Логарифмическая спираль - Logarithmic spiral

Логарифмическая спираль (шаг 10 °)

А логарифмическая спираль, равноугольная спираль, или же спираль роста это самоподобный спираль изгиб что часто встречается в природе. Логарифмическая спираль впервые была описана Декарт а затем широко исследовал Джейкоб Бернулли, кто назвал это Спира мирабилис, "дивная спираль".

Логарифмическую спираль можно отличить от Архимедова спираль тем, что расстояния между витками логарифмической спирали увеличиваются в геометрическая прогрессия, а в спирали Архимеда эти расстояния постоянны.

Определение

В полярные координаты ${ Displaystyle (г, varphi)}$ в логарифмический спираль можно записать как^[1]

${ displaystyle r = ae ^ {k varphi}, quad varphi in mathbb {R},}$

или же

${ displaystyle varphi = { frac {1} {k}} ln { frac {r} {a}},}$

с ${ displaystyle e}$ основание натурального логарифма, и ${ Displaystyle а> 0, к neq 0}$ являясь настоящими константами.

В декартовых координатах

Логарифмическая спираль с полярным уравнением

${ Displaystyle ; г = ае ^ {к varphi}}$

может быть представлен в декартовых координатах ${ Displaystyle (Икс = р соз varphi, , y = r sin varphi)}$ к

• ${ displaystyle x = ae ^ {k varphi} cos varphi, qquad y = ae ^ {k varphi} sin varphi.}$

в комплексная плоскость ${ displaystyle (z = x + iy, , e ^ {i varphi} = cos varphi + i sin varphi)}$:

• ${ displaystyle z = ae ^ {(k + i) varphi}.}$

Спира мирабилис и Джейкоб Бернулли

Спира мирабилис, латинский «чудесная спираль» - это еще одно название логарифмической спирали. Хотя эта кривая уже была названа другими математиками, конкретное название («чудесная» или «чудесная» спираль) ей дал Джейкоб Бернулли, потому что он был очарован одним из его уникальных математических свойств: размер спирали увеличивается, но ее форма не изменяется с каждой последующей кривой, свойство, известное как самоподобие. Возможно, в результате этого уникального свойства spira mirabilis эволюционировала в природе, появившись в определенных растущих формах, таких как наутилус снаряды и подсолнечник головы. Якоб Бернулли хотел, чтобы такая спираль была выгравирована на его надгробие вместе с фразой "Eadem mutata resurgo "(" Хотя изменен, я встану такой же. "), Но по ошибке Архимедова спираль был помещен туда вместо этого.^[2][3]

Характеристики

Определение угла наклона и сектора

Логарифмическая спираль ${ Displaystyle ; г = ае ^ {к varphi} ;, ; к neq 0, ;}$ обладает следующими свойствами (см. Спираль ):

• Полярный склон: ${ displaystyle tan alpha = k quad ({ color {red} { text {constant!}}})}$

с полярный угол наклона ${ displaystyle alpha}$ (см. диаграмму).

(В случае ${ displaystyle k = 0}$ угол ${ displaystyle alpha}$ будет 0, а кривая - круг с радиусом ${ displaystyle a}$.)

• Кривизна: ${ displaystyle ; kappa = { frac {1} {r { sqrt {1 + k ^ {2}}}}} = { frac { cos alpha} {r}}}$

• Длина дуги:${ displaystyle L ( varphi _ {1}, varphi _ {2}) = { frac { sqrt {k ^ {2} +1}} {k}} { big (} r ( varphi _ {2}) - r ( varphi _ {1}) { big)} = { frac {r ( varphi _ {2}) - r ( varphi _ {1})} { sin alpha }}}$
  

Особенно: ${ displaystyle L (- infty, varphi _ {2}) = { frac {r ( varphi _ {2})} { sin alpha}} quad ({ color {red} { текст {конечный!}}}) ;}$, если ${ displaystyle k> 0}$ .

Это свойство было впервые реализовано Евангелиста Торричелли еще до исчисление был изобретен.^[4]

• Площадь сектора: ${ Displaystyle A = { гидроразрыва {г ( varphi _ {2}) ^ {2} -r ( varphi _ {1}) ^ {2})} {4k}}}$
• Инверсия: Инверсия круга (${ Displaystyle г к 1 / г}$) отображает логарифмическую спираль ${ Displaystyle ; г = ае ^ {к varphi} ;}$ на логарифмическую спираль ${ displaystyle ; r = { tfrac {1} {a}} e ^ {- k varphi} .}$

Примеры для ${ displaystyle a = 1,2,3,4,5}$

• Вращение, масштабирование: Вращение спирали на угол ${ displaystyle varphi _ {0}}$ дает спираль ${ displaystyle r = ae ^ {- k varphi _ {0}} e ^ {k varphi}}$, которая является исходной спиралью, равномерно масштабированной (в начале координат) на ${ displaystyle e ^ {- k varphi _ {0}}}$.

