Группа точек - Point group

В Баухиния блакеана цветок на Гонконг флаг региона имеет C5 симметрия; у звезды на каждом лепестке есть буква D5 симметрия.

В Инь и Янь символ имеет C2 симметрия геометрии с инвертированными цветами

В геометрия, а точечная группа это группа геометрических симметрии (изометрии ), которые фиксируют хотя бы одну точку. Группы точек могут существовать в Евклидово пространство с любым размером и каждой точечной группой в измерении d является подгруппой ортогональная группа O (d). Группы точек могут быть реализованы как наборы ортогональные матрицы M эта точка трансформации Икс в точку у:

у = Mx

где начало координат - неподвижная точка. Элементы точечной группы могут быть вращения (детерминант из M = 1) или иначе размышления, или же неправильные вращения (определитель M = −1).

Дискретные точечные группы в более чем одном измерении входят в бесконечные семейства, но из кристаллографическая теорема ограничения и одна из теорем Бибербаха, каждое число измерений имеет лишь конечное число точечных групп, симметричных над некоторыми решетка или сетка с этим номером. Эти кристаллографические точечные группы.

Группы киральных и ахиральных точек, группы отражений

Группы точек можно разделить на хиральный (или чисто ротационные) группы и ахиральный группы.^[1]Киральные группы являются подгруппами специальная ортогональная группа ТАК(d): они содержат только сохраняющие ориентацию ортогональные преобразования, т. е. с определителем +1. Ахиральные группы содержат также преобразования определителя −1. В ахиральной группе преобразования, сохраняющие ориентацию, образуют (киральную) подгруппу индекса 2.

Конечные группы Кокстера или же группы отражения это те группы точек, которые генерируются просто набором отражающих зеркал, проходящих через одну и ту же точку. Ранг п Coxeter Group имеет п зеркала и представлен Диаграмма Кокстера-Дынкина. Обозначение Кокстера предлагает заключенные в скобки обозначения, эквивалентные диаграмме Кокстера, с символами разметки для групп точек вращения и других подсимметричных групп. Группы отражений обязательно ахиральные (за исключением тривиальной группы, содержащей только единичный элемент).

Список групп точек

Одно измерение

Есть только две одномерные группы точек: группа идентичности и группа отражения.

Группа	Coxeter	Диаграмма Кокстера	Заказ	Описание
C1	[ ]+		1	Личность
D1	[ ]		2	Группа отражения

Два измерения

Группы точек в двух измерениях иногда называют розетки группы.

Они делятся на две бесконечные семьи:

1. Циклические группы C_п из пгруппы вращения
2. Диэдральные группы D_п из пгруппы поворота и отражения

Применяя кристаллографическая теорема ограничения ограничивает п к значениям 1, 2, 3, 4 и 6 для обеих семей, что дает 10 групп.

Конечный изоморфизм и соответствия

Подмножество чисто отражающих точечных групп, определяемых одним или двумя зеркалами, также может быть задано их Группа Коксетера и связанные полигоны. К ним относятся 5 кристаллографических групп. Симметрия отражательных групп может быть увеличена вдвое за счет изоморфизм, отображая оба зеркала друг на друга с помощью биссектрисы, удваивая порядок симметрии.

Светоотражающий					Вращательный				Связанный полигоны
Группа	Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера		Заказ	Подгруппа	Coxeter	Заказ
D1	А1	[ ]			2	C1	[]+	1	Дигон
D2	А12	[2]			4	C2	[2]+	2	Прямоугольник
D3	А2	[3]			6	C3	[3]+	3	Равносторонний треугольник
D4	до н.э2	[4]			8	C4	[4]+	4	Квадрат
D5	ЧАС2	[5]			10	C5	[5]+	5	Правильный пятиугольник
D6	грамм2	[6]			12	C6	[6]+	6	Правильный шестиугольник
Dп	я2(п)	[n]			2п	Cп	[n]+	п	Правильный многоугольник
D2×2	А12×2	[[2]] = [4]		=	8
D3×2	А2×2	[[3]] = [6]		=	12
D4×2	до н.э2×2	[[4]] = [8]		=	16
D5×2	ЧАС2×2	[[5]] = [10]		=	20
D6×2	грамм2×2	[[6]] = [12]		=	24
Dп×2	я2(п) × 2	[[n]] = [2n]		=	4п

Три измерения

Группы точек в трех измерениях иногда называют молекулярные точечные группы после их широкого использования при изучении симметрии малых молекулы.

