Квадрат круга - Squaring the circle

Возведение круга в квадрат: площади этого квадрата и этого круга равны π. В 1882 году было доказано, что эта фигура не может быть построена за конечное число шагов с идеализированной компас и линейка.

Некоторые очевидные частичные решения надолго давали ложные надежды. На этом рисунке заштрихованная цифра - это Луна Гиппократа. Его площадь равна площади треугольника. ABC (найдено Гиппократ Хиосский ).

Квадрат круга проблема, предложенная древний геометры. Это задача построения квадрат с той же площадью, что и данный круг используя только конечное число шагов с компас и линейка. Сложность проблемы подняла вопрос о том, указаны ли аксиомы из Евклидова геометрия Относительно существования линий и кругов подразумевается существование такого квадрата.

В 1882 году эта задача оказалась невыполнимой из-за Теорема Линдемана – Вейерштрасса что доказывает, что число Пи (π) это трансцендентный, а не алгебраическое иррациональное число; то есть это не корень любой многочлен с рациональный коэффициенты. На протяжении десятилетий было известно, что строительство невозможно, если π были трансцендентны, но π не было доказано трансцендентным до 1882 года. Приближенное возведение в квадрат с любой заданной несовершенной точностью, напротив, возможно за конечное число шагов, поскольку существуют рациональные числа, сколь угодно близкие к π.

Выражение «квадрат круга» иногда используется как метафора для попытки сделать невозможное.^[1]

Период, термин квадратура круга иногда используется для обозначения того же значения, что и квадрат круга, но он также может относиться к приблизительным или численным методам определения площади круга.

История

Методы аппроксимации площади данного круга квадратом, которые можно рассматривать как проблему, предшествующую возведению круга в квадрат, были известны уже Вавилонские математики. Египетский Папирус Ринда 1800 г. до н.э. дает площадь круга как 64/81 d ², куда d диаметр круга. Говоря современным языком, это эквивалентно приближению π так как 256/81 (приблизительно 3,1605), число, которое появляется в старом Московский математический папирус и используется для аппроксимации объема (т.е. гекат ). Индийские математики также нашел приблизительный метод, хотя и менее точный, задокументированный в Шульба Сутры.^[2] Архимед доказал формулу площади круга (А = πр², куда р - радиус круга) и показал, что значение π лежать между 3+1/7 (приблизительно 3,1429) и 3+10/71 (приблизительно 3,1408). Видеть Численные приближения π больше по истории.

Первым известным греком, который связался с этой проблемой, был Анаксагор, который работал над этим в тюрьме. Гиппократ Хиосский в квадрате определенные люны, в надежде, что это приведет к решению - см. Луна Гиппократа. Антифон Софист считал, что вписывание правильных многоугольников в круг и удвоение количества сторон в конечном итоге заполнит площадь круга, а поскольку многоугольник можно возводить в квадрат, это означает, что круг можно возводить в квадрат. Даже тогда были скептики -Eudemus утверждал, что величины не могут быть разделены без ограничений, поэтому площадь круга никогда не будет использована.^[3] Проблема даже упоминалась в Аристофан игра Птицы.

Верят что Энопид был первым греком, которому потребовалось решение на плоскости (то есть с использованием только циркуля и линейки). Джеймс Грегори попытался доказать его невозможность в Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинное квадратирование круга и гиперболы) в 1667 году.^[4] Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой пытались решить проблему, используя алгебраические свойства π. Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал свою невозможность.