Масштабирование по ${ Displaystyle ; е ^ {kn2 ​​ pi} ;, n = pm 1, pm 2, ..., ;}$ дает одно и тоже изгиб.

• Самоподобие: Результат предыдущего свойства:

Масштабированная логарифмическая спираль конгруэнтный (вращением) к исходной кривой.

Пример: На схеме показаны спирали с углом наклона ${ Displaystyle альфа = 20 ^ { circ}}$ и ${ displaystyle a = 1,2,3,4,5}$. Следовательно, все они являются масштабными копиями красного. Но их также можно сгенерировать, вращая красную на углы. ${ displaystyle -109 ^ { circ}, - 173 ^ { circ}, - 218 ^ { circ}, - 253 ^ { circ}}$ соответственно. Все спирали не имеют общих точек (см. свойство на комплексная экспоненциальная функция).

• Отношение к другим кривым: Логарифмические спирали конгруэнтны своим собственным эвольвенты, эволюционисты, а кривые педали на основе их центров.
• Комплексная экспоненциальная функция: The экспоненциальная функция точно отображает все линии, не параллельные действительной или мнимой оси в комплексной плоскости, на все логарифмические спирали в комплексной плоскости с центром в ${ displaystyle 0}$:

${ displaystyle z (t) = underbrace {(kt + b) ; + it} _ { text {line}} quad to quad e ^ {z (t)} = e ^ {kt + b } cdot e ^ {it} = underbrace {e ^ {b} e ^ {kt} ( cos t + i sin t)} _ { text {log. спираль}} }$

Полярный угол наклона ${ displaystyle alpha}$ логарифмической спирали - угол между линией и мнимой осью.

Частные случаи и приближения

В золотая спираль представляет собой логарифмическую спираль, которая растет наружу в раз Золотое сечение на каждые 90 градусов вращения (угол наклона полярной оси около 17,03239 градусов). Его можно аппроксимировать «спиралью Фибоначчи», состоящей из последовательности четвертей окружностей с радиусами, пропорциональными Числа Фибоначчи.

В природе

В разрезе наутилус оболочка, показывающая камеры, расположенные приблизительно по логарифмической спирали. Построенная спираль (пунктирная синяя кривая) основана на параметре скорости роста ${ displaystyle b = 0,1759}$, в результате чего ${ displaystyle arctan b приблизительно 10 ^ { circ}}$.

Романеско брокколи, которая растет по логарифмической спирали

В некоторых природных явлениях можно найти кривые, близкие к логарифмическим спиралям. Вот несколько примеров и причин:

• Подход ястреб своей добыче в классическая погоня, предполагая, что жертва движется по прямой. Их самый острый вид - под углом к ​​направлению полета; этот угол такой же, как шаг спирали.^[5]
• Приближение насекомого к источнику света. Они привыкли, что источник света находится под постоянным углом к ​​траектории полета. Обычно солнце (или луна для ночных видов) является единственным источником света, и полет в этом направлении приведет к практически прямой линии.^[6]
• Руки спирали галактики.^[7] Наша собственная галактика Млечный Путь, имеет несколько спиральных рукавов, каждое из которых представляет собой примерно логарифмическую спираль с шагом около 12 градусов.^[8]
• Нервы роговица (то есть роговичные нервы субэпителиального слоя оканчиваются возле поверхностного эпителиального слоя роговицы по логарифмической спирали).^[9]
• В группы из тропические циклоны, например ураганы.^[10]
• Много биологический конструкции, в том числе оболочки моллюски.^[11] В этих случаях причиной может быть конструкция из расширения аналогичных форм, как в случае с многоугольный цифры.
• Пляжи с логарифмической спиралью может образоваться в результате преломления волн и дифракции на берегу. Half Moon Bay (Калифорния) является примером такого типа пляжа.^[12]

Галерея

• 

  Раздел Набор Мандельброта по логарифмической спирали

• 

  An внетропический циклон над Исландия показывает приблизительно логарифмический спиральный узор

• 

  Руки спиральные галактики часто имеют форму логарифмической спирали, здесь Галактика Водоворот

Смотрите также

• Архимедова спираль
• Эписпиральный
• Список спиралей

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмическая спираль». MathWorld.
• Джим Уилсон, Равноугольная спираль (или логарифмическая спираль) и связанные с ней кривые, Университет Джорджии (1999)
• Александр Богомольный, Spira Mirabilis - Замечательная спираль, в узлом

внешняя ссылка

• Спира мирабилис история и математика
• Астрономическое изображение дня НАСА: ураган Изабель против галактики Водоворот (25 сентября 2003 г.)
• Астрономическая фотография дня НАСА: тайфун Раммасун против галактики Вертушка (17 мая 2008 г.)
• SpiralZoom.com, образовательный сайт о науке о формировании узоров, спиралях в природе и спиралях в воображении мифов.
• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)