Спираль Эйлера - Euler spiral

Двусторонняя спираль Эйлера. Кривая продолжает сходиться к отмеченным точкам, как т стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

An Спираль Эйлера кривая, кривизна изменяется линейно с длиной кривой (кривизна круговой кривой равна обратной величине радиуса). Спирали Эйлера также обычно называют Спирос, клотоиды, или же Cornu спирали.

Спирали Эйлера находят применение в дифракция вычисления. Они также широко используются в качестве переходных кривых в железнодорожная техника /дорожная техника для соединения и перехода геометрии между касательной и круговой кривой. Аналогичное приложение также можно найти в фотонные интегральные схемы. Принцип линейного изменения кривизны переходной кривой между касательной и круговой кривой определяет геометрию спирали Эйлера:

• Его кривизна начинается с нуля на прямом участке (касательной) и линейно увеличивается с длиной кривой.
• Там, где спираль Эйлера встречается с круговой кривой, ее кривизна становится равной кривизне последней.

Приложения

Кривая перехода трека

Анимация, изображающая эволюцию спирали Корню с тангенциальной окружностью с тем же радиусом кривизны, что и на ее вершине, также известная как соприкасающийся круг.

Чтобы двигаться по круговой траектории, объект должен подвергаться воздействию центростремительное ускорение (например: Луна вращается вокруг Земли под действием силы тяжести; автомобиль поворачивает свои передние колеса внутрь, чтобы создать центростремительную силу). Если транспортное средство, движущееся по прямой дороге, внезапно перейдет на тангенциальную круговую траекторию, это потребует внезапного переключения центростремительного ускорения в точке касания с нуля на требуемое значение; Этого было бы трудно достичь (представьте, что водитель мгновенно переводит рулевое колесо с прямой линии в положение поворота, и машина фактически делает это), оказывая механическую нагрузку на детали автомобиля и вызывая сильный дискомфорт (из-за бокового придурок ).

На ранних железных дорогах это мгновенное приложение поперечной силы не было проблемой, поскольку использовались низкие скорости и повороты с широким радиусом (поперечные силы на пассажиров и поперечный раскачивание были небольшими и допустимыми). По мере того, как скорость рельсовых транспортных средств с годами увеличивалась, стало очевидно, что необходим сервитут, так что центростремительное ускорение увеличивается линейно с пройденным расстоянием. Учитывая выражение центростремительного ускорения v²/р, очевидным решением является создание кривой сервитута, кривизна которой 1/р, увеличивается линейно с пройденным расстоянием. Эта геометрия представляет собой спираль Эйлера.

Не зная о решении геометрии Леонард Эйлер, Ренкин процитировал кубическая кривая (полиномиальная кривая степени 3), которая является приближением спирали Эйлера для малых угловых изменений так же, как парабола является приближением к круговой кривой.

Мари Альфред Корню (а позже и некоторые инженеры-строители) также независимо решили вычисление спирали Эйлера. Спирали Эйлера теперь широко используются в строительстве железных дорог и шоссе для обеспечения перехода или облегчения между касательной и горизонтальной круговой кривой.

Оптика

Спираль Корню может использоваться для описания дифракция шаблон.^[1]Рассмотрим плоскую волну с амплитудой вектора E₀е^−jkz который преломляется "острием" высотой час над Икс = 0 на z = 0 самолет. Тогда поле дифрагированной волны можно выразить как

${ displaystyle { textbf {E}} (x, z) = E_ {0} e ^ {- jkz} { frac { mathrm {Fr} ( infty) - mathrm {Fr} left ({ sqrt { frac {2} { lambda z}}} (hx) right)} { mathrm {Fr} ( infty) - mathrm {Fr} (- infty)}}}$,

куда Пт (Икс) - интегральная функция Френеля, которая образует спираль Корню на комплексной плоскости.

Итак, чтобы упростить расчет затухания плоской волны, когда она дифрагируется от лезвия, можно использовать диаграмму спирали Корню, представив величины Пт (а) - Пт (б) как физические расстояния между точками, представленные Пт (а) и Пт (б) для соответствующих а и б. Это облегчает грубый расчет затухания плоской волны на острие высоты час в месте (Икс, z) за острием ножа.