Они входят в 7 бесконечных семейств аксиальных или призматических групп и 7 дополнительных полиэдральных или платоновых групп. В Обозначение Шенфлиса,*

• Осевые группы: C_п, S_2п, С_пчас, С_пv, D_п, D_пd, D_пчас
• Группы полиэдров: Т, Т_d, Т_час, О, О_час, Я, я_час

Применяя кристаллографическую теорему об ограничении к этим группам, получаем 32 Кристаллографические точечные группы.

Четные / нечетные цветные фундаментальные области рефлексивных групп

C1v Заказ 2	C2v Заказ 4	C3в Заказ 6	C4в Заказ 8	C5в Заказ 10	C6v Заказ 12	...
D1 час Заказ 4	D2ч Заказ 8	D3ч Заказ 12	D4ч Заказ 16	D5ч Заказ 20	D6ч Заказ 24	...
Тd Заказ 24	Очас Заказ 48	ячас Заказ 120

Группы отражения

Конечный изоморфизм и соответствия

Группы точек отражения, определяемые от 1 до 3 зеркальных плоскостей, также могут быть заданы их Группа Коксетера и родственные многогранники. Группа [3,3] может быть удвоена, записана как [[3,3]], отображая первое и последнее зеркала друг на друга, удваивая симметрию до 48 и изоморфная группе [4,3].

Schönflies	Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера			Заказ	Связанные обычные и призматические многогранники
Тd	А3	[3,3]				24	Тетраэдр
Тd× Ди1 = Oчас	А3× 2 = ВС3	[[3,3]] = [4,3]			=	48	Звездчатый октаэдр
Очас	до н.э3	[4,3]				48	Куб, октаэдр
ячас	ЧАС3	[5,3]				120	Икосаэдр, додекаэдр
D3ч	А2× А1	[3,2]				12	Треугольная призма
D3ч× Ди1 = D6ч	А2× А1×2	[[3],2]			=	24	Гексагональная призма
D4ч	до н.э2× А1	[4,2]				16	Квадратная призма
D4ч× Ди1 = D8ч	до н.э2× А1×2	[[4],2] = [8,2]			=	32	Восьмиугольная призма
D5ч	ЧАС2× А1	[5,2]				20	Пятиугольная призма
D6ч	грамм2× А1	[6,2]				24	Гексагональная призма
Dн	я2(п) × А1	[n, 2]				4п	п-гональный призма
Dн× Ди1 = D2nh	я2(п) × А1×2	[[n], 2]			=	8п
D2ч	А13	[2,2]				8	Кубоид
D2ч× Ди1	А13×2	[[2],2] = [4,2]			=	16
D2ч× Ди3 = Oчас	А13×6	[3[2,2]] = [4,3]			=	48
C3в	А2	[1,3]				6	Хосоэдр
C4в	до н.э2	[1,4]				8
C5в	ЧАС2	[1,5]				10
C6v	грамм2	[1,6]				12
CNV	я2(п)	[1, n]				2п
CNV× Ди1 = C2NV	я2(п)×2	[1,[п]] = [1,2n]			=	4п
C2v	А12	[1,2]				4
C2v× Ди1	А12×2	[1,[2]]			=	8
Cs	А1	[1,1]				2

Четыре измерения

Четырехмерные точечные группы (киральные и ахиральные) перечислены у Конвея и Смита,^[1] Раздел 4, Таблицы 4.1–4.3.

Конечный изоморфизм и соответствия

В следующем списке приведены четырехмерные группы отражений (за исключением тех, которые оставляют подпространство фиксированным и, следовательно, являются группами отражений меньшей размерности). Каждая группа обозначена как Группа Коксетера, и как многогранные группы 3D, его можно назвать выпуклый правильный 4-многогранник. Связанные группы чистого вращения существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобкой Обозначение Кокстера с показателем '+', например [3,3,3]⁺ имеет три точки 3-кратного вращения и порядок симметрии 60. Симметричные группы спереди назад, такие как [3,3,3] и [3,4,3], могут быть удвоены, что показано в виде двойных скобок в обозначениях Кокстера, например [[3 , 3,3]] с его порядком, увеличенным вдвое до 240.