Частичная история Флориан Каджори попыток решения проблемы.^[5]

Математик, логик и писатель Викторианской эпохи Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл, также выразил интерес к развенчанию нелогичных теорий возведения круга в квадрат. В одной из своих дневниковых записей за 1855 год Доджсон перечислил книги, которые он надеялся написать, в том числе одну под названием «Простые факты для квадроциклов». Во введении к «Новой теории параллелей» Доджсон рассказал о попытке продемонстрировать логические ошибки паре квадратов, заявив:^[6]

Первый из этих двух заблудших провидцев наполнил меня огромным стремлением совершить подвиг, о котором я никогда не слышал, как совершенный человеком, а именно убедить квадратный круг в его ошибке! Мой друг выбрал для Пи значение 3,2: огромная ошибка соблазнила меня мыслью, что она может быть легко продемонстрирована как БЫТЬ ошибкой. Обменялось более чем десятком букв, прежде чем я с грустью убедился, что у меня нет шансов.

Высмеивание квадрата круга появляется в Август де Морган с Бюджет парадоксов опубликовано посмертно его вдовой в 1872 году. Изначально произведение было опубликовано в виде серии статей в Афинэум, он редактировал ее для публикации на момент своей смерти. Квадрат круга был очень популярен в девятнадцатом веке, но сегодня вряд ли кто-то занимается им, и считается, что работа де Моргана помогла этому.^[7]

Две другие классические проблемы античности, известные своей невозможностью, были удвоение куба и трисекция угла. Как и возведение круга в квадрат, их нельзя решить методами циркуля и линейки. Однако, в отличие от квадрата круга, они могут быть решены немного более мощным методом построения: оригами, как описано на математика складывания бумаги.

Невозможность

Решение задачи возведения окружности в квадрат с помощью циркуля и линейки требует построения числа √π. Если √π является конструктивный, следует из стандартные конструкции это π также будет конструктивным. В 1837 г. Пьер Ванцель показали, что длины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, должны быть решениями некоторых полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.^[8][9] Таким образом, конструктивные длины должны быть алгебраические числа. Если бы проблему квадратуры круга можно было решить, используя только циркуль и линейку, то π должно быть алгебраическим числом. Иоганн Генрих Ламберт предположил, что π не был алгебраическим, то есть трансцендентное число, в 1761 г.^[10] Он сделал это в той же статье, в которой доказал иррациональность, даже до того, как было доказано общее существование трансцендентных чисел. Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность π и таким образом показал невозможность этой конструкции.^[11]

Превосходство π подразумевает невозможность точно "обвести" квадрат, а также возвести круг в квадрат.

Можно построить квадрат с площадью, произвольно близкой к площади данного круга. Если рациональное число используется как приближение π, тогда становится возможным возведение круга в квадрат в зависимости от выбранных значений. Однако это только приближение и не соответствует ограничениям древних правил решения проблемы. Несколько математиков продемонстрировали работоспособные процедуры, основанные на различных приближениях.

Изменяя правила, вводя дополнительный инструмент, позволяющий выполнять бесконечное количество операций с циркулем и линейкой или выполняя операции в определенных неевклидовы геометрии в некотором смысле также делает возможным квадрат круга. Например, квадратик Гиппия предоставляет средства для квадрата круга, а также для разрезать произвольный угол, как и Архимедова спираль.^[12] Хотя круг нельзя возвести в квадрат Евклидово пространство, иногда это может быть в гиперболическая геометрия при подходящей интерпретации терминов.^[13][14] Поскольку в гиперболической плоскости нет квадратов, их роль должен выполнять правильные четырехугольники, то есть четырехугольники, все стороны которых равны, а все углы совпадают (но эти углы строго меньше прямых углов). В гиперболической плоскости существует (счетное) бесконечное количество пар конструктивных окружностей и конструктивных правильных четырехугольников равной площади, которые, Однако не существует метода, чтобы начать с правильного четырехугольника и построить круг равной площади, и нет метода, чтобы начать с круга и построить правильный четырехугольник одинаковой площади (даже если круг достаточно мал. радиус такой, что существует правильный четырехугольник одинаковой площади).

