Список формул, содержащих π - List of formulae involving π

Ниже приводится список важных формул, включающих математическая константа π. В списке присутствуют только формулы, значение которых установлено либо в статье, либо в самой формуле, либо в статье число Пи, или статья Приближения π.

Евклидова геометрия

куда C это длина окружности из круг, d это диаметр.

куда А это площадь круга и р это радиус.

куда V объем сфера и р это радиус.

куда SA площадь поверхности сферы и р это радиус.

Физика

  • Период простого маятник с небольшой амплитудой:

Формулы, дающие π

Интегралы

(объединяя две половинки чтобы получить площадь круга радиуса )
(интегральная форма арктан по всей его области, давая период загар ).
(видеть Гауссов интеграл ).
(когда путь интегрирования один раз наматывается против часовой стрелки вокруг 0. См. также Интегральная формула Коши ).
(смотрите также Доказательство того, что 22/7 превышает π ).

Отметим, что с симметричными подынтегральными выражениями , формулы вида также можно перевести в формулы .

Эффективная бесконечная серия

(смотрите также Двойной факториал )
(видеть Алгоритм Чудновского )
(видеть Шриниваса Рамануджан, Рамануджан – Сато серия )

Следующие примеры эффективны для вычисления произвольных двоичных цифр π:

(видеть Формула Бейли – Борвейна – Плуфа )

Другая бесконечная серия

(смотрите также Базельская проблема и Дзета-функция Римана )
, куда B2п это Число Бернулли.
[1]
(видеть Формула Лейбница для числа пи )
(Эйлер, 1748 г.)

После первых двух слагаемых знаки определяются следующим образом: Если в знаменателе стоит простое число вида 4м - 1, знак положительный; если знаменатель - простое число вида 4м + 1, знак отрицательный; для составных чисел знак равен произведению знаков его множителей.[2]

Также:

куда это п-го Число Фибоначчи.

Некоторые формулы, относящиеся π и номера гармоник даны здесь.

Машинные формулы

(оригинал Мачина формула)

куда это п-го Число Фибоначчи.

Бесконечная серия

Некоторые бесконечные серии с участием π:[3]

куда это Символ Поххаммера для растущего факториала. Смотрите также Рамануджан – Сато серия.

Бесконечные продукты

(Эйлер )
где числители - нечетные простые числа; каждый знаменатель кратен четырем ближайшим к числителю.
(смотрите также Уоллис продукт )

Формула Вьете:

Формулы арктангенса

куда такой, что .

Непрерывные дроби

Подробнее о третьей идентичности см. Формула непрерывной дроби Эйлера.

(