Группа Коксетера /обозначение		Диаграмма Кокстера		Заказ	Связанные многогранники
А4	[3,3,3]			120	5-элементный
А4×2	[[3,3,3]]			240	5-элементный двойной состав
до н.э4	[4,3,3]			384	16 ячеек /Тессеракт
D4	[31,1,1]			192	Демитессерактика
D4× 2 = ВС4	<[3,31,1]> = [4,3,3]		=	384
D4× 6 = F4	[3[31,1,1]] = [3,4,3]		=	1152
F4	[3,4,3]			1152	24-элементный
F4×2	[[3,4,3]]			2304	24-элементный двойной состав
ЧАС4	[5,3,3]			14400	120 ячеек /600 ячеек
А3× А1	[3,3,2]			48	Тетраэдрическая призма
А3× А1×2	[[3,3],2] = [4,3,2]		=	96	Октаэдрическая призма
до н.э3× А1	[4,3,2]			96
ЧАС3× А1	[5,3,2]			240	Икосаэдрическая призма
А2× А2	[3,2,3]			36	Дуопризма
А2× BC2	[3,2,4]			48
А2× H2	[3,2,5]			60
А2× G2	[3,2,6]			72
до н.э2× BC2	[4,2,4]			64
до н.э22×2	[[4,2,4]]			128
до н.э2× H2	[4,2,5]			80
до н.э2× G2	[4,2,6]			96
ЧАС2× H2	[5,2,5]			100
ЧАС2× G2	[5,2,6]			120
грамм2× G2	[6,2,6]			144
я2(p) × I2(q)	[p, 2, q]			4pq
я2(2р) × I2(q)	[[p], 2, q] = [2p, 2, q]		=	8pq
я2(2р) × I2(2q)	[[p]], 2, [[q]] = [2п,2,2q]		=	16pq
я2(п)2×2	[[p, 2, p]]			8п2
я2(2p)2×2	[[[p], 2, [p]]]] = [[2p, 2,2p]]		=	32п2
А2× А1× А1	[3,2,2]			24
до н.э2× А1× А1	[4,2,2]			32
ЧАС2× А1× А1	[5,2,2]			40
грамм2× А1× А1	[6,2,2]			48
я2(p) × A1× А1	[п, 2,2]			8п
я2(2р) × А1× А1×2	[[p], 2,2] = [2p, 2,2]		=	16п
я2(p) × A12×2	[p, 2, [2]] = [p, 2,4]		=	16п
я2(2р) × А12×4	[[p]], 2, [[2]] = [2p, 2,4]		=	32п
А1× А1× А1× А1	[2,2,2]			16	4-ортотоп
А12× А1× А1×2	[[2],2,2] = [4,2,2]		=	32
А12× А12×4	[[2]],2,[[2]] = [4,2,4]		=	64
А13× А1×6	[3[2,2],2] = [4,3,2]		=	96
А14×24	[3,3[2,2,2]] = [4,3,3]		=	384

Пять измерений

Конечный изоморфизм и соответствия

В следующей таблице приведены пятимерные группы отражений (за исключением групп отражений более низкой размерности), перечисленные как Группы Кокстера. Связанные киральные группы существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобкой Обозначение Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3]⁺ имеет четыре точки 3-кратного вращения и порядок симметрии 360.

