Параллельный постулат - Parallel postulate

Если сумма внутренних углов α и β меньше 180 °, две прямые линии, образованные бесконечно, пересекаются на этой стороне.

В геометрия, то параллельный постулат, также называемый Евклид пятый постулат потому что это пятый постулат в Евклида Элементы, является отличительной аксиома в Евклидова геометрия. В нем говорится, что в двумерной геометрии:

Если отрезок пересекает две прямые линии образуя два внутренних угла на одной стороне, которые в сумме составляют менее двух прямые углы, то две прямые, если их удлинить бесконечно, встречаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.

Этот постулат конкретно не говорит о параллельных линиях;[1] это всего лишь постулат, связанный с параллелизмом. Евклид дал определение параллельных прямых в книге I, определение 23.[2] прямо перед пятью постулатами.[3]

Евклидова геометрия изучение геометрии, удовлетворяющее всем аксиомам Евклида, включая постулат параллельности.

Постулат долгое время считался очевидным или неизбежным, но доказательства были неуловимы. В конце концов было обнаружено, что инвертирование постулата дает действительную, хотя и другую геометрию. Геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, известна как неевклидова геометрия. Геометрия независимый пятого постулата Евклида (т. е. предполагает только современный эквивалент первых четырех постулатов) известен как абсолютная геометрия (или иногда «нейтральная геометрия»).

Эквивалентные свойства

Вероятно, самый известный эквивалент параллельного постулата Евклида, зависящий от других его постулатов, - это Аксиома Playfair, названный в честь шотландского математик Джон Плейфэр, в котором говорится:

На плоскости, для которой задана линия и точка не на ней, через точку можно провести не более одной линии, параллельной данной линии.[4]

Сама по себе эта аксиома не логически эквивалентный постулату евклидовой параллели, поскольку существуют геометрии, в которых одно истинно, а другое - нет. Однако при наличии остальных аксиом, которые дают евклидову геометрию, каждая из них может использоваться для доказательства другой, поэтому они эквивалентны в контексте абсолютная геометрия.[5]

Было предложено много других утверждений, эквивалентных постулату параллельности, некоторые из них поначалу кажутся не связанными с параллелизмом, а некоторые кажутся таковыми. самоочевидный что они были бессознательно предполагалось людьми, которые утверждали, что доказали параллельный постулат из других постулатов Евклида. Эти эквивалентные утверждения включают:

  1. Существует не более одной линии, которую можно провести параллельно другой, проведенной через внешнюю точку. (Аксиома Playfair )
  2. Сумма углы в каждом треугольник составляет 180 ° (постулат треугольника ).
  3. Существует треугольник, сумма углов которого составляет 180 °.
  4. Сумма углов одинакова для всех треугольников.
  5. Существует пара похожий, но нет конгруэнтный, треугольники.
  6. Каждый треугольник может быть ограниченный.
  7. Если три угла четырехугольник находятся прямые углы, то четвертый угол тоже прямой.
  8. Существует четырехугольник, в котором все углы прямые, т.е. прямоугольник.
  9. Существует пара прямых, находящихся на постоянном расстоянии расстояние друг от друга.
  10. Две линии, параллельные одной линии, также параллельны друг другу.
  11. В прямоугольный треугольник, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (Теорема Пифагора ).[6][7]
  12. В Закон косинусов, общий случай теоремы Пифагора.
  13. Верхнего предела для площадь треугольника. (Аксиома Уоллиса )[8]
  14. Вершинные углы Четырехугольник Саккери равны 90 °.
  15. Если линия пересекает одну из двух параллельных линий, обе из которых копланарны исходной линии, то она также пересекает другую. (Прокл аксиома)[9]