Современные аппроксимационные построения

Хотя возведение круга в квадрат с идеальной точностью является невозможной задачей с использованием только циркуля и линейки, приближения к возведению круга в квадрат можно получить, построив длины, близкие кπТребуется лишь минимальное знание элементарной геометрии, чтобы преобразовать любое данное рациональное приближение π в соответствующий компас и линейка, но конструкции, сделанные таким образом, имеют тенденцию быть очень многословными по сравнению с точностью, которую они достигают. После того, как точная проблема оказалась неразрешимой, некоторые математики применили свою изобретательность, чтобы найти изящные аппроксимации квадрата круга, которые грубо и неформально определены как конструкции, которые особенно просты среди других мыслимых конструкций, дающих подобную точность.

Строительство Кочанского

Одно из ранних исторических приближений Приближение Кочанского что расходится с π только в пятом знаке после запятой. Он был очень точным на момент открытия (1685 г.).^[15]

Кочанского приблизительное строительство

Строительство по Кочански с продолжением

На левой диаграмме

${ displaystyle | P_ {3} P_ {9} | = | P_ {1} P_ {2} | { sqrt {{ frac {40} {3}} - 2 { sqrt {3}}}} приблизительно 3,141 , 5 { color {red} 33 , 338} cdot | P_ {1} P_ {2} | приблизительно pi r.}$

Строительство Якоба де Гелдера

Конструкция Якоба де Гелдера с продолжением

В 1849 г. была опубликована элегантная и простая конструкция Якоба де Гелдера (1765-1848). Архив Грюнерта. Это было на 64 года раньше, чем аналогичное строительство Рамануджаном.^[16] Он основан на приближении

${ displaystyle pi приблизительно { frac {355} {113}} = 3.141 ; 592 { color {red} ; 920 ; ldots}}$

Это значение имеет точность до шести знаков после запятой и известно в Китае с V века как Цзу Чунчжи русская фракция, а в Европе с 17 века.

Гелдер не строил сторону квадрата; ему было достаточно найти следующее значение

${ displaystyle { overline {AH}} = { frac {4 ^ {2}} {7 ^ {2} + 8 ^ {2}}}}$.

На иллюстрации напротив - описанной ниже - показана конструкция Якоба де Гелдера с продолжением.

Нарисуйте две взаимно перпендикулярные центральные линии круга с радиусом компакт диск = 1 и определите точки пересечения A и B. Проложите отрезок прямой CE = ${ displaystyle { tfrac {7} {8}}}$ зафиксировать и подключить E к A. Определить на AE и от A отрезок прямой AF = ${ displaystyle { tfrac {1} {2}}}$. Рисовать FG параллельно компакт диск и соедините E с G. Нарисуйте FH параллельно НАПРИМЕР, тогда AH = ${ displaystyle { tfrac {4 ^ {2}} {7 ^ {2} + 8 ^ {2}}}.}$ Определять Минет = CB и впоследствии JK = AH. Делить пополам АК в L и используйте Теорема Фалеса вокруг L от A, что приводит к точке пересечения M. Отрезок прямой BM квадратный корень из АК и таким образом длина стороны ${ displaystyle a}$ искомого квадрата с почти такой же площадью.

Примеры, иллюстрирующие ошибки:

• В круге радиуса р = 100 км, погрешность длины стороны а ≈ 7,5 мм
• В случае круга с радиусом р = 1 м, погрешность площади А ≈ 0,3 мм²

Строительство Hobson

Среди современных примерных построек была одна Э. В. Хобсон в 1913 г.^[16] Это было довольно точное построение, основанное на построении приблизительного значения 3,14164079 ..., которое с точностью до трех знаков после запятой (т.е. отличается от π примерно 4.8×10⁻⁵).

Конструкция Гобсона с продолжением

"Мы находим, что GH = г . 1 ^.77246 ..., а так как ${ displaystyle { sqrt { pi}}}$ = 1 ^.77245 мы видим, что GH больше, чем сторона квадрата, площадь которого равна площади круга, менее чем на двести тысячных радиуса ".

Хобсон не упоминает формулу приближения π в его конструкции. На приведенной выше иллюстрации показана конструкция Хобсона с продолжением.