Группа Коксетера /обозначение		Coxeter диаграммы		Заказ	Связанные обычные и призматические многогранники
А5	[3,3,3,3]			720	5-симплекс
А5×2	[[3,3,3,3]]			1440	5-симплекс двойное соединение
до н.э5	[4,3,3,3]			3840	5-куб, 5-ортоплекс
D5	[32,1,1]			1920	5-полукуб
D5×2	<[3,3,31,1]>		=	3840
А4× А1	[3,3,3,2]			240	5-элементный призма
А4× А1×2	[[3,3,3],2]			480
до н.э4× А1	[4,3,3,2]			768	тессеракт призма
F4× А1	[3,4,3,2]			2304	24-элементный призма
F4× А1×2	[[3,4,3],2]			4608
ЧАС4× А1	[5,3,3,2]			28800	600 ячеек или же 120 ячеек призма
D4× А1	[31,1,1,2]			384	Призма демитессеракта
А3× А2	[3,3,2,3]			144	Дуопризма
А3× А2×2	[[3,3],2,3]			288
А3× BC2	[3,3,2,4]			192
А3× H2	[3,3,2,5]			240
А3× G2	[3,3,2,6]			288
А3× я2(п)	[3,3,2, п]			48p
до н.э3× А2	[4,3,2,3]			288
до н.э3× BC2	[4,3,2,4]			384
до н.э3× H2	[4,3,2,5]			480
до н.э3× G2	[4,3,2,6]			576
до н.э3× я2(п)	[4,3,2, п]			96p
ЧАС3× А2	[5,3,2,3]			720
ЧАС3× BC2	[5,3,2,4]			960
ЧАС3× H2	[5,3,2,5]			1200
ЧАС3× G2	[5,3,2,6]			1440
ЧАС3× я2(п)	[5,3,2, п]			240p
А3× А12	[3,3,2,2]			96
до н.э3× А12	[4,3,2,2]			192
ЧАС3× А12	[5,3,2,2]			480
А22× А1	[3,2,3,2]			72	дуопризм призма
А2× BC2× А1	[3,2,4,2]			96
А2× H2× А1	[3,2,5,2]			120
А2× G2× А1	[3,2,6,2]			144
до н.э22× А1	[4,2,4,2]			128
до н.э2× H2× А1	[4,2,5,2]			160
до н.э2× G2× А1	[4,2,6,2]			192
ЧАС22× А1	[5,2,5,2]			200
ЧАС2× G2× А1	[5,2,6,2]			240
грамм22× А1	[6,2,6,2]			288
я2(p) × I2(q) × A1	[p, 2, q, 2]			8пк
А2× А13	[3,2,2,2]			48
до н.э2× А13	[4,2,2,2]			64
ЧАС2× А13	[5,2,2,2]			80
грамм2× А13	[6,2,2,2]			96
я2(p) × A13	[п, 2,2,2]			16p
А15	[2,2,2,2]			32	5-ортотоп
А15×(2! )	[[2],2,2,2]		=	64
А15×(2!×2! )	[[2]],2,[2],2]		=	128
А15×(3! )	[3[2,2],2,2]		=	192
А15×(3!×2! )	[3[2,2],2,[[2]]		=	384
А15×(4! )	[3,3[2,2,2],2]]		=	768
А15×(5! )	[3,3,3[2,2,2,2]]		=	3840

Шесть измерений

Конечный изоморфизм и соответствия

В следующей таблице приведены шестимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низкой размерности), перечисленные как Группы Кокстера. Связанные группы чистого вращения существуют для каждой с половиной порядка и могут быть представлены скобкой Обозначение Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3]⁺ имеет пять точек 3-кратного вращения и порядок симметрии 2520.

Группа Коксетера		Coxeter диаграмма	Заказ	Связанные обычные и призматические многогранники
А6	[3,3,3,3,3]		5040 (7!)	6-симплекс
А6×2	[[3,3,3,3,3]]		10080 (2×7!)	6-симплекс двойное соединение
до н.э6	[4,3,3,3,3]		46080 (26×6!)	6-куб, 6-ортоплекс
D6	[3,3,3,31,1]		23040 (25×6!)	6-полукуб
E6	[3,32,2]		51840 (72×6!)	122, 221
А5× А1	[3,3,3,3,2]		1440 (2×6!)	5-симплексная призма
до н.э5× А1	[4,3,3,3,2]		7680 (26×5!)	5-кубическая призма
D5× А1	[3,3,31,1,2]		3840 (25×5!)	Призма с 5 полукубами
А4× я2(п)	[3,3,3,2, p]		240p	Дуопризма
до н.э4× я2(п)	[4,3,3,2, p]		768p
F4× я2(п)	[3,4,3,2, п]		2304p
ЧАС4× я2(п)	[5,3,3,2, p]		28800p
D4× я2(п)	[3,31,1, 2, п]		384p
А4× А12	[3,3,3,2,2]		480
до н.э4× А12	[4,3,3,2,2]		1536
F4× А12	[3,4,3,2,2]		4608
ЧАС4× А12	[5,3,3,2,2]		57600
D4× А12	[3,31,1,2,2]		768
А32	[3,3,2,3,3]		576
А3× BC3	[3,3,2,4,3]		1152
А3× H3	[3,3,2,5,3]		2880
до н.э32	[4,3,2,4,3]		2304
до н.э3× H3	[4,3,2,5,3]		5760
ЧАС32	[5,3,2,5,3]		14400
А3× я2(p) × A1	[3,3,2, п, 2]		96p	Двойная призма
до н.э3× я2(p) × A1	[4,3,2, п, 2]		192p
ЧАС3× я2(p) × A1	[5,3,2, п, 2]		480p
А3× А13	[3,3,2,2,2]		192
до н.э3× А13	[4,3,2,2,2]		384
ЧАС3× А13	[5,3,2,2,2]		960
я2(p) × I2(q) × I2(р)	[p, 2, q, 2, r]		8pqr	Триапризма
я2(p) × I2(q) × A12	[p, 2, q, 2,2]		16пк
я2(p) × A14	[п, 2,2,2,2]		32p
А16	[2,2,2,2,2]		64	6-ортотоп

