Группа контактов - Википедия - Pin group

В математика, то группа контактов определенная подгруппа группы Алгебра Клиффорда связано с квадратичное пространство. Он отображает 2-к-1 на ортогональная группа, так же как вращательная группа отображает 2-в-1 на специальная ортогональная группа.

В общем случае отображение группы Pin в ортогональную группу является нет на или универсальное перекрытие, но если квадратичная форма определена (а размерность больше 2), то и то и другое.

Нетривиальный элемент ядра обозначается −1, что не следует путать с ортогональным преобразованием отражение через начало координат, обычно обозначается -я.

Общее определение

Определенная форма

Группа выводов определенной формы отображается на ортогональную группу, и каждый компонент односвязен: он двойные обложки ортогональная группа. Группы выводов для положительно определенной квадратичной формы Q а за его негатив -Q не изоморфны, но ортогональные группы являются.^{[примечание 1]}

В стандартных формах O (п, 0) = O (0, п), но Pin (п, 0) и Pin (0, п), вообще говоря, не изоморфны. Использование знака «+» для алгебр Клиффорда (где ${ Displaystyle v ^ {2} = Q (v) in mathrm {Cl} (V, Q)}$ ), пишут

{ displaystyle { mbox {Pin}} _ {+} (n): = { mbox {Pin}} (n, 0) qquad { mbox {Pin}} _ {-} (n): = { mbox {Pin}} (0, n)}

и они оба отображаются на O (п) = O (п, 0) = O (0, п).

Напротив, мы имеем естественный изоморфизм^{[заметка 2]} Вращение(п, 0) ≅ Spin (0, п), и оба они (единственные) нетривиальные двойная крышка из специальная ортогональная группа ТАК(п), который является (единственным) универсальный чехол за п ≥ 3.

Неопределенная форма

Всего существует восемь различных двойных каверов на O (п, q), за п, q ≠ 0, которые соответствуют расширениям центра (либо C₂ × С₂ или C₄) пользователя C₂. Только две из них являются группами контактов - те, которые допускают Алгебра Клиффорда как представление. Они называются Пин (п, q) и Пин (q, п) соответственно.

Как топологическая группа

Каждый связаны топологическая группа имеет уникальное универсальное покрытие как топологическое пространство, которое имеет уникальную групповую структуру как центральное расширение фундаментальной группы. Для несвязной топологической группы существует уникальное универсальное покрытие компонента идентичности группы, и можно взять такое же покрытие, как топологические пространства на других компонентах (которые являются главные однородные пространства для компонента идентичности), но структура группы на других компонентах в целом не определяется однозначно.

Группы Pin и Spin: частности топологические группы, связанные с ортогональными и специальными ортогональными группами, происходящими из алгебр Клиффорда: существуют другие подобные группы, соответствующие другим двойным покрытиям или другим групповым структурам на других компонентах, но они не упоминаются как группы Pin или Spin, ни много учился.

В 2001, Анджей Траутман^{[заметка 3]} нашел множество всех 32 неэквивалентных двойных накрытий O (п) x O (q) максимальная компактная подгруппа в O (п, q) и явное построение 8 двойных накрытий той же группы O (п, q).

Строительство

Две группы контактов соответствуют двум центральным удлинителям.

{ displaystyle 1 to { pm 1 } to { mbox {Pin}} _ { pm} (V) to mathrm {O} (V) to 1.}

Структура группы на Spin (V) (связная составляющая определителя 1) уже определена; групповая структура на другом компоненте определена с точностью до центра и, таким образом, имеет неопределенность ± 1.

Эти два расширения различаются тем, соответствует ли прообраз отражения квадрату ± 1 ∈ Ker (Spin (V) → SO (V)), и две группы контактов названы соответственно. Явно отражение имеет порядок 2 в O (V), р² = 1, поэтому квадрат прообраза отражения (имеющего определитель) должен находиться в ядре Spin_±(V) → SO (V), так ${ displaystyle { tilde {r}} ^ {2} = pm 1}$ , и любой выбор определяет группу выводов (поскольку все отражения сопряжены элементом SO (V), который связан, все отражения должны равняться одному и тому же значению).