Постройки Рамануджана

Индийский математик Шриниваса Рамануджан в 1913 г.,^[17][18] Карл Олдс в 1963 г., Мартин Гарднер в 1966 г., а Бенджамин Болд в 1982 г. все предложили геометрические конструкции для

${ displaystyle { frac {355} {113}} = 3.141 ; 592 { color {red} ; 920 ; ldots}}$

что с точностью до шести десятичных знаковπ.

Рамануджан Примерное строительство с подходом 355/113
DR это сторона квадрата

Эскиз к "Рукописной книге 1 Шринивасы Рамануджана" с. 54

В 1914 году Рамануджан дал конструкцию линейки и циркуля, которая была эквивалентна принятию приблизительного значения для π быть

${ displaystyle left (9 ^ {2} + { frac {19 ^ {2}} {22}} right) ^ { frac {1} {4}} = { sqrt [{4}] { frac {2143} {22}}} = 3.141 ; 592 ; 65 { color {красный} 2 ; 582 ; ldots}}$

давая восемь десятичных знаков π.^[19] Он описывает свою конструкцию до отрезка OS следующим образом.^[20]

«Пусть AB (рис. 2) - диаметр окружности с центром в О. Разделите дугу ACB пополам в точке C и разделите AO пополам в точке T. Соедините BC и отсеките от нее CM и MN, равные AT. Соедините AM и AN и отрезанный от последнего AP, равный AM. Через P проведите PQ параллельно MN и встретите AM в Q. Присоединитесь к OQ, а через T проведите TR, параллельно OQ и встретив AQ в R. Нарисуйте AS перпендикулярно AO и равное AR, и присоединиться к ОС. Тогда среднее значение, пропорциональное ОС и ОВ, будет почти равным шестой части окружности, при этом ошибка будет меньше двенадцатой дюйма при длине диаметра 8000 миль ".

В этой квадратуре Рамануджан не построил длину стороны квадрата, ему было достаточно показать отрезок прямой. Операционные системы. В следующем продолжении построения отрезок прямой Операционные системы используется вместе с отрезком линии OB для представления средних пропорциональных величин (красный отрезок OE).

Квадрат круга, приблизительное построение по Рамануджану 1914 г., с продолжением построения (пунктирные линии, средняя пропорциональная красная линия), см. анимация.

Продолжение построения до желаемой длины стороны квадрата a:

Продлевать AB за пределы A и пройти по дуге окружности b₁ вокруг O с радиусом Операционные системы, что приводит к S ′. Разделите отрезок пополам BS ′ в D и нарисуйте полукруг b₂ над D. Проведите прямую линию от O через C до полукруга b₂, это режет б₂ в E. Отрезок OE среднее значение пропорционально ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ' и OB, также называемый среднее геометрическое. Расширьте линейный сегмент EO за пределами O и перевод EO еще два раза, это приводит к F и A₁, и, следовательно, длина отрезка EA1 с описанным выше приближенным значением π, половина окружности круга. Разделите отрезок пополам EA₁ в G и нарисуем полукруг b₃ над G. Перенести расстояние OB из₁ к отрезку линии EA₁, получается H. Создайте вертикаль от H до полукруга b₃ на EA₁, это приводит к B₁. Подключите A₁ в B₁, таким образом искомая сторона а площади A₁B₁C₁D₁ построен, который имеет почти такую ​​же площадь, что и данный круг.

Примеры, иллюстрирующие ошибки:

• В круге радиуса р = 10000 км погрешность длины стороны а ≈ −2,8 мм
• В случае круга с радиусом р = 10 м погрешность площади А ≈ −0,1 мм²

Строительство с использованием золотого сечения

• В 1991 г. Роберт Диксон дал конструкцию для

${ displaystyle { frac {6} {5}} cdot left (1+ varphi right) = 3.141 ; { color {красный} 640 ; ldots},}$

куда ${ displaystyle varphi}$ это Золотое сечение.^[21] Три десятичных разряда равны десятичным разрядам π.