Интегрированная оптика

Изгибы с постоянно изменяющимся радиусом кривизны по спирали Эйлера также используются для уменьшения потерь в фотонные интегральные схемы, либо в одномодовом режиме волноводы,^[2][3] для сглаживания резкого изменения кривизны и связи с модами излучения или в многомодовых волноводах,^[4] для подавления связи с модами более высокого порядка и обеспечения эффективной одномодовой работы. Новаторское и очень элегантное применение спирали Эйлера к волноводам было сделано еще в 1957 г.^[5] с полым металлом волновод для микроволн. Идея заключалась в том, чтобы использовать тот факт, что прямой металлический волновод можно физически согнуть, чтобы естественным образом принять форму постепенного изгиба, напоминающую спираль Эйлера.

Автогонки

Автор автоспорта Адам Бруйяр продемонстрировал использование спирали Эйлера для оптимизации гоночная линия во время въезда в угол поворота.^[6]

Типография и цифровой векторной графики

Раф Левиен выпустил Spiro как набор инструментов для дизайна кривых, особенно шрифтов, в 2007 году.^[7][8] по бесплатной лицензии. Этот инструментарий был довольно быстро реализован впоследствии в инструменте дизайна шрифтов. Fontforge и цифровой векторной графики Inkscape.

Проекция карты

Вырезание сферы по спирали шириной 1/N и выравнивание получившейся формы дает спираль Эйлера, когда п стремится к бесконечности.^[9] Если сфера глобус, это дает картографическая проекция искажение которого стремится к нулю при п стремится к бесконечности.^[10]

Формы усов

Естественные формы вибрисс мистической подушечки крысы (усы ) хорошо аппроксимируются кусками спирали Эйлера. Когда все эти части для одной крысы собраны вместе, они охватывают интервал, простирающийся от одной спиральной области спирали Эйлера до другой.^[11]

Формулировка

Символы

р	Радиус кривизны
рc	Радиус круговой кривой на конце спирали
θ	Угол изгиба от начала спирали (бесконечный р) в определенную точку спирали. Его также можно измерить как угол между начальной касательной и касательной в соответствующей точке.
θs	Угол полной спиральной кривой
L, s	Длина, измеренная по спиральной кривой от исходного положения
Ls, sо	Длина спиральной кривой

Вывод

График справа иллюстрирует спираль Эйлера, используемую как кривую сервитута (перехода) между двумя заданными кривыми, в данном случае прямая линия (отрицательная Икс ось) и круг. Спираль начинается в начале положительного Икс направлении и постепенно поворачивает против часовой стрелки, чтобы целоваться круг. Спираль - это небольшой сегмент двухконцевой спирали Эйлера в первом квадранте. Из определения кривизны ${ displaystyle { frac {1} {R}} = { frac {d theta} {ds}} propto s}$ т.е. ${ displaystyle { begin {align} Rs = { text {constant}} & = R_ {c} s_ {o} { frac {d theta} {ds}} & = { frac {s} {R_ {c} s_ {o}}} end {align}}}$ Пишем в формате, ${ displaystyle { frac {d theta} {ds}} = 2a ^ {2} s}$ куда ${ displaystyle 2a ^ {2} = { frac {1} {R_ {c} s_ {o}}}}$ или же ${ displaystyle a = { frac {1} { sqrt {2R_ {c} s_ {o}}}}}$ таким образом ${ Displaystyle theta = (как) ^ {2}}$ Сейчас же ${ displaystyle { begin {align} x & = int _ {0} ^ {L} cos theta , ds & = int _ {0} ^ {L} cos left [ left ( как right) ^ {2} right] , ds end {align}}}$ Если ${ displaystyle s '= as}$ потом ${ displaystyle ds = { frac {ds '} {a}}}$ Таким образом ${ displaystyle { begin {align} x & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} cos left (s ^ {2} right) , ds y & = int _ {0} ^ {L} sin theta , ds & = int _ {0} ^ {L} sin left [ left (как right) ^ {2} right] , ds & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} sin left ({s} ^ {2} right) , ds end {выровнено}}}$

Разложение интеграла Френеля.

