Жемчужина Эйлера - Википедия - Eulers Gem

Драгоценный камень Эйлера: формула многогранника и рождение топологии это книга по формуле для Эйлерова характеристика из выпуклые многогранники и его связь с историей топология. Это было написано Дэвид Ричсон и опубликована в 2008 г. Princeton University Press, с изданием в мягкой обложке в 2012 году. Он выиграл 2010 Книжная премия Эйлера из Математическая ассоциация Америки.[1][2]

Темы

Книга организована исторически, и рецензент Роберт Брэдли делит темы книги на три части.[3] В первой части обсуждается более ранняя история многогранников, включая труды Пифагор, Фалес, Евклид, и Иоганн Кеплер, и открытие Рене Декарт многогранной версии Теорема Гаусса – Бонне (позже выяснилось, что это эквивалентно формуле Эйлера). Он исследует жизнь Эйлер, его открытие в начале 1750-х годов, что Эйлерова характеристика равно двум для всех выпуклые многогранники, и его неудачные попытки доказательства, и завершается первым строгим доказательством этого тождества в 1794 г. Адриан-Мари Лежандр,[3][4][5]основанный на теореме Жирара об угловом избытке треугольников в сферическая тригонометрия в свой район.[6][7]

Хотя многогранники - геометрические объекты, Драгоценный камень Эйлера утверждает, что Эйлер открыл свою формулу, будучи первым, кто рассматривал их топологически (как абстрактные паттерны падения вершин, граней и ребер), а не через их геометрические расстояния и углы.[8] (Однако этот аргумент подрывается обсуждением в книге аналогичных идей в более ранних работах Кеплера и Декарта.)[7] Рождение топологии традиционно отмечается более ранним вкладом Эйлера, его работой 1736 г. Семь мостов Кенигсберга, а средняя часть книги соединяет эти два произведения через теория графов.[3] Это доказывает формулу Эйлера в топологической, а не геометрической форме, для планарные графы, и обсуждает его использование для доказательства того, что эти графы имеют вершины с низким степень, ключевой компонент в доказательствах теорема четырех цветов. Он даже подключается к комбинаторная теория игр через графические игры Ростки и брюссельская капуста и их анализ с использованием формулы Эйлера.[3][4]

В третьей части книги Брэдли переходит от топологии плоскости и сферы к произвольным топологическим поверхностям.[3] Для любой поверхности характеристики Эйлера всех подразделений поверхности равны, но они зависят от поверхности, а не всегда равны 2. Здесь в книге описывается работа Бернхард Риманн, Макс Ден, и Пол Хегаард на классификация многообразий, в котором было показано, что двумерные топологические поверхности полностью описываются их эйлеровыми характеристиками и их ориентируемость. Другие темы, обсуждаемые в этой части, включают теория узлов и эйлерова характеристика Поверхности Зейферта, то Теорема Пуанкаре – Хопфа, то Теорема Брауэра о неподвижной точке, Бетти числа, и Григорий Перельман доказательство Гипотеза Пуанкаре.[2][4]

В приложении есть инструкции по созданию бумажных моделей и моделей мыльных пузырей для некоторых примеров из книги.[2][4]

Аудитория и прием

Драгоценный камень Эйлера предназначен для широкой аудитории, интересующейся математическими темами, с биографическими зарисовками и портретами обсуждаемых математиков, множеством диаграмм и визуальных рассуждений вместо строгих доказательств и лишь несколькими простыми уравнениями.[3][4][2] Без упражнений это не учебник.[9] Однако более поздние части книги могут быть тяжелыми для любителей, требуя, по крайней мере, понимания на уровне бакалавриата. исчисление и дифференциальная геометрия.[4][10] Рецензент Дастин Л. Джонс также предполагает, что учителя найдут его примеры, интуитивные объяснения и исторический справочный материал полезными в классе.[11]

Хотя рецензент Джереми Л. Мартин жалуется на то, что «обобщения книги о математической истории и эстетике немного упрощены или даже односторонни», он указывает на существенную математическую ошибку в слиянии в книге полярная двойственность с Двойственность Пуанкаре, и рассматривает отношение книги к компьютерное доказательство будучи «излишне пренебрежительным», он, тем не менее, заключает, что математическое содержание книги «перевешивает эти случайные недостатки».[7] Дастин Джонс оценивает книгу как «уникальное сочетание истории и математики ... увлекательное и увлекательное»,[11] рецензент Брюс Рот называет его «хорошо написанным и полным интересных идей».[6] Рецензент Джанин Даемс пишет: «Было приятно читать эту книгу, и я рекомендую ее всем, кто не боится математических аргументов».[8]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Книжная премия Эйлера, Математическая ассоциация Америки, получено 2020-02-25
  2. ^ а б c d Цесельский, Кшиштоф, "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Математические обзоры, МИСТЕР  2963735
  3. ^ а б c d е ж Брэдли, Роберт (8 января 2009 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Times Higher Education
  4. ^ а б c d е ж Bultheel, Adhemar (Январь 2020 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Обзоры EMS, Европейское математическое общество
  5. ^ Вагнер, Клиффорд (февраль 2010 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Конвергенция, Математическая ассоциация Америки, Дои:10.4169 / loci003291
  6. ^ а б Рот, Брюс (март 2010 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Математический вестник, 94 (529): 176–177, Дои:10.1017 / S0025557200007397, JSTOR  27821912
  7. ^ а б c Мартин, Джереми (декабрь 2010 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 57 (11): 1448–1450
  8. ^ а б Дэмс, Жанин (декабрь 2009 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Математический интеллект, 32 (3): 56–57, Дои:10.1007 / s00283-009-9116-0
  9. ^ Зацер, Уильям Дж. (Октябрь 2008 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Обзоры MAA, Математическая ассоциация Америки
  10. ^ Карпенков Олег, zbMATH, Zbl  1153.55001CS1 maint: журнал без названия (связь)
  11. ^ а б Джонс, Дастин Л. (август 2009 г.), "Обзор Драгоценный камень Эйлера", Учитель математики, Национальный совет учителей математики, 103 (1): 87, JSTOR  20876528