Универсальный многогранник k 21 - Википедия - Uniform k 21 polytope

В геометрия, а униформа k₂₁ многогранник это многогранник в k + 4 измерения, построенные из E_п Группа Коксетера, и имея только правильный многогранник грани. Семья была названа их Символ Кокстера k₂₁ разветвляясь Диаграмма Кокстера – Дынкина, с одним кольцом на конце k-узловая последовательность.

Торольд Госсет обнаружил эту семью как часть его переписи 1900 г. регулярный и полуправильные многогранники, поэтому их иногда называют Полурегулярные фигуры Госсета. Госсет назвал их по размерности от 5 до 9, например 5-я полурегулярная фигура.

Члены семьи

Последовательность, определенная Госсетом, заканчивается бесконечной мозаикой (заполняющей пространство сотой) в 8-мерном пространстве, называемой Решетка E8. (Окончательная форма не была обнаружена Госсетом и называется Решетка E9: 6₂₁. Это мозаика гиперболического 9-мерного пространства, построенного из ∞ 9-симплекс и ∞ 9-ортоплекс фасеты со всеми вершинами на бесконечности.)

Семья начинается с уникальной 6-многогранники. В треугольная призма и выпрямленный 5-элементный включены в начало для полноты. В полусвободный также существует в полугиперкуб семья.

Их также иногда называют по группе симметрии, например Многогранник E6, хотя есть много однородные многогранники в пределах E₆ симметрия.

Полное семейство полуправильных многогранников Госсета:

1. треугольная призма: −1₂₁ (2 треугольники и 3 квадрат лица)
2. выпрямленный 5-элементный: 0₂₁, Тетроктаэдрический (5 тетраэдры и 5 октаэдры клетки)
3. полусвободный: 1₂₁, 5-я полурегулярная фигура (16 5-элементный и 10 16 ячеек грани)
4. 2 21 многогранник: 2₂₁, 6-я полурегулярная фигура (72 5-симплекс и 27 5-ортоплекс грани)
5. 3 21 многогранник: 3₂₁, 7-я полурегулярная фигура (576 6-симплекс и 126 6-ортоплекс грани)
6. 4 21 многогранник: 4₂₁, 8-я полурегулярная фигура (17280 7-симплекс и 2160 7-ортоплекс грани)
7. 5 21 соты: 5₂₁, 9-ic полурегулярная проверка мозаики Евклидово 8-мерное пространство (∞ 8-симплекс и ∞ 8-ортоплекс грани)
8. 6 21 соты: 6₂₁, мозаика гиперболического 9-мерного пространства (∞ 9-симплекс и ∞ 9-ортоплекс грани)

Каждый многогранник строится из (п − 1)-симплекс и (п − 1)-ортоплекс грани.

Ортоплексные грани построены из Группа Коксетера D_п−1 и иметь Символ Шлефли из {3^1,п−1,1} вместо обычного {3^п−2, 4}. Эта конструкция является следствием двух «фасетных типов». Половина граней вокруг каждого ортоплекса гребень прикреплены к другому ортоплексу, а остальные - к симплексу. Напротив, каждый симплексный гребень прикреплен к ортоплексу.

У каждого есть вершина фигуры как в предыдущей форме. Например, выпрямленный 5-элементный имеет фигуру вершины как треугольная призма.

Элементы

Полурегулярные фигуры Госсета

п-IC	k21	График	имя Coxeter диаграмма	Грани		Элементы
				(п − 1)-симплекс {3п−2}	(п − 1)-ортоплекс {3п−4,1,1}	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 лица	5 лиц	6 лиц	7 лиц
3-ic	−121		Треугольная призма	2 треугольники	3 квадраты	6	9	5
4-ic	021		Выпрямленный 5-элементный	5 тетраэдр	5 октаэдр	10	30	30	10
5-ic	121		Demipenteract	16 5-элементный	10 16 ячеек	16	80	160	120	26
6-ic	221		221 многогранник	72 5-симплексов	27 5-ортоплексы	27	216	720	1080	648	99
7-ic	321		321 многогранник	576 6-симплексов	126 6-ортоплексы	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ic	421		421 многогранник	17280 7-симплексов	2160 7-ортоплексы	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	19440
9-ic	521		521 соты	∞ 8-симплексов	∞ 8-ортоплексы	∞
10-ic	621		621 соты	∞ 9-симплексов	∞ 9-ортоплексы	∞

Смотрите также

• Униформа 2_k1 многогранник семья
• Униформа 1_k2 многогранник семья

использованная литература

• Т. Госсет: О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений, Вестник математики, Macmillan, 1900 г.
• Алисия Буль Стотт Геометрическое выведение полуправильных из правильных многогранников и заполнения пространств, Верханделинген академии Конинклийке van Wetenschappen, ширина блока Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
  • Стотт, А. Б. "Геометрический вывод полурегулярных из регулярных многогранников и заполнения пространств". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam 11, 3–24, 1910.
  • Алисия Буль Стотт, "Геометрическая дедукция полуправильных из правильных многогранников и заполнения пространства", Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, (eerste sectie), Vol. 11, № 1, стр. 1–24 плюс 3 пластины, 1910 г.
  • Стотт, А. Б. 1910. "Геометрический вывод полурегулярных из регулярных многогранников и заполнения пространств". Verhandelingen der Koninklijke Akad. Wetenschappen Amsterdam
• Схоут П. Х. Аналитическое рассмотрение многогранников, регулярно получаемых из правильных многогранников. Вер. der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam (eerstie sectie), том 11.5, 1913 г.
• Х. С. М. Коксетер: Регулярные и полурегулярные многогранники, часть I, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1940.
• N.W. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот, Кандидат наук. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• H.S.M. Кокстер: регулярные и полурегулярные многогранники, часть II, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1985
• H.S.M. Кокстер: регулярные и полурегулярные многогранники, часть III, Mathematische Zeitschrift, Springer, Берлин, 1988
• Дж. Блинд и Р. Блинд, "Полурегулярные многогранники", Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150–154
• Джон Х. Конвей, Хайди Берджель, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 411–413: Серия Госсет: n₂₁)

внешние ссылки

• PolyGloss v0.05: Фигуры Госсета (Gossetoicosatope)
• Правильные, полурегулярные, правильные и архимедовы многогранники

v т е Фундаментальный выпуклый регулярный и однородные соты в размерах 2-9
Космос	Семья	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E2	Равномерная черепица	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Шестиугольный
E3	Равномерно выпуклые соты	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
E4	Равномерные 4-соты	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	24-ячеечные соты
E5	Равномерные 5-соты	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
E6	Равномерные 6-соты	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
E7	Равномерные 7-соты	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
E8	Равномерные 8-соты	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
E9	Равномерные 9-соты	{3[10]}	δ10	hδ10	qδ10
Eп-1	Униформа (п-1)-соты	{3[n]}	δп	hδп	qδп	1k2 • 2k1 • k21