Конкретно в ПИН₊, ${ displaystyle { tilde {r}}}$ имеет порядок 2, а прообраз подгруппы {1, р} - это C₂ × С₂: если повторять то же самое отражение дважды - личность.

В булавке₋, ${ displaystyle { tilde {r}}}$ имеет порядок 4, а прообраз подгруппы {1, р} - это C₄: если дважды повторить одно и то же отражение, получится "a вращение на 2π "- нетривиальный элемент Spin (V) → SO (V) можно интерпретировать как «поворот на 2π» (каждая ось дает один и тот же элемент).

Низкие габариты

В одном измерении группы контактов конгруэнтны первой диэдральной и дициклической группам:

{ displaystyle { begin {align} { mbox {Pin}} _ {+} (1) & cong mathrm {C} _ {2} times mathrm {C} _ {2} = { mbox {Dih}} _ {1} { mbox {Pin}} _ {-} (1) & cong mathrm {C} _ {4} = { mbox {Dic}} _ {1}. конец {выровнен}}}

В двух измерениях разница между Pin₊ и закрепить₋ отражает различие между группа диэдра из 2п-угольник и дициклическая группа циклической группы C_2п.

В булавке₊, прообраз диэдральной группы п-угольник, рассматриваемый как подгруппа Dih_п п-gon, Dih_2п <Пин₊(2), в то время как в Pin₋, прообраз диэдральной группы является дициклическая группа Dic_п <Пин₋(2).

Результирующий коммутативный квадрат подгрупп для Spin (2), Pin₊(2), SO (2), O (2), а именно C_2п, Ди_2п, С_п, Ди_п - также получается с помощью проективная ортогональная группа (спускаясь от O на 2-кратное частное, а не на 2-кратное покрытие вверх) в квадрате SO (2), O (2), PSO (2), PO (2), хотя в данном случае также реализуется геометрически, как "проекция 2п-угольник в круге - это п-угольник в проективной прямой ».

В 3-х измерениях ситуация выглядит следующим образом. Алгебра Клиффорда, порожденная 3 антикоммутирующими квадратными корнями из +1, является алгеброй комплексных матриц 2 × 2, а Пин₊(3) изоморфна SO (3) × C₄. Алгебра Клиффорда, порожденная 3 антикоммутирующими квадратными корнями из -1, является алгеброй ${ Displaystyle mathbb {H} oplus mathbb {H}}$ и Pin₋(3) изоморфна SU (2) × C₂. Эти группы неизоморфны, поскольку центр Pin₊(3) - это C₄ а центр пина₋(3) - это C₂ × С₂.

Центр

Центр штифта (n, 0) = штифт₊ это C₂ когда n четно, C₂ × С₂ когда n = 1 mod 4, и C₄ когда п = 3 mod 4. Центр штифта (0, n) = штифт₋ это C₂ когда n четно, C₄ когда n = 1 mod 4, и C₂ × С₂ когда п = 3 mod 4. Для п, q ≠ 0 центр Pin (p, q) является продолжением либо C₂ × С₂ или C₄ автор: C₂.

Имя

Название было введено в (Атья, Ботт и Шапиро 1964, стр. 3, строка 17), где говорится: "Эта шутка связана с J-P. Серр ".Это обратное формирование from Spin: "Пин к O (п) как Spin для SO (п) ", поэтому удаление буквы" S "из" Spin "дает" Pin ".

Примечания

^ Фактически, они равны как подмножества GL (V), а не только изоморфны как абстрактные группы: оператор сохраняет форму тогда и только тогда, когда он сохраняет отрицательную форму.
^ Они входят в разные алгебры ${ Displaystyle mathrm {Cl} (n, 0) not cong mathrm {Cl} (0, n)}$ , но они равны как подмножества векторных пространств ${ Displaystyle mathrm {Cl} (n, 0) = mathrm {Cl} (0, n) = Lambda ^ {*} mathbf {R} ^ {n}}$ , и имеют одинаковую структуру продукта, поэтому они естественно идентифицируются.
^ А. Траутман (2001). «Двойные покрытия псевдоортогональных групп». Анализ Клиффорда и его приложения, Научная серия НАТО. 25: 377–388. Дои:10.1007/978-94-010-0862-4_32.