Теорема о биссектрисе угла - Angle bisector theorem

На этой диаграмме BD: DC = AB: AC.

В геометрия, то теорема о биссектрисе угла касается относительного длина из двух сегментов, которые треугольник сторона разделена линией, делит пополам противоположный угол. Он приравнивает их относительную длину к относительной длине двух других сторон треугольника.

Теорема

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть биссектриса угла угла А пересекаться сторона до н.э в какой-то момент D между B и C. Теорема биссектрисы угла утверждает, что отношение длины отрезок BD к длине сегмента ОКРУГ КОЛУМБИЯ равно отношению длины стороны AB к длине стороны AC:

{ displaystyle { frac {| BD |} {| DC |}} = { frac {| AB |} {| AC |}},}

и наоборот, если точка D на стороне до н.э треугольника ABC разделяет до н.э в том же соотношении, что и стороны AB и AC, тогда ОБЪЯВЛЕНИЕ это биссектриса угла ∠ А.

Обобщенная теорема биссектрисы угла утверждает, что если D лежит на линии до н.э, тогда

{ displaystyle { frac {| BD |} {| DC |}} = { frac {| AB | sin angle DAB} {| AC | sin angle DAC}}.}

Это сводится к предыдущей версии, если ОБЪЯВЛЕНИЕ это биссектриса ∠ BAC. Когда D вне сегмента до н.э, в расчетах должны использоваться направленные отрезки и направленные углы.

Теорема о биссектрисе угла обычно используется, когда известны биссектрисы угла и длины сторон. Его можно использовать в расчетах или в доказательстве.

Непосредственным следствием теоремы является то, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника будет делить пополам и противоположную сторону.

Доказательства

Доказательство 1

На приведенной выше диаграмме используйте закон синуса на треугольниках ABD и ACD:

{ displaystyle { frac {| AB |} {| BD |}} = { frac { sin angle BDA} { sin angle BAD}}}

(1)

{ displaystyle { frac {| AC |} {| DC |}} = { frac { sin angle ADC} { sin angle DAC}}}

(2)

Углы ∠ BDA и ∠ АЦП образуют линейную пару, т. е. смежны дополнительные углы. Поскольку дополнительные углы имеют равные синусы,

{ displaystyle { sin angle BDA} = { sin angle ADC}.}

Углы ∠ ПЛОХО и ∠ ЦАП равны. Следовательно, правые части уравнений (1) и (2) равны, поэтому их левые части также должны быть равны.

{ displaystyle { frac {| BD |} {| DC |}} = { frac {| AB |} {| AC |}},}

что является теоремой о биссектрисе угла.

Если углы ∠ ПЛОХО и ∠ ЦАП неравны, уравнения (1) и (2) можно переписать как:

{ displaystyle {{ frac {| AB |} {| BD |}} sin angle BAD = sin angle BDA},}

{ displaystyle {{ frac {| AC |} {| DC |}} sin angle DAC = sin angle ADC}.}

Углы ∠ BDA и ∠ АЦП по-прежнему являются дополнительными, поэтому правые части этих уравнений по-прежнему равны, поэтому получаем:

{ displaystyle {{ frac {| AB |} {| BD |}} sin angle BAD = { frac {| AC |} {| DC |}} sin angle DAC},}

который переходит в «обобщенный» вариант теоремы.

Доказательство 2

Позволять D быть точкой на линии до н.э, не равно B или же C и такой, что ОБЪЯВЛЕНИЕ не является высота треугольника ABC.

Позволять B₁ быть основанием (футом) высоты в треугольнике ABD через B и разреши C₁ быть основанием высоты в треугольнике ACD через C. Тогда, если D строго между B и C, один и только один из B₁ или же C₁ лежит внутри треугольника ABC и можно предположить не теряя общий смысл который B₁ делает. Этот случай изображен на диаграмме рядом. Если D лежит за пределами сегмента до н.э, тогда ни B₁ ни C₁ лежит внутри треугольника.

∠ БД₁B и ∠ DC₁C прямые углы, а углы ∠ B₁БД и ∠ C₁ОКРУГ КОЛУМБИЯ конгруэнтны, если D лежит на сегменте до н.э (то есть между B и C), а в остальных рассматриваемых случаях они идентичны, поэтому треугольники БД₁B и ОКРУГ КОЛУМБИЯ₁C подобны (AAA), откуда следует, что

{ displaystyle { frac {| BD |} {| CD |}} = { frac {| BB_ {1} |} {| CC_ {1} |}} = { frac {| AB | sin angle BAD} {| AC | sin angle CAD}}.}

Если D это основание высоты, тогда

{ displaystyle { frac {| BD |} {| AB |}} = sin angle BAD { text {and}} { frac {| CD |} {| AC |}} = sin angle DAC,}

и обобщенная форма следует.