Однако альтернативы, в которых используется слово «параллельный», перестают казаться такими простыми, когда приходится объяснять, какое из четырех общих определений «параллель» имеется в виду - постоянное разделение, никогда не встречающиеся, те же углы, где пересекаются немного третья линия или те же углы, где пересекается любой третья строка - поскольку эквивалентность этих четырех сама по себе является одним из бессознательно очевидных предположений, эквивалентных пятому постулату Евклида. В приведенном выше списке всегда подразумеваются непересекающиеся линии. Например, если слово «параллель» в аксиоме Плейфэра означает «постоянное разделение» или «одинаковые углы, пересекаемые любой третьей линией», то это больше не эквивалентно пятому постулату Евклида и доказуемо на основе первых четырех. (аксиома гласит: «Существует не более одной линии ...», что согласуется с отсутствием таких линий). Однако, если определение взято так, что параллельные прямые - это прямые, которые не пересекаются или у которых есть какая-то линия, пересекающая их под одними и теми же углами, аксиома Плейфэра контекстуально эквивалентна пятому постулату Евклида и, таким образом, логически независима от первых четырех постулатов. Обратите внимание, что последние два определения не эквивалентны, потому что в гиперболической геометрии второе определение справедливо только для ультрапараллельный линий.

История

В течение двух тысяч лет было предпринято множество попыток доказать параллельный постулат, используя первые четыре постулата Евклида. Основная причина того, что такое доказательство так востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, параллельный постулат не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в элементах, важен, это указывает на то, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда он понял, что не может доказать его или действовать без него.[10]Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них долгое время принимались в качестве доказательств, пока не была обнаружена ошибка. Неизменно ошибкой было допущение некоторого «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату (Аксиома Playfair ). Хотя это известно со времен Прокла, оно стало известно как Аксиома Плейфэра после того, как Джон Плейфэр написал знаменитый комментарий к Евклиду в 1795 году, в котором он предложил заменить пятый постулат Евклида его собственной аксиомой.

Прокл (410–485) написал комментарий к Элементы где он комментирует попытки доказательства вывести пятый постулат из четырех других; в частности, он отмечает, что Птолемей представил ложное «доказательство». Затем Прокл приводит собственное ложное доказательство. Однако он дал постулат, эквивалентный пятому постулату.

Ибн аль-Хайсам (Альхазен) (965-1039), Арабский математик, сделал попытку доказать постулат параллельности с помощью доказательство от противного,[11] в ходе которой он ввел понятие движение и трансформация в геометрию.[12] Он сформулировал Четырехугольник Ламберта, который Борис Абрамович Розенфельд называет «четырехугольником Ибн аль-Хайтама – Ламберта»,[13] и его попытка доказательства содержит элементы, подобные тем, которые были найдены в Четырехугольники Ламберта и Аксиома Playfair.[14]

Персидский математик, астроном, философ и поэт. Омар Хайям (1050–1123), попытался доказать пятый постулат с помощью другого явно заданного постулата (основанного на четвертом из пяти принципы из-за философа (Аристотель ), а именно: «Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в том направлении, в котором они сходятся».[15] Он получил некоторые из более ранних результатов, принадлежащих эллиптическая геометрия и гиперболическая геометрия, хотя его постулат исключал последнюю возможность.[16] В Четырехугольник Саккери также впервые был рассмотрен Омаром Хайямом в конце 11 века в Книге I Объяснение трудностей постулатов Евклида.[13] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Джованни Джироламо Саккери ) Хайям пытался доказать не параллельный постулат как таковой, а вывести его из своего эквивалентного постулата. Он признал, что из исключения пятого постулата Евклида возникают три возможности; если два перпендикуляра к одной линии пересекают другую линию, разумный выбор последнего может сделать внутренние углы в месте пересечения двух перпендикуляров равными (тогда он параллелен первой линии). Если эти равные внутренние углы являются прямыми углами, мы получаем пятый постулат Евклида, в противном случае они должны быть либо острыми, либо тупыми. Он показал, что острые и тупые случаи приводят к противоречиям, используя его постулат, но теперь известно, что его постулат эквивалентен пятому постулату.

Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274), в его Аль-рисала аль-шафия'ан аль-шакк фил-хутут аль-мутавазия (Обсуждение, снимающее сомнения относительно параллельных линий) (1250 г.), написал подробную критику параллельного постулата и попытки доказательства Хайяма столетием ранее. Насир ад-Дин попытался получить доказательство, противоречащее параллельному постулату.[17] Он также рассмотрел случаи того, что сейчас известно как эллиптическая и гиперболическая геометрия, хотя и исключил их оба.[16]

Евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрия. Постулат параллельности выполняется только для моделей евклидовой геометрии.

Сын Насира ад-Дина, Садр ад-Дин (иногда известный как "Псевдо-Туси "), написал книгу по этому вопросу в 1298 году, основанную на более поздних мыслях своего отца, в которых был представлен один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы, эквивалентной параллельному постулату." Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом, так и постулаты. и доказательства многих предложений из Элементы."[17][18] Его работа была опубликована в Рим в 1594 г. и изучалась европейскими геометрами. Эта работа стала отправной точкой для работы Саккери по этому вопросу.[17] который открылся критикой работ Садр ад-Дина и Уоллиса.[19]

Джордано Витале (1633-1711), в своей книге Евклид реституо (1680, 1686) использовали четырехугольник Хайяма-Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены. Джироламо Саккери (1667-1733) проводил ту же линию рассуждений более тщательно, правильно извлекая абсурдность из тупого случая (исходя, как Евклид, из неявного предположения, что линии могут быть неограниченно продолжены и иметь бесконечную длину), но не опровергая острый случай. (хотя ему удалось ошибочно убедить себя, что это так).

В 1766 г. Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал, Theorie der Parallellinien в котором он попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем Четырехугольник Ламберта, четырехугольник с тремя прямыми углами (можно рассматривать как половину четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как и Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат, согласно которому сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не стал продвигать эту идею дальше.[20]

Там, где Хайям и Саккери пытались доказать пятую точку Евклида, опровергнув единственно возможные альтернативы, в девятнадцатом веке математики наконец изучали эти альтернативы и открывали логически последовательный геометрии, которые в результате. В 1829 г. Николай Иванович Лобачевский опубликовал отчет об острой геометрии в малоизвестном русском журнале (позже переиздан в 1840 году на немецком языке). В 1831 г. Янош Бойяи включил в книгу своего отца приложение с описанием острой геометрии, которую, несомненно, он разработал независимо от Лобачевского. Карл Фридрих Гаусс тоже изучал проблему, но не опубликовал ни одного из своих результатов. Услышав о результатах Бойяи в письме от отца Бойяи, Фаркас Бойяи, Гаусс заявил:

«Если бы я начал с того, что сказал, что не могу похвалить эту работу, вы наверняка на мгновение удивитесь. Но я не могу сказать иначе. Хвалить это значило бы хвалить себя. Действительно, все содержание работы, пройденный путь По мнению вашего сына, результаты, к которым его привели, почти полностью совпадают с моими медитациями, которые частично занимали мой ум последние тридцать или тридцать пять лет ".[21]

Полученная геометрия была позже разработана Лобачевский, Риман и Пуанкаре в гиперболическая геометрия (острый случай) и эллиптическая геометрия (тупой случай). В независимость постулата параллельности из других аксиом Евклида был наконец продемонстрирован Эухенио Бельтрами в 1868 г.

Обращение к постулату параллельности Евклида

Обратное к постулату параллельности: если сумма двух внутренних углов равна 180 °, то прямые параллельны и никогда не пересекутся.

Евклид не постулировал разговаривать его пятого постулата, который является одним из способов отличить евклидову геометрию от эллиптическая геометрия. Элементы содержат доказательство эквивалентного утверждения (Книга I, предложение 27): Если прямая линия, падающая на две прямые, уравнивает чередующиеся углы друг с другом, прямые линии будут параллельны друг другу. В качестве Де Морган[22] Как уже отмечалось, это логически эквивалентно (Книга I, предложение 16). Эти результаты не зависят от пятого постулата, но требуют второго постулата.[23] что нарушается в эллиптической геометрии.

