Теорема Коши (геометрия) - Википедия - Cauchys theorem (geometry)

Теорема Коши это теорема в геометрия, названный в честь Огюстен Коши. В нем говорится, что выпуклые многогранники в трех измерениях с конгруэнтный соответствующие грани должны быть конгруэнтны друг другу. То есть любой многогранная сетка образованный разворачиванием граней многогранника на плоской поверхности, вместе с инструкциями по склейке, описывающими, какие грани должны быть соединены друг с другом, однозначно определяет форму исходного многогранника. Например, если шесть квадратов соединены по образцу куба, то они должны образовать куб: не существует выпуклого многогранника с шестью квадратными гранями, соединенными таким же образом, который не имеет одинаковой формы.

Это фундаментальный результат теория жесткости: одно из следствий теоремы состоит в том, что если построить физическую модель выпуклый многогранник соединяя вместе жесткие пластины для каждой из граней многогранника гибкими шарнирами по краям многогранника, то этот ансамбль пластин и петель обязательно образует жесткую конструкцию.

Заявление

Позволять п и Q быть комбинаторно эквивалентный 3-мерные выпуклые многогранники; т.е. они являются выпуклыми многогранниками с изоморфными решетки для лица. Предположим далее, что каждая пара соответствующих граней из п и Q конгруэнтны друг другу, т.е. равны жесткому движению. потом п и Q сами по себе конгруэнтны.

Чтобы увидеть, что выпуклость необходима, рассмотрим правильный икосаэдр. Можно «вдавить» вершину, чтобы создать невыпуклый многогранник, который все еще комбинаторно эквивалентен правильному икосаэдру. Другой способ увидеть это - взять пятиугольную пирамиду вокруг вершины и отразить ее относительно основания.

Выпуклый правильный икосаэдр

История

Результат возник в Евклида Элементы, где твердые тела называются равными, если то же верно и для их граней. Эта версия результата была доказана Коши в 1813 году на основе более ранней работы Лагранж. Ошибка в доказательстве основной леммы Коши исправлена Эрнст Стейниц, Исаак Якоб Шенберг, и Александр Данилович Александров. Исправленное доказательство Коши настолько короткое и элегантное, что считается одним из Доказательства из КНИГИ.[1]

Обобщения и связанные результаты

  • Результат неверен на плоскости или невыпуклых многогранниках в : существуют невыпуклые изгибаемые многогранники которые имеют одну или несколько степеней свободы передвижения, сохраняющих форму их лиц. В частности, Октаэдры Брикара самопересекающиеся гибкие поверхности открыл французский математик Рауль Брикар в 1897 году. Сфера Коннеллиизгибаемый невыпуклый многогранник, гомеоморфный 2-сфере, был открыт Роберт Коннелли в 1977 г.[2][3]
  • Первоначально доказанная Коши в трех измерениях, теорема была расширена на размерности выше 3 Александров (1950).
  • Теорема Коши о жесткости является следствием теоремы Коши о том, что выпуклый многогранник нельзя деформировать так, чтобы его грани оставались жесткими.
  • В 1974 году Герман Глюк показал, что в определенном точном смысле почти все односвязный закрытые поверхности жесткие.[4]
  • Теорема жесткости Дена является распространением теоремы Коши о жесткости на бесконечно малую жесткость. Этот результат был получен Ден в 1916 г.
  • Теорема единственности Александрова является результатом Александров (1950), обобщив теорему Коши, показав, что выпуклые многогранники однозначно описываются метрические пространства из геодезические на их поверхности. Аналогичная теорема единственности для гладких поверхностей доказана Кон-Фоссен в 1927 г. Теорема единственности Погорелова является результатом Погорелов обобщая оба этих результата и применяя их к общим выпуклым поверхностям.

Рекомендации

  1. ^ Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2014). Доказательства из КНИГИ. Springer. С. 91–93. ISBN  9783540404606.CS1 maint: ref = harv (связь)
  2. ^ Коннелли, Роберт (1977). «Контрпример к гипотезе о жесткости многогранников». Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 47: 333–338. Дои:10.1007 / BF02684342. ISSN  0073-8301. S2CID  122968997.
  3. ^ Коннелли, Роберт (1979). «Жесткость многогранных поверхностей». Математический журнал. 52 (5): 275–283. Дои:10.2307/2689778. JSTOR  2689778.
  4. ^ Глюк, Герман (1975). «Почти все односвязные замкнутые поверхности жесткие». В Глейзере - Лесли Кертис; Спешка, Томас Бенджамин (ред.). Геометрическая топология. Конспект лекций по математике. 438. Springer Berlin Heidelberg. С. 225–239. Дои:10.1007 / bfb0066118. ISBN  9783540374121.

Цитаты