Если а = 1, что имеет место для нормализованной кривой Эйлера, то декартовы координаты задаются интегралами Френеля (или интегралами Эйлера):

${ Displaystyle { begin {align} C (L) & = int _ {0} ^ {L} cos left (s ^ {2} right) , ds S (L) & = int _ {0} ^ {L} sin left (s ^ {2} right) , ds end {выровнено}}}$

Нормализация и заключение

Для данной кривой Эйлера с:

${ displaystyle 2RL = 2R_ {c} L_ {s} = { frac {1} {a ^ {2}}}}$

или же

${ displaystyle { frac {1} {R}} = { frac {L} {R_ {c} L_ {s}}} = 2a ^ {2} L}$

тогда

${ displaystyle { begin {align} x & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} cos left (s ^ {2} right) , ds y & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} sin left (s ^ {2} right) , ds end {align}}}$

куда

${ displaystyle { begin {align} L '& = aL a & = { frac {1} { sqrt {2R_ {c} L_ {s}}}}. end {align}}}$

Процесс получения решения (Икс, у) спирали Эйлера, таким образом, можно описать как:

• карта L исходной спирали Эйлера умножением на множитель а к L′ нормированной спирали Эйлера;
• Находить (Икс′, у′) из интегралов Френеля; и
• карта (Икс′, у′) к (Икс, у) путем увеличения (денормализации) с коэффициентом 1/а. Обратите внимание, что 1/а > 1.

В процессе нормализации

${ displaystyle { begin {align} R '_ {c} & = { frac {R_ {c}} { sqrt {2R_ {c} L_ {s}}}} & = { sqrt { frac {R_ {c}} {2L_ {s}}}} L '_ {s} & = { frac {L_ {s}} { sqrt {2R_ {c} L_ {s}}}} & = { sqrt { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}}} end {align}}}$

потом

${ displaystyle { begin {align} 2R '_ {c} L' _ {s} & = 2 { sqrt { frac {R_ {c}} {2L_ {s}}}} { sqrt { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}}} & = { frac {2} {2}} = 1 end {выровнено}}}$

Обычно нормализация снижает L′ к небольшому значению (менее 1) и приводит к хорошим сходящимся характеристикам интеграла Френеля, управляемому всего несколькими членами (по цене повышенного числовая нестабильность расчета, особенно для больших θ значения.).

Иллюстрация

Данный:

${ displaystyle { begin {align} R_ {c} & = 300 , { mbox {m}} L_ {s} & = 100 , { mbox {m}} end {align}}}$

потом

${ displaystyle { begin {align} theta _ {s} & = { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}} & = { frac {100} {2 times 300}} & = { tfrac {1} {6}} { mbox {радиан}} конец {выровнено}}}$

и

${ displaystyle 2R_ {c} L_ {s} = 60 000}$

Мы уменьшаем спираль Эйлера на √60000, т.е. 100√6 к нормализованной спирали Эйлера, которая имеет:

${ displaystyle { begin {align} R '_ {c} & = { tfrac {3} { sqrt {6}}} , { mbox {m}} L' _ {s} & = { tfrac {1} { sqrt {6}}} , { mbox {m}} 2R '_ {c} L' _ {s} & = 2 times { tfrac {3} { sqrt {6}}} times { tfrac {1} { sqrt {6}}} & = 1 end {выровнено}}}$

и

${ displaystyle { begin {align} theta _ {s} & = { frac {L '_ {s}} {2R' _ {c}}} & = { frac { frac {1} { sqrt {6}}} {2 times { frac {3} { sqrt {6}}}}} & = { tfrac {1} {6}} { mbox {радиан}} конец {выровнен}}}$

Два угла θ_s одинаковые. Таким образом, это подтверждает, что исходная и нормализованная спирали Эйлера геометрически подобны. Геометрическое место нормализованной кривой может быть определено с помощью интеграла Френеля, а геометрическое место исходной спирали Эйлера может быть получено путем увеличения или денормализации.

Другие свойства нормированных спиралей Эйлера

Нормализованные спирали Эйлера можно выразить как:

${ displaystyle { begin {align} x & = int _ {0} ^ {L} cos left (s ^ {2} right) , ds y & = int _ {0} ^ {L } sin left (s ^ {2} right) , ds end {align}}}$

или выражается как степенной ряд:

${ displaystyle { begin {align} x & = left. sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} { frac {s ^ {4i + 1}} {4i + 1}} right | _ {0} ^ {L} && = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} { frac {L ^ {4i + 1}} {4i + 1}} y & = left. sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} { frac {s ^ {4i + 3}} {4i + 3}} right | _ {0} ^ {L} && = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} { frac {L ^ {4i + 3}} { 4i + 3}} end {выровнено}}}$