• Если радиус ${ displaystyle r = 1}$ и сторона квадрата

${ displaystyle a = { sqrt {{ frac {6} {5}} cdot left (1+ varphi right)}} = { sqrt { varphi +1 + { frac {1} { 5}} cdot left (1+ varphi right)}} = 1.772 ; 4 { color {red} 67 ; ldots}}$

затем развернутая вторая формула показывает последовательность шагов для альтернативного построения (см. следующую иллюстрацию). Четыре десятичных знака равны десятичным разрядам √π.

Примерное построение с использованием золотого сечения
${ displaystyle { sqrt {{ overline {AE}} + 1 + { tfrac {1} {5}} cdot (1 + { overline {AE}})}} = { sqrt {AG}} = а приблизительно { sqrt { pi}}}$.

Возведение в квадрат или квадратура как интегрирование

Нахождение области под кривой, известной как интеграция в исчисление, или же квадратура в числовой анализ, был известен как возведение в квадрат до изобретения исчисления. Поскольку методы исчисления были неизвестны, обычно предполагалось, что возведение в квадрат следует производить с помощью геометрических построений, то есть с помощью циркуля и линейки. Например, Ньютон написал в Ольденбург в 1676 г. "Я полагаю, что М. Лейбниц не будет не любить теорему в начале моего письма стр. 4 для возведение кривых в квадрат Геометрически »(курсив мой).^[22] После Ньютона и Лейбниц изобрели исчисление, они все еще называли эту проблему интегрирования квадратом кривой.

Утверждения квадрата круга

Связь с проблемой долготы

Математическое доказательство того, что квадратура круга невозможно, используя только циркуль, и линейка не оказалась помехой для многих людей, которые в любом случае потратили годы на решение этой проблемы. Квадрат круга - знаменитый заводить утверждение. (Смотрите также псевдоматематика.) В преклонном возрасте английский философ Томас Гоббс убедил себя, что ему удалось возвести круг в квадрат - утверждение, которое было опровергнуто Джон Уоллис как часть Противоречие Гоббса и Уоллиса.^[23][24]

В XVIII и XIX веках представление о том, что проблема квадрата круга каким-то образом была связана с проблема долготы кажется, стало распространенным среди потенциальных квадратов круга. Используя "циклометр" для круго-квадратора, Август де Морган писал в 1872 году:

Montucla говорит, говоря о Франции, что он считает, что среди циклометров преобладают три понятия: 1. Что за успех предлагается большая награда; 2. Что проблема долготы зависит от этого успеха; 3. Решение - это великая цель и объект геометрии. Те же три понятия одинаково распространены среди одного и того же класса в Англии. Правительство ни одной из стран никогда не предлагало никаких наград.^[25]

Хотя с 1714 по 1828 год британское правительство действительно спонсировало приз в 20 000 фунтов стерлингов за решение проблемы долготы, не ясно, почему именно была установлена ​​связь с квадратом круга; тем более что два негеометрических метода (астрономический метод лунных расстояний и механический хронометр ) был обнаружен к концу 1760-х гг. Де Морган продолжает, что «проблема долготы никоим образом не зависит от идеального решения; существующих приближений достаточно с точностью, намного превосходящей то, что можно было бы пожелать». В своей книге де Морган также упоминает о получении множества писем с угрозами от потенциальных квадратов, обвиняющих его в попытке «обмануть их и лишить их приза».