Семь измерений

В следующей таблице представлены семимерные группы отражений (за исключением тех, которые являются группами отражений более низкой размерности), перечисленные как Группы Кокстера. Связанные киральные группы существуют для каждой с половиной порядка, определяемого четное число отражений, и может быть представлена ​​скобкой Обозначение Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3,3]⁺ имеет шесть точек 3-кратного вращения и порядок симметрии 20160.

Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера	Заказ	Связанные многогранники
А7	[3,3,3,3,3,3]		40320 (8!)	7-симплекс
А7×2	[[3,3,3,3,3,3]]		80640 (2×8!)	7-симплекс двойное соединение
до н.э7	[4,3,3,3,3,3]		645120 (27×7!)	7-куб, 7-ортоплекс
D7	[3,3,3,3,31,1]		322560 (26×7!)	7-полукуб
E7	[3,3,3,32,1]		2903040 (8×9!)	321, 231, 132
А6× А1	[3,3,3,3,3,2]		10080 (2×7!)
до н.э6× А1	[4,3,3,3,3,2]		92160 (27×6!)
D6× А1	[3,3,3,31,1,2]		46080 (26×6!)
E6× А1	[3,3,32,1,2]		103680 (144×6!)
А5× я2(п)	[3,3,3,3,2, p]		1440p
до н.э5× я2(п)	[4,3,3,3,2, p]		7680p
D5× я2(п)	[3,3,31,1, 2, п]		3840p
А5× А12	[3,3,3,3,2,2]		2880
до н.э5× А12	[4,3,3,3,2,2]		15360
D5× А12	[3,3,31,1,2,2]		7680
А4× А3	[3,3,3,2,3,3]		2880
А4× BC3	[3,3,3,2,4,3]		5760
А4× H3	[3,3,3,2,5,3]		14400
до н.э4× А3	[4,3,3,2,3,3]		9216
до н.э4× BC3	[4,3,3,2,4,3]		18432
до н.э4× H3	[4,3,3,2,5,3]		46080
ЧАС4× А3	[5,3,3,2,3,3]		345600
ЧАС4× BC3	[5,3,3,2,4,3]		691200
ЧАС4× H3	[5,3,3,2,5,3]		1728000
F4× А3	[3,4,3,2,3,3]		27648
F4× BC3	[3,4,3,2,4,3]		55296
F4× H3	[3,4,3,2,5,3]		138240
D4× А3	[31,1,1,2,3,3]		4608
D4× BC3	[3,31,1,2,4,3]		9216
D4× H3	[3,31,1,2,5,3]		23040
А4× я2(p) × A1	[3,3,3,2, п, 2]		480p
до н.э4× я2(p) × A1	[4,3,3,2, п, 2]		1536p
D4× я2(p) × A1	[3,31,1, 2, п, 2]		768p
F4× я2(p) × A1	[3,4,3,2, п, 2]		4608p
ЧАС4× я2(p) × A1	[5,3,3,2, п, 2]		57600p
А4× А13	[3,3,3,2,2,2]		960
до н.э4× А13	[4,3,3,2,2,2]		3072
F4× А13	[3,4,3,2,2,2]		9216
ЧАС4× А13	[5,3,3,2,2,2]		115200
D4× А13	[3,31,1,2,2,2]		1536
А32× А1	[3,3,2,3,3,2]		1152
А3× BC3× А1	[3,3,2,4,3,2]		2304
А3× H3× А1	[3,3,2,5,3,2]		5760
до н.э32× А1	[4,3,2,4,3,2]		4608
до н.э3× H3× А1	[4,3,2,5,3,2]		11520
ЧАС32× А1	[5,3,2,5,3,2]		28800
А3× я2(p) × I2(q)	[3,3,2, p, 2, q]		96pq
до н.э3× я2(p) × I2(q)	[4,3,2, p, 2, q]		192pq
ЧАС3× я2(p) × I2(q)	[5,3,2, p, 2, q]		480 пикселей
А3× я2(p) × A12	[3,3,2, п, 2,2]		192p
до н.э3× я2(p) × A12	[4,3,2, п, 2,2]		384p
ЧАС3× я2(p) × A12	[5,3,2, п, 2,2]		960p
А3× А14	[3,3,2,2,2,2]		384
до н.э3× А14	[4,3,2,2,2,2]		768
ЧАС3× А14	[5,3,2,2,2,2]		1920
я2(p) × I2(q) × I2(г) × А1	[p, 2, q, 2, r, 2]		16pqr
я2(p) × I2(q) × A13	[p, 2, q, 2,2,2]		32пк
я2(p) × A15	[п, 2,2,2,2,2]		64p
А17	[2,2,2,2,2,2]		128