Нормализованная спираль Эйлера будет сходиться к одной точке в пределе, что можно выразить как:

${ displaystyle { begin {align} x ^ { prime} & = lim _ {L to infty} int _ {0} ^ {L} cos left (s ^ {2} right) , ds && = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2}}} приблизительно 0,6267 y ^ { prime} & = lim _ {L to infty} int _ {0} ^ {L} sin left (s ^ {2} right) , ds && = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} { 2}}} приблизительно 0,6267 конец {выровнено}}}$

Нормализованные спирали Эйлера обладают следующими свойствами:

${ displaystyle { begin {align} 2R_ {c} L_ {s} & = 1 theta _ {s} & = { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}} = L_ {s } ^ {2} end {выровнено}}}$

и

${ displaystyle { begin {align} theta & = theta _ {s} cdot { frac {L ^ {2}} {L_ {s} ^ {2}}} = L ^ {2} { frac {1} {R}} & = { frac {d theta} {dL}} = 2L end {align}}}$

Обратите внимание, что 2р_cL_s = 1 также значит 1/р_c = 2L_s, в соответствии с последним математическим утверждением.

Код для создания спирали Эйлера

Следующее SageMath код создает второй график выше. Первые четыре строки выражают компонент спирали Эйлера. Функции Френеля найти не удалось. Вместо этого приняты интегралы двух расширенных рядов Тейлора. Остающийся код выражает, соответственно, касательную и окружность, включая вычисление координат центра.

вар('L')п = интеграл(Тейлор(потому что(L^2), L, 0, 12), L)q = интеграл(Тейлор(грех(L^2), L, 0, 12), L)r1 = параметрический график([п, q], (L, 0, 1), цвет = 'красный')r2 = линия([(-1.0, 0), (0,0)], rgbcolor = 'синий')x1 = п.подводные лодки(L = 1)y1 = q.подводные лодки(L = 1)р = 0.5x2 = x1 - р*грех(1.0)y2 = y1 + р*потому что(1.0)r3 = круг((x2, y2), р, rgbcolor = 'зеленый')Показать(r1 + r2 + r3, соотношение сторон = 1, топоры=ложный)

Следующее Mathematica код для компонента спирали Эйлера (работает непосредственно в wolframalpha.com):

ParametricPlot[{ФренельC[Sqrt[2/\[число Пи]]т]/Sqrt[2/\[число Пи]],Френель[Sqrt[2/\[число Пи]]т]/Sqrt[2/\[число Пи]]},{т,-10,10}]

Следующее Xcas код для компонента спирали Эйлера:

plotparam ([int (cos (u ^ 2), u, 0, t), int (sin (u ^ 2), u, 0, t)], t, -4,4)

Следующее SageMath код для полной двусторонней спирали Эйлера:

s = вар('s')параметрический график((лямбда s: числовой_интеграл(потому что(Икс**2),0,s)[0], лямбда s: числовой_интеграл(грех(Икс**2),0,s)[0]), (-3*число Пи/2, 3*число Пи/2))

Следующее JavaScript код для рисования спирали Эйлера на элемент холста:

функция drawEulerSpiral(холст, Т, N, шкала) {      ctx = холст.getContext("2д");      вар dx, dy, т=0, предыдущий = {Икс:0, у:0}, Текущий;      вар dt = Т/N;      ctx.beginPath();      пока (N--) {         dx = Математика.потому что(т*т) * dt;         dy = Математика.грех(т*т) * dt;         т += dt;         Текущий = {            Икс: предыдущий.Икс + dx,            у: предыдущий.у + dy         };         ctx.lineTo(Текущий.Икс*шкала, Текущий.у*шкала);         предыдущий = Текущий;      }      ctx.Инсульт();}drawEulerSpiral(документ.getElementById("myCanvas"),10,10000,100)

Следующее Логотип (язык программирования) код для рисования спирали Эйлера с использованием спрайта черепахи.

rt 90повторение 720 [ fd 10 lt пересчитать ]

Смотрите также

• Архимедова спираль
• Интеграл Френеля
• Геометрический дизайн дорог
• Список спиралей
• Кривая перехода трека

Рекомендации

Примечания

Источники

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Спираль Эйлера на 2-мерных математических кривых
• Интерактивный пример с JSXGraph
• Спиральная картографическая проекция Эйлера