Специальная линейная алгебра Ли - Special linear Lie algebra

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, то специальная линейная алгебра Ли порядка n (обозначается ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {п} (F)}$ или же ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (п, F)}$) это Алгебра Ли из ${ Displaystyle п раз п}$ матрицы с след ноль и с Кронштейн лжи ${ displaystyle [X, Y]: = XY-YX}$. Эта алгебра хорошо изучена и понятна и часто используется в качестве модели для изучения других алгебр Ли. В Группа Ли что он порождает специальная линейная группа.

Приложения

Алгебра Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {C})}$ занимает центральное место в изучении специальная теория относительности, общая теория относительности и суперсимметрия: это фундаментальное представление так называемый спинорное представление, а его присоединенное представительство генерирует Группа Лоренца СО (3,1) специальной теории относительности.

Алгебра ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {R})}$ играет важную роль в изучении хаос и фракталы, поскольку он генерирует Группа Мебиуса SL (2, R), который описывает автоморфизмы гиперболическая плоскость, простейший Риманова поверхность отрицательной кривизны; напротив, SL (2, С) описывает автоморфизмы гиперболического 3-мерного шара.

Теория представлений

Теория представлений ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$

По определению алгебра Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ состоит из комплексных матриц размером два на два с нулевым следом. Есть три стандартных базовых элемента, ${ displaystyle e}$,${ displaystyle f}$, и ${ displaystyle h}$, с

${ displaystyle e = { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}}$, ${ displaystyle f = { begin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {bmatrix}}}$, ${ displaystyle h = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {bmatrix}}}$.

Коммутаторы

${ Displaystyle [е, е] = ч}$, ${ displaystyle [h, f] = - 2f}$, и ${ displaystyle [h, e] = 2e.}$

Алгебра Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C}}$ можно рассматривать как подпространство его универсальной обертывающей алгебры ${ Displaystyle U = U ({ mathfrak {sl}} _ {2} mathbb {C})}$ И в ${ displaystyle U}$, по индукции устанавливаются следующие коммутаторные соотношения:^[1]

${ displaystyle [h, f ^ {k}] = - 2kf ^ {k}, , [h, e ^ {k}] = 2ke ^ {k}}$,

${ displaystyle [е, f ^ {k}] = - k (k-1) f ^ {k-1} + kf ^ {k-1} h}$.

Обратите внимание, что здесь полномочия ${ displaystyle f ^ {k}}$и т. д. называют степени элементами алгебры U а не матричные мощности. Первый основной факт (который следует из вышеприведенных коммутаторных соотношений):^[1]

Из этой леммы выводится следующий фундаментальный результат.^[2]

Первое утверждение верно, поскольку либо ${ displaystyle v_ {j}}$ равен нулю или имеет ${ displaystyle h}$-собственное значение, отличное от собственных значений других, отличных от нуля. Говоря ${ displaystyle v}$ это ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$-весовой вектор эквивалентен утверждению, что он одновременно является собственным вектором ${ displaystyle h, e}$; затем краткий расчет показывает, что в этом случае ${ displaystyle e}$-собственное значение ${ displaystyle v}$ равно нулю: ${ Displaystyle е cdot v = 0}$. Таким образом, для некоторого целого ${ displaystyle N geq 0}$, ${ Displaystyle v_ {N} neq 0, v_ {N + 1} = v_ {N + 2} = cdots = 0}$ и, в частности, по ранней лемме

${ Displaystyle 0 = е cdot v_ {N + 1} = ( lambda - (N + 1) +1) v_ {N},}$

откуда следует, что ${ displaystyle lambda = N}$. Осталось показать ${ Displaystyle W = OperatorName {span} {v_ {j} | j geq 0 }}$ неприводимо. Если ${ Displaystyle 0 neq W ' подмножество W}$ является подпредставлением, то оно допускает собственный вектор, который должен иметь собственное значение вида ${ displaystyle N-2j}$; таким образом, пропорционально ${ displaystyle v_ {j}}$. По предыдущей лемме имеем ${ displaystyle v = v_ {0}}$ в ${ displaystyle W}$ и поэтому ${ Displaystyle W '= W}$. ${ Displaystyle квадрат}$

В качестве следствия можно сделать вывод:

• Если ${ displaystyle V}$ имеет конечную размерность и неприводима, то ${ displaystyle h}$-собственное значение v является неотрицательным целым числом ${ displaystyle N}$ и ${ displaystyle V}$ имеет основу ${ displaystyle v, fv, f ^ {2} v, cdots, f ^ {N} v}$.
• И наоборот, если ${ displaystyle h}$-собственное значение ${ displaystyle v}$ является целым неотрицательным числом и ${ displaystyle V}$ неприводимо, то ${ displaystyle V}$ имеет основу ${ displaystyle v, fv, f ^ {2} v, cdots, f ^ {N} v}$; в частности, имеет конечную размерность.

Красивый частный случай ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2}}$ показывает общий способ найти неприводимые представления алгебр Ли. А именно, разделим алгебру на три подалгебры «h» ( Подалгебра Картана ), «e» и «f», которые ведут себя примерно как их тезки в ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2}}$. А именно, в неприводимом представлении у нас есть «старший» собственный вектор «h», на котором «e» действует нулем. Базис неприводимого представления порождается действием «f» на старшие собственные векторы «h». Увидеть теорема наивысшего веса.

Теория представлений ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} _ {п} mathbb {C}}$

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Сентябрь 2020)

Когда ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {sl}} _ {n} mathbb {C} = { mathfrak {sl}} (V)}$ для комплексного векторного пространства ${ displaystyle V}$, каждое конечномерное неприводимое представление ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ можно найти как субпредставление тензорная мощность из ${ displaystyle V}$.^[4]

Примечания

Рекомендации

• Этингоф, Павел. "Конспект лекций по теории представлений ".
• Кац Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46693-8.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer
• Онищик А.Л., Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, Строение групп Ли и алгебр Ли. Группы Ли и алгебры Ли, III. Энциклопедия математических наук, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. iv + 248 pp. (Перевод «Актуальные проблемы математики. Фундаментальные направления». Том 41, АН СССР, Всесоюз. Институт Науч. И Техн. Информ., Москва, 1990. Перевод В. Миначина. Перевод под редакцией А. Л. Онищика и Э. Б. Винберга. ISBN  3-540-54683-9
• В. Л. Попов, Э. Б. Винберг, Теория инвариантов. Алгебраическая геометрия. IV. Линейные алгебраические группы. Энциклопедия математических наук, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 с. (Перевод алгебраической геометрии. 4, АН СССР Всесоюз. Институт Науч. И Техн. Информ., М., 1989. Перев. под редакцией А. Н. Паршина и И. Р. Шафаревича) ISBN  3-540-54682-0
• Серр, Жан-Пьер (2000), Полупростые комплексы Альжебра де Ли [Комплексные полупростые алгебры Ли], переведенный Джонс, Г. А., Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4.

Смотрите также

• Аффинная группа Вейля
• Конечная группа Кокстера
• Диаграмма Хассе
• Линейная алгебраическая группа
• Нильпотентная орбита
• Корневая система
• sl2-тройной
• Группа Вейля