En (алгебра Ли) - En (Lie algebra)

Диаграммы Дынкина
Конечный
E₃=А₂А₁
E₄=А₄
E₅=D₅
E₆
E₇
E₈
Аффинный (расширенный)
E₉ или же E₈⁽¹⁾ или же E₈⁺
Гиперболический (чрезмерно расширенный)
E₁₀ или же E₈^{(1)^} или же E₈⁺⁺
Лоренциан (очень расширенный)
E₁₁ или же E₈⁺⁺⁺
Кац – Муди
E₁₂ или же E₈⁺⁺⁺⁺
...

В математика, особенно в Ложь теория E_п это Алгебра Каца – Муди чей Диаграмма Дынкина является бифуркационным графом с тремя ветвями длины 1, 2 и k, с k = п − 4.

В некоторых старых книгах и статьях E₂ и E₄ используются как названия для грамм₂ и F₄.

Конечномерные алгебры Ли

E_п группа аналогична группе A_п группа, за исключением того, что n-й узел подключен к 3-му узлу. Итак Матрица Картана выглядит одинаково, -1 над и под диагональю, за исключением последней строки и столбца, имеет -1 в третьей строке и столбце. Определитель матрицы Картана для E_п это 9 - п.

E₃ другое название алгебры Ли А₁А₂ размерности 11, с определителем Картана 6.
${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
E₄ другое название алгебры Ли А₄ размерности 24, с определителем Картана 5.
${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 0 & 0 & -1 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
E₅ другое название алгебры Ли D₅ размерности 45, с определителем Картана 4.
${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
E₆ является исключительной алгеброй Ли размерности 78 с определителем Картана 3.
${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2end {smallmatrix}} ight]$
E₇ является исключительной алгеброй Ли размерности 133 с определителем Картана 2.
${displaystyle left [{egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 ]}$
E₈ является исключительной алгеброй Ли размерности 248 с определителем Картана 1.
${Displaystyle влево [{Egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & - 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2end {smallmatrix}} ight]}$

Бесконечномерные алгебры Ли

E₉ это другое название бесконечномерного аффинная алгебра Ли ${displaystyle {ilde {E}} _ {8}}$ (также как E₈⁺ или E₈⁽¹⁾ как (одноузловой) расширенный E₈) (или же Решетка E8 ), отвечающую алгебре Ли типа E₈. E₉ имеет матрицу Картана с определителем 0.
${Displaystyle влево [{Egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
E₁₀ (или же E₈⁺⁺ или же E₈^{(1)^} как (двухузловой) чрезмерно расширенный E₈) является бесконечномерным Алгебра Каца – Муди решетка корней которого является четной лоренцевой унимодулярная решетка II_9,1 размерности 10. Были вычислены некоторые из его кратностей корней; для маленьких корней множественность кажется хорошей, но для больших корней наблюдаемые закономерности нарушаются. E₁₀ имеет матрицу Картана с определителем −1:
${Displaystyle влево [{Egin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2end {smallmatrix}} ight]}$
E₁₁ (или же E₈⁺⁺⁺ как (трехузловой) очень расширенный E₈) это Лоренцеву алгебру, содержащего одно временное мнимое измерение, которое, как предполагалось, порождает "группу" симметрии М-теория.
E_п за п≥12 - бесконечномерная Алгебра Каца – Муди это мало изучено.

Корневая решетка

Корневая решетка E_п имеет определитель 9 - п, и может быть построена как решетка векторов в унимодулярная лоренцева решетка Z_п,1 ортогональные вектору (1,1,1,1, ..., 1 | 3) нормы п × 1² − 3² = п − 9.

E7½

Ландсберг и Манивель расширили определение E_п для целого числа п включить дело п = 7½. Они сделали это для того, чтобы заполнить «дыру» в формулах размерностей для представлений E_п серию, которую наблюдали Цвитанович, Делинь, Коэн и де Ман. E_7½ имеет размерность 190, но не является простой алгеброй Ли: она содержит 57-мерную Алгебра Гейзенберга как его нильрадикал.

Смотрите также

k₂₁, 2_k1, 1_k2 многогранники на основе E_п Алгебры Ли.

дальнейшее чтение

Уэст, П. (2001). "E₁₁ и теория М. ". Классическая и квантовая гравитация. 18 (21): 4443–4460. arXiv:hep-th / 0104081. Bibcode:2001CQGra..18.4443W. Дои:10.1088/0264-9381/18/21/305. Учебный класс. Квантовая гравитация. 18 (2001) 4443-4460
Gebert, R.W .; Николай, Х. (1994). "E₁₀ для начинающих". Конспект лекций по физике: 197–210. arXiv:hep-th / 9411188. Дои:10.1007 / 3-540-59163-X_269. Материалы конференции Мемориала Герси '94
Ландсберг, Дж. М. Манивель, Л. Секстонионы и E_7½. Adv. Математика. 201 (2006), нет. 1, 143–179.
Связь между алгебрами Каца-Муди и M-теорией, Пол П. Кук, 2006 г. [1]
Класс лоренцевых алгебр Каца-Муди, Матиас Р. Габердил, Дэвид И. Олив и Питер К. Уэст, 2002 г. [2]