Восемь измерений

В следующей таблице приведены восьмимерные группы отражений (исключая те, которые являются группами отражений более низкой размерности), в виде Группы Кокстера. Связанные киральные группы существуют для каждой с половиной порядка, определяемого четное число отражений и может быть представлена ​​скобкой Обозначение Кокстера с показателем '+', например [3,3,3,3,3,3,3]⁺ имеет семь точек 3-кратного вращения и порядок симметрии 181440.

Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера	Заказ	Связанные многогранники
А8	[3,3,3,3,3,3,3]		362880 (9!)	8-симплекс
А8×2	[[3,3,3,3,3,3,3]]		725760 (2×9!)	8-симплекс двойное соединение
до н.э8	[4,3,3,3,3,3,3]		10321920 (288!)	8-куб,8-ортоплекс
D8	[3,3,3,3,3,31,1]		5160960 (278!)	8-полукруглый
E8	[3,3,3,3,32,1]		696729600 (192×10!)	421, 241, 142
А7× А1	[3,3,3,3,3,3,2]		80640	7-симплексная призма
до н.э7× А1	[4,3,3,3,3,3,2]		645120	7-кубическая призма
D7× А1	[3,3,3,3,31,1,2]		322560	Призма с 7 полукубами
E7 × А1	[3,3,3,32,1,2]		5806080	321 призма, 231 призма, 142 призма
А6× я2(п)	[3,3,3,3,3,2, p]		10080p	дуопризма
до н.э6× я2(п)	[4,3,3,3,3,2, p]		92160p
D6× я2(п)	[3,3,3,31,1, 2, п]		46080p
E6× я2(п)	[3,3,32,1, 2, п]		103680p
А6× А12	[3,3,3,3,3,2,2]		20160
до н.э6× А12	[4,3,3,3,3,2,2]		184320
D6× А12	[33,1,1,2,2]		92160
E6× А12	[3,3,32,1,2,2]		207360
А5× А3	[3,3,3,3,2,3,3]		17280
до н.э5× А3	[4,3,3,3,2,3,3]		92160
D5× А3	[32,1,1,2,3,3]		46080
А5× BC3	[3,3,3,3,2,4,3]		34560
до н.э5× BC3	[4,3,3,3,2,4,3]		184320
D5× BC3	[32,1,1,2,4,3]		92160
А5× H3	[3,3,3,3,2,5,3]
до н.э5× H3	[4,3,3,3,2,5,3]
D5× H3	[32,1,1,2,5,3]
А5× я2(p) × A1	[3,3,3,3,2, п, 2]
до н.э5× я2(p) × A1	[4,3,3,3,2, п, 2]
D5× я2(p) × A1	[32,1,1, 2, п, 2]
А5× А13	[3,3,3,3,2,2,2]
до н.э5× А13	[4,3,3,3,2,2,2]
D5× А13	[32,1,1,2,2,2]
А4× А4	[3,3,3,2,3,3,3]
до н.э4× А4	[4,3,3,2,3,3,3]
D4× А4	[31,1,1,2,3,3,3]
F4× А4	[3,4,3,2,3,3,3]
ЧАС4× А4	[5,3,3,2,3,3,3]
до н.э4× BC4	[4,3,3,2,4,3,3]
D4× BC4	[31,1,1,2,4,3,3]
F4× BC4	[3,4,3,2,4,3,3]
ЧАС4× BC4	[5,3,3,2,4,3,3]
D4× D4	[31,1,1,2,31,1,1]
