправо)}$ , а x определяется, как указано выше: ${ Displaystyle х = ка грех ( тета) приблизительно { гидроразрыва { пи R} { лямбда N}}}$ куда ${ displaystyle R}$ - радиальное расстояние в фокальной плоскости от оптической оси, ${ displaystyle lambda}$ это длина волны и ${ displaystyle N}$ это f-число системы. Дробная окруженная энергия (доля полной энергии, содержащейся в круге радиусом ${ displaystyle R}$ с центром на оптической оси в фокальной плоскости) тогда определяется как:

{ displaystyle E (R) = { frac {1} {(1- epsilon ^ {2})}} left (1-J_ {0} ^ {2} (x) -J_ {1} ^ { 2} (x) + epsilon ^ {2} left [1-J_ {0} ^ {2} ( epsilon x) -J_ {1} ^ {2} ( epsilon x) right] -4 epsilon int _ {0} ^ {x} { frac {J_ {1} (t) J_ {1} ( epsilon t)} {t}} , dt right)}

За ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$ формулы сокращаются до незатененных версий выше.

Практический эффект наличия центрального препятствия в телескопе состоит в том, что центральный диск становится немного меньше, а первое яркое кольцо становится ярче за счет центрального диска. Это становится более проблематичным с телескопами с коротким фокусным расстоянием, которые требуют больших вторичных зеркал.^[17]

Сравнение с фокусом гауссова луча

Круговой лазерный луч с равномерным профилем интенсивности, сфокусированный линзой, будет формировать узор Эйри в фокальной плоскости линзы. Интенсивность в центре фокуса будет ${ Displaystyle I_ {0, Эйри} = (P_ {0} A) / ( lambda ^ {2} f ^ {2})}$ куда ${ displaystyle P_ {0}}$ полная мощность луча, ${ Displaystyle А = пи D ^ {2} / 4}$ площадь луча ( ${ displaystyle D}$ диаметр пучка), ${ displaystyle lambda}$ - длина волны, а ${ displaystyle f}$ - фокусное расстояние объектива.

Гауссов пучок с ${ displaystyle 1 / e ^ {2}}$ диаметр D, сфокусированный через апертуру диаметром D, будет иметь профиль фокуса, близкий к гауссову, а интенсивность в центре фокуса будет в 0,924 раза больше ${ displaystyle I_ {0, mathrm {Эйри}}}$ .^[16]

Смотрите также

Примечания и ссылки

^ Гершель, Дж. Ф. У. (1828). "Свет". Трактаты по физической астрономии, свету и звуку вошли в Encyclopaedia Metropolitana.. Ричард Гриффин и компания стр. 491.
^ Эйри, Г. Б. (1835). «О дифракции предмета-стекла с круглой апертурой». Труды Кембриджского философского общества. С. 283–91.
^ Эйри, Г. Б., "О дифракции в стекле с круглой апертурой", Труды Кембриджского философского общества, Vol. 5, 1835, с. 287.
^ Сиджвик, Дж. Б., Справочник астронома-любителя, Dover Publications, 1980, стр. 39–40.
^ Грэйни, Кристофер М., «Объекты в телескопе дальше, чем они кажутся - как дифракция заставила Галилея неверно измерить расстояния до звезд», Учитель физики, т. 47, 2009, стр. 362–365.
^ Эйри, Г. Б., "О дифракции в стекле с круглой апертурой", Труды Кембриджского философского общества, Vol. 5, 1835, с. 288.
^ Джанколи, Д. К., Физика для ученых и инженеров (3-е издание), Прентис-Холл, 2000, стр. 896.
^ Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-11609-X. Разд. 5.7.1
^ Стив Чепмен, изд. (2000). Дизайн оптической системы. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-134916-2.
^ «Плотность глазных рецепторов». Архивировано из оригинал на 2008-04-30. Получено 2008-09-20.
^ Видеть http://en.wikibooks.org/wiki/Marksmanship, «Выравнивание прицела»
^ Э. Хехт, Оптика, Эддисон Уэсли (2001)
^ М. Борн и Э. Вольф, Принципы оптики (Pergamon Press, Нью-Йорк, 1965)
^ Чжан, Бо; Зерубия, Джозиан; Оливо-Марин, Жан-Кристоф (01.04.2007). «Гауссовы аппроксимации моделей функции рассеяния точки флуоресцентного микроскопа». Прикладная оптика. 46 (10): 1819–1829. Bibcode:2007ApOpt..46.1819Z. Дои:10.1364 / AO.46.001819. ISSN 2155-3165.
^ Риволта, Прикладная оптика, 25, 2404 (1986).
^ ^а ^б Махаджан, J. Opt. Soc. Являюсь. А, 3, 470 (1986).
^ Сацек, Владимир (14 июля 2006 г.). «Глава 7 Эффекты препятствия (7.1. Эффект центрального препятствия)». 7. Замечания по оптике любительских телескопов. Получено 18 мая, 2013.