Другие современные претензии

Даже после того, как это оказалось невозможным, в 1894 году математик-любитель Эдвин Дж. Гудвин утверждал, что он разработал метод квадрата круга. Техника, которую он разработал, не позволяла точно квадрировать круг и обеспечивать неправильную площадь круга, которая по существу переопределяла число Пи как равное 3,2. Затем Гудвин предложил Индиана Пи Билл в законодательном собрании штата Индиана, разрешив штату использовать его метод в образовании без выплаты ему гонораров. Законопроект прошел без возражений в государственной палате, но он был внесен на рассмотрение и никогда не голосовал в Сенате на фоне растущих насмешек со стороны прессы.^[26]

Математический чудак Карл Теодор Хейзель также утверждал, что построил круг в своей книге «Вот!»: великая проблема больше не остается нерешенной: круг возведен в квадрат без опровержения ».^[27] Пол Халмос назвал книгу «классической книгой о чудаках».^[28]

В 1851 году Джон Паркер опубликовал книгу Квадратура круга в котором он утверждал, что возведет круг в квадрат. Его метод фактически дал приближение π с точностью до шести цифр.^[29][30][31]

В литературе

Оронс Фине, Quadratura circi, 1544

Ж. П. де Форе, Диссертация, открытая, и демонстрация квадратурной математики серкля, 1747

Проблема квадрата круга упоминалась поэтами, такими как Данте и Александр Поуп, с разнообразными метафорический смыслы. Его литературное использование восходит к 414 году до нашей эры, когда пьеса Птицы к Аристофан был впервые исполнен. В нем персонаж Метон Афинский упоминает квадрат круга, возможно, чтобы указать на парадоксальную природу своего утопического города.^[32]

Данте рай Песня XXXIII, строки 133–135 содержат стихи:

Для Данте возведение круга в квадрат представляет собой задачу за пределами человеческого понимания, которую он сравнивает со своей собственной неспособностью постичь Рай.^[33]

К 1742 году, когда Александр Поуп опубликовал четвертую книгу своего Дунсиада, попытки возведения круга в квадрат стали рассматриваться как «дикие и бесплодные»:^[30]

Точно так же Гилберт и Салливан комическая опера Принцесса ида включает песню, в которой сатирически перечисляются невыполнимые цели женского университета, которым руководит главный герой, например, найти вечное движение. Одна из этих целей - «А круг - квадрат возведут / В один прекрасный день».^[34]

В Сестина, поэтическая форма, впервые использованная в 12 веке Арнаут Даниэль, как было сказано, возводит в квадрат круг, используя квадратное количество строк (шесть строф по шесть строк в каждой) с круговой схемой из шести повторяющихся слов. Спанос (1978) пишет, что эта форма вызывает символическое значение, в котором круг обозначает небо, а квадрат обозначает землю.^[35]Похожая метафора была использована в рассказе 1908 года «В квадрате круга». О. Генри, о давней семейной вражде. В названии этого рассказа круг представляет мир природы, а квадрат представляет город, мир людей.^[36]

В более поздних работах квадратные квадраты, такие как Леопольд Блум в Джеймс Джойс роман Улисс и юрист Паравант в Томас Манн с Волшебная гора их воспринимают как грустно заблуждающихся или потусторонних мечтателей, не осознающих своей математической невозможности и строящих грандиозные планы ради результата, которого они никогда не достигнут.^[37][38]

Смотрите также

• Для более современной связанной проблемы см. Проблема квадрата круга Тарского.
• В сквиркл представляет собой математическую фигуру со свойствами квадрата и круга.

Рекомендации

внешняя ссылка

• Квадрат круга на Архив истории математики MacTutor
• В квадрате круга в завязать узел
• Квадрат круга в MathWorld, включает информацию о процедурах, основанных на различных приближениях пи
• "В квадрате круга " в "Конвергенция "
• Квадратура круга и люны Гиппократа в Конвергенция
• Как развернуть круг Пи с точностью до восьми знаков после запятой, с использованием линейки и компаса.
• Квадрат круга и другие невозможности, лекция Робин Уилсон, в Gresham College, 16 января 2008 г. (доступно для скачивания в виде текстового, аудио или видео файла).
• Грайм, Джеймс. "В квадрате круга". Numberphile. Брэди Харан.
• «2000 лет неразгаданности: почему невозможно удвоение кубов и квадратов кругов?» к Burkard Polster