Доказательство 3

{ displaystyle alpha = { tfrac { angle BAC} {2}} = angle BAD = angle CAD}

Быстрое доказательство можно получить, посмотрев на соотношение площадей двух треугольников. ${ Displaystyle треугольник ПЛОХО}$ и ${ Displaystyle треугольник CAD}$ , которые образованы биссектрисой угла в ${ displaystyle A}$ . Дважды вычисляя эти области, используя разные формулы, то есть ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} gh}$ с базой ${ displaystyle g}$ и высота ${ displaystyle h}$ и ${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} ab sin ( gamma)}$ с боков ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ и их закрытый угол ${ displaystyle gamma}$ , даст желаемый результат.

Позволять ${ displaystyle h}$ обозначим высоту треугольников на основании ${ displaystyle BC}$ и ${ displaystyle alpha}$ быть половиной угла в ${ displaystyle A}$ . потом

{ Displaystyle { frac {| треугольник ABD |} {| треугольник ACD |}} = { frac {{ frac {1} {2}} | BD | h} {{ frac {1} {2 }} | CD | h}} = { frac {| BD |} {| CD |}}}

и

{ Displaystyle { frac {| треугольник ABD |} {| треугольник ACD |}} = { frac {{ frac {1} {2}} | AB || AD | sin ( alpha)} { { frac {1} {2}} | AC || AD | sin ( alpha)}} = { frac {| AB |} {| AC |}}}

дает

{ displaystyle { frac {| BD |} {| CD |}} = { frac {| AB |} {| AC |}}.}

Биссектрисы внешнего угла

биссектрисы внешнего угла (красные точки):
Точки D, E, F коллинеарны и выполняются следующие уравнения для соотношений:

{ Displaystyle { tfrac {| EB |} {| EC |}} = { tfrac {| AB |} {| AC |}}}

,

{ Displaystyle { tfrac {| FB |} {| FA |}} = { tfrac {| CB |} {| CA |}}}

,

{ Displaystyle { tfrac {| DA |} {| DC |}} = { tfrac {| BA |} {| BC |}}}

Для биссектрис внешнего угла в неравностороннем треугольнике существуют аналогичные уравнения для отношений длин сторон треугольника. Точнее, если биссектриса внешнего угла ${ displaystyle A}$ пересекает расширенную сторону ${ displaystyle BC}$ в ${ displaystyle E}$ , биссектриса внешнего угла в ${ displaystyle B}$ пересекает расширенную сторону ${ displaystyle AC}$ в ${ displaystyle D}$ и биссектриса внешнего угла в ${ displaystyle C}$ пересекает расширенную сторону ${ displaystyle AB}$ в ${ displaystyle F}$ , то выполняются следующие уравнения:^[1]

{ displaystyle { frac {| EB |} {| EC |}} = { frac {| AB |} {| AC |}}}

,

{ displaystyle { frac {| FB |} {| FA |}} = { frac {| CB |} {| CA |}}}

,

{ displaystyle { frac {| DA |} {| DC |}} = { frac {| BA |} {| BC |}}}

Три точки пересечения биссектрис внешнего угла и сторон вытянутого треугольника ${ displaystyle D}$ , ${ displaystyle E}$ унд ${ displaystyle F}$ коллинеарны, то есть лежат на общей линии.^[2]

История

Теорема о биссектрисе угла появляется в предложении 3 Книги VI в Элементы Евклида. В соответствии с Хит (1956), п. 197 (том 2)), соответствующее утверждение для биссектрисы внешнего угла было дано формулой Роберт Симсон кто отметил это Паппус предположил этот результат без доказательства. Хит продолжает говорить, что Огастес Де Морган предложила объединить эти два утверждения следующим образом:^[3]

Если угол треугольника делится пополам внутри или снаружи прямой линией, которая разрезает противоположную сторону или полученную противоположную сторону, сегменты этой стороны будут иметь такое же соотношение, как и другие стороны треугольника; и, если сторона треугольника разделена внутри или снаружи так, что ее сегменты имеют такое же соотношение, как и другие стороны треугольника, прямая линия, проведенная от точки сечения к угловой точке, противоположной первой упомянутой стороне разделит внутренний или внешний угол пополам в этой угловой точке.

Приложения

Эта теорема была использована для доказательства следующих теорем / результатов:

• Координаты стимулятор треугольника

дальнейшее чтение

G.W.I.S Amarasinghe: О стандартных длинах биссектрис угла и теореме о биссектрисе угла, Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии, Том 01 (01), стр. 15 - 27, 2012 г.

внешняя ссылка

[1] Альфред С. Посаментьер: Продвинутая евклидова геометрия: экскурсии для студентов и учителей. Спрингер, 2002 г., ISBN 9781930190856, стр. 3-4

[2] Роджер А. Джонсон: Продвинутая евклидова геометрия. Дувр 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, п. 149 (оригинальная публикация 1929 г. с Houghton Mifflin Company (Бостон) как Современная геометрия).

[3] Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг стихий Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
(3 тт.): ISBN 0-486-60088-2 (том 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3). Авторитетный перевод Хита плюс обширное историческое исследование и подробные комментарии по всему тексту.

[1]

[2]

[3]