Спираль Теодора - Spiral of Theodorus

Спираль Теодора до треугольника с гипотенузой

{ displaystyle { sqrt {17}}}

В геометрия, то спираль Феодора (также называемый спираль квадратного корня, Спираль Эйнштейна или же Пифагорова спираль)^[1] это спираль состоит из прямоугольные треугольники, ставится встык. Он был назван в честь Феодор из Кирены.

Строительство

Спираль начинается с равнобедренный прямоугольный треугольник, с каждым нога имея единицу длина. Образуется еще один прямоугольный треугольник, автомедианный прямоугольный треугольник с одной ногой гипотенуза предыдущего треугольника (длиной √2 ) и другая нога длиной 1; длина гипотенузы этого второго треугольника равна √3. Затем процесс повторяется; то п-й треугольник в последовательности - это прямоугольный треугольник со сторонами √п и 1, а с гипотенузой √п + 1. Например, у 16-го треугольника есть стороны размером 4 (=√16), 1 и гипотенуза √17.

История и использование

Хотя все работы Теодора были потеряны, Платон включить Теодора в его диалог Theaetetus, рассказывающий о его творчестве. Предполагается, что Теодорус доказал, что все квадратные корни из неквадратных целых чисел от 3 до 17 равны иррациональный с помощью Спирали Теодора.^[2]

Платон не приписывает иррациональности квадратный корень из 2 Феодору, потому что это было хорошо известно до него. Теодор и Теэтет разделили рациональные числа и иррациональные числа на разные категории.^[3]

Гипотенуза

Каждая из гипотенуз треугольников час_п дает квадратный корень соответствующих натуральное число, с час₁ = √2.

Платон, наставник Теодора, спросил, почему Теодор остановился в √17. Обычно считается, что причина в том, что √17 гипотенуза принадлежит последнему треугольнику, который не перекрывает фигуру.^[4]

Перекрытие

В 1958 году Эрих Тойфель доказал, что никакие две гипотенузы никогда не совпадут, независимо от того, как далеко продолжается спираль. Кроме того, если стороны единицы длины расширены в линия, они никогда не пройдут через другие вершины общей фигуры.^[4]^[5]

Расширение

Цветная протяженная спираль Феодора со 110 треугольниками

Теодор остановил свою спираль на треугольнике с гипотенузой √17. Если продолжить спираль до бесконечного числа треугольников, обнаружится еще много интересных характеристик.

Скорость роста

Угол

Если φ_п это угол п-й треугольник (или сегмент спирали), то:

{ displaystyle tan left ( varphi _ {n} right) = { frac {1} { sqrt {n}}}.}

Следовательно, рост угла φ_п следующего треугольника п является:^[1]

{ displaystyle varphi _ {n} = arctan left ({ frac {1} { sqrt {n}}} right).}

Сумма углов первого k треугольников называется полным углом φ (k) для k-й треугольник. Он растет пропорционально квадратному корню из k, с ограниченный срок исправления c₂:^[1]

{ displaystyle varphi left (k right) = sum _ {n = 1} ^ {k} varphi _ {n} = 2 { sqrt {k}} + c_ {2} (k)}

куда

{ displaystyle lim _ {k to infty} c_ {2} (k) = - 2,157782996659 ldots}

(OEIS: A105459).

Треугольник или отрезок спирали

Радиус

Рост радиуса спирали у определенного треугольника п является

{ displaystyle Delta r = { sqrt {n + 1}} - { sqrt {n}}.}

Архимедова спираль

Спираль Теодора приблизительно то Архимедова спираль.^[1] Так же, как расстояние между двумя витками спирали Архимеда равно математическая константа число Пи, по мере приближения числа оборотов спирали Теодора бесконечность, расстояние между двумя последовательными обмотками быстро приближается к π.^[6]

Ниже представлена таблица, показывающая две обмотки спирали, приближающейся к пи:

№ обмотки:	Расчетное среднее расстояние намотки	Точность среднего расстояния намотки по сравнению с π
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
→ ∞	→ π	→ 100%

Как показано, только после пятой обмотки расстояние составляет 99,97% приближения к π.^[1]

Непрерывная кривая

Аналитическое продолжение Дэвиса Спирали Теодора, включая расширение в направлении, противоположном исходному (отрицательные числа узлов).

Вопрос как интерполировать дискретные точки спирали Теодора гладкой кривой были предложены и дан ответ в (Дэвис 2001, pp. 37–38) по аналогии с формулой Эйлера для гамма-функция как интерполянт для факториал функция. Дэвис нашел функцию

{ displaystyle T (x) = prod _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1 + i / { sqrt {k}}} {1 + i / { sqrt {x + k} }}} qquad (-1

который в дальнейшем изучал его ученик Лидер^[7] и по Изерлес (в приложении к (Дэвис 2001 )). Аксиоматическая характеристика этой функции дана в (Гронау 2004 ) как единственная функция, удовлетворяющая функциональное уравнение

{ displaystyle f (x + 1) = left (1 + { frac {i} { sqrt {x + 1}}} right) cdot f (x),}

начальное состояние ${ displaystyle f (0) = 1,}$ и монотонность в обоих аргумент и модуль; альтернативные условия и ослабления также изучаются там. Альтернативный вывод приведен в (Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ).

Аналитическое продолжение непрерывной формы спирали Теодора Дэвиса, которая простирается в противоположном направлении от начала координат, дано в (Вальдфогель 2009 ).

На рисунке узлы исходной (дискретной) спирали Теодора показаны маленькими зелеными кружками. Синие - это те, которые добавлены в направлении, противоположном спирали. ${ displaystyle n}$ с целым значением полярного радиуса ${ displaystyle r_ {n} = pm { sqrt {| n |}}}$ пронумерованы на рисунке. пунктирная окружность в начале координат ${ displaystyle O}$ это круг кривизны в ${ displaystyle O}$ .

Смотрите также

дальнейшее чтение

Дэвис, П. Дж. (2001), Спирали от Теодора к Хаосу, А. К. Питерс / CRC Press
Гронау, Детлеф (март 2004 г.), «Спираль Теодора», Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 111 (3): 230–237, Дои:10.2307/4145130, JSTOR 4145130
Heuvers, J .; Моак, Д. С .; Boursaw, B (2000), "Функциональное уравнение спирали квадратного корня", в T. M. Rassias (ed.), Функциональные уравнения и неравенства, стр. 111–117
Вальдфогель, Йорг (2009), Аналитическое продолжение спирали Теодора (PDF)

[KAHN2-1] а ^б ^c ^d ^е Хан, Гарри К. "Упорядоченное распределение натуральных чисел по спирали квадратного корня". arXiv:0712.2184.

[2] Нахин, Пол Дж. (1998), Воображаемая сказка: история [квадратного корня из минус единицы], Princeton University Press, стр. 33, ISBN 0-691-02795-1

[3] Платон; Дайд, Сэмюэл Уолтерс (1899), Теэтет Платона, J. Maclehose, стр. 86–87.

[LONG-4] а ^б Долго, Кейт. «Урок корневой спирали». Архивировано из оригинал 11 апреля 2013 г.. Получено 30 апреля 2008.

[5] Эрих Тойфель, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Семестр. 6 (1958), стр. 148-152.

[6] Хан, Гарри К. (2008). «Распределение натуральных чисел, делящихся на 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17 по спирали квадратного корня». arXiv:0801.4422.

[7] Лидер, J.J. Обобщенная итерация Теодора (диссертация), 1990, Брауновский университет

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]