внешняя ссылка

Майкл В. Дэвидсон. «Концепции и формулы в микроскопии: разрешение». Nikon MicroscopyU (веб-сайт).
- Кеннет Р. Спринг; Брайан О. Флинн и Майкл В. Дэвидсон. «Формирование изображения: числовая апертура и разрешение изображения». Получено 15 июня, 2006. (Интерактивное руководство по Java) Молекулярные выражения (интернет сайт).
- Кеннет Р. Спринг; Брайан О. Флинн и Майкл В. Дэвидсон. «Формирование изображения: формирование воздушного узора». Получено 15 июня, 2006.(Интерактивное руководство по Java) Молекулярные выражения.
Пол Пэдли. «Дифракция на круговой апертуре»., Связи (веб-сайт), 8 ноября 2005 г. - Математические детали для вывода приведенной выше формулы.
«Диск Эйри: объяснение того, что это такое и почему его нельзя избежать», Oldham Optical UK.
Вайсштейн, Эрик В. «Нули функции Бесселя». MathWorld.
«Расширенный анализ Ниджбора-Цернике (ENZ) и поиск аберраций».

[1] Гершель, Дж. Ф. У. (1828). "Свет". Трактаты по физической астрономии, свету и звуку вошли в Encyclopaedia Metropolitana.. Ричард Гриффин и компания стр. 491.

[2] Эйри, Г. Б. (1835). «О дифракции предмета-стекла с круглой апертурой». Труды Кембриджского философского общества. С. 283–91.

[3] Эйри, Г. Б., "О дифракции в стекле с круглой апертурой", Труды Кембриджского философского общества, Vol. 5, 1835, с. 287.

[4] Сиджвик, Дж. Б., Справочник астронома-любителя, Dover Publications, 1980, стр. 39–40.

[5] Грэйни, Кристофер М., «Объекты в телескопе дальше, чем они кажутся - как дифракция заставила Галилея неверно измерить расстояния до звезд», Учитель физики, т. 47, 2009, стр. 362–365.

[6] Эйри, Г. Б., "О дифракции в стекле с круглой апертурой", Труды Кембриджского философского общества, Vol. 5, 1835, с. 288.

[7] Джанколи, Д. К., Физика для ученых и инженеров (3-е издание), Прентис-Холл, 2000, стр. 896.

[8] Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-11609-X. Разд. 5.7.1

[9] Стив Чепмен, изд. (2000). Дизайн оптической системы. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-134916-2.

[10] «Плотность глазных рецепторов». Архивировано из оригинал на 2008-04-30. Получено 2008-09-20.

[11] Видеть http://en.wikibooks.org/wiki/Marksmanship, «Выравнивание прицела»

[12] Э. Хехт, Оптика, Эддисон Уэсли (2001)

[13] М. Борн и Э. Вольф, Принципы оптики (Pergamon Press, Нью-Йорк, 1965)

[14] Чжан, Бо; Зерубия, Джозиан; Оливо-Марин, Жан-Кристоф (01.04.2007). «Гауссовы аппроксимации моделей функции рассеяния точки флуоресцентного микроскопа». Прикладная оптика. 46 (10): 1819–1829. Bibcode:2007ApOpt..46.1819Z. Дои:10.1364 / AO.46.001819. ISSN 2155-3165.

[15] Риволта, Прикладная оптика, 25, 2404 (1986).

[Mahajan-16] а ^б Махаджан, J. Opt. Soc. Являюсь. А, 3, 470 (1986).

[17] Сацек, Владимир (14 июля 2006 г.). «Глава 7 Эффекты препятствия (7.1. Эффект центрального препятствия)». 7. Замечания по оптике любительских телескопов. Получено 18 мая, 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]