Критика

Попытки логически доказать параллельный постулат, а не восьмую аксиому,[24] подверглись критике со стороны Артур Шопенгауэр. Однако аргумент, использованный Шопенгауэром, заключался в том, что постулат очевиден для восприятия, а не в том, что он не был логическим следствием других аксиом.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ неевклидовы геометрии, к Д-р Катрина Пятек-Хименес
  2. ^ Элементы Евклида, Книга I, Определение 23
  3. ^ Элементы Евклида, Книга I
  4. ^ Параллельный постулат Евклида и аксиома Playfair
  5. ^ Хендерсон и Тайминя 2005, стр. 139
  6. ^ Эрик В. Вайсштейн (2003), CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.), С. 2147, г. ISBN  1-58488-347-2, Постулат параллельности эквивалентен Постулат равноудаленности, Аксиома Playfair, Аксиома прокла, то Постулат треугольника и теорема Пифагора.
  7. ^ Александр Р. Прусс (2006), Принцип достаточной причины: переоценка, Cambridge University Press, стр. 11, ISBN  0-521-85959-X, Мы могли бы включить ... параллельный постулат и вывести теорему Пифагора. Или мы могли бы вместо этого сделать теорему Пифагора среди других аксиом и вывести постулат параллельности.
  8. ^ Богомольный Александр. «Пятый постулат Евклида». Разрезать узел. Получено 30 сентября 2011.
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Аксиома Прокла - MathWorld». Получено 2009-09-05.
  10. ^ Флоренс П. Льюис (январь 1920 г.), «История параллельного постулата», Американский математический ежемесячник, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, №1, 27 (1): 16–23, Дои:10.2307/2973238, JSTOR  2973238.
  11. ^ Кац 1998, стр. 269
  12. ^ Кац 1998, п. 269:

    Фактически, этот метод характеризовал параллельные линии как линии, всегда равноудаленные друг от друга, а также ввел понятие движения в геометрию.

  13. ^ а б Розенфельд 1988, п. 65
  14. ^ Смит 1992
  15. ^ Борис Розенфельд и Адольф Ющкевич (1996), Геометрия, стр.467 в Рошди Рашед, Режис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки, Рутледж, ISBN  0-415-12411-5.
  16. ^ а б Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, ред. Энциклопедия истории арабской науки, Vol. 2, стр. 447-494 [469], Рутледж, Лондон и Нью-Йорк:

    «Постулат Хайяма исключил случай гиперболической геометрии, тогда как постулат ат-Туси исключил как гиперболическую, так и эллиптическую геометрии».

  17. ^ а б c Кац 1998, стр.271:

    "Но в рукописи, вероятно написанной его сыном Садр ад-Дином в 1298 году на основе более поздних мыслей Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы состоит в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работ Саккери и, в конечном итоге, для открытия неевклидовой геометрии ».

  18. ^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, ред. Энциклопедия истории арабской науки, Vol. 2, стр. 447-494 [469], Рутледж, Лондон и Нью-Йорк:

    "В Экспозиция Евклида псевдо-Туси, [...] вместо постулата используется другое утверждение. Он не зависел от постулата Евклида V и его легко доказать. [...] Он существенно переработал как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений из Элементы."

  19. ^ Джованни Джироламо Саккери из MacTutor
  20. ^ О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э.Ф. "Иоганн Генрих Ламберт". Получено 16 сентября 2011.
  21. ^ Faber 1983, стр. 161
  22. ^ Хит, Т.Л., Тринадцать книг Элементов Евклида, Том 1, Дувр, 1956, стр.309.
  23. ^ Кокстер, H.S.M., Неевклидова геометрия, 6-е изд., MAA 1998, стр.3
  24. ^ Шопенгауэр имеет в виду общее понятие 4 Евклида: совпадающие друг с другом фигуры равны друг другу.

Рекомендации

внешняя ссылка

Эдер, Мишель (2000), Взгляды на параллельный постулат Евклида в Древней Греции и в средневековом исламе, Университет Рутгерса, получено 2008-01-23