F4× D4	[3,4,3,2,31,1,1]
ЧАС4× D4	[5,3,3,2,31,1,1]
F4× F4	[3,4,3,2,3,4,3]
ЧАС4× F4	[5,3,3,2,3,4,3]
ЧАС4× H4	[5,3,3,2,5,3,3]
А4× А3× А1	[3,3,3,2,3,3,2]			призмы дуопризмы
А4× BC3× А1	[3,3,3,2,4,3,2]
А4× H3× А1	[3,3,3,2,5,3,2]
до н.э4× А3× А1	[4,3,3,2,3,3,2]
до н.э4× BC3× А1	[4,3,3,2,4,3,2]
до н.э4× H3× А1	[4,3,3,2,5,3,2]
ЧАС4× А3× А1	[5,3,3,2,3,3,2]
ЧАС4× BC3× А1	[5,3,3,2,4,3,2]
ЧАС4× H3× А1	[5,3,3,2,5,3,2]
F4× А3× А1	[3,4,3,2,3,3,2]
F4× BC3× А1	[3,4,3,2,4,3,2]
F4× H3× А1	[3,4,2,3,5,3,2]
D4× А3× А1	[31,1,1,2,3,3,2]
D4× BC3× А1	[31,1,1,2,4,3,2]
D4× H3× А1	[31,1,1,2,5,3,2]
А4× я2(p) × I2(q)	[3,3,3,2, p, 2, q]			триапризм
до н.э4× я2(p) × I2(q)	[4,3,3,2, p, 2, q]
F4× я2(p) × I2(q)	[3,4,3,2, p, 2, q]
ЧАС4× я2(p) × I2(q)	[5,3,3,2, p, 2, q]
D4× я2(p) × I2(q)	[31,1,1, 2, p, 2, q]
А4× я2(p) × A12	[3,3,3,2, п, 2,2]
до н.э4× я2(p) × A12	[4,3,3,2, п, 2,2]
F4× я2(p) × A12	[3,4,3,2, п, 2,2]
ЧАС4× я2(p) × A12	[5,3,3,2, п, 2,2]
D4× я2(p) × A12	[31,1,1, 2, п, 2,2]
А4× А14	[3,3,3,2,2,2,2]
до н.э4× А14	[4,3,3,2,2,2,2]
F4× А14	[3,4,3,2,2,2,2]
ЧАС4× А14	[5,3,3,2,2,2,2]
D4× А14	[31,1,1,2,2,2,2]
А3× А3× я2(п)	[3,3,2,3,3,2, p]
до н.э3× А3× я2(п)	[4,3,2,3,3,2, p]
ЧАС3× А3× я2(п)	[5,3,2,3,3,2, p]
до н.э3× BC3× я2(п)	[4,3,2,4,3,2, p]
ЧАС3× BC3× я2(п)	[5,3,2,4,3,2, p]
ЧАС3× H3× я2(п)	[5,3,2,5,3,2, p]
А3× А3× А12	[3,3,2,3,3,2,2]
до н.э3× А3× А12	[4,3,2,3,3,2,2]
ЧАС3× А3× А12	[5,3,2,3,3,2,2]
до н.э3× BC3× А12	[4,3,2,4,3,2,2]
ЧАС3× BC3× А12	[5,3,2,4,3,2,2]
ЧАС3× H3× А12	[5,3,2,5,3,2,2]
А3× я2(p) × I2(q) × A1	[3,3,2, p, 2, q, 2]
до н.э3× я2(p) × I2(q) × A1	[4,3,2, p, 2, q, 2]
ЧАС3× я2(p) × I2(q) × A1	[5,3,2, p, 2, q, 2]
А3× я2(p) × A13	[3,3,2, п, 2,2,2]
до н.э3× я2(p) × A13	[4,3,2, п, 2,2,2]
ЧАС3× я2(p) × A13	[5,3,2, п, 2,2,2]
А3× А15	[3,3,2,2,2,2,2]
до н.э3× А15	[4,3,2,2,2,2,2]
ЧАС3× А15	[5,3,2,2,2,2,2]
я2(p) × I2(q) × I2(г) × I2(s)	[p, 2, q, 2, r, 2, s]		16 шт.
я2(p) × I2(q) × I2(г) × А12	[p, 2, q, 2, r, 2,2]		32pqr
я2(p) × I2(q) × A14	[p, 2, q, 2,2,2,2]		64pq
я2(p) × A16	[п, 2,2,2,2,2,2]		128p
А18	[2,2,2,2,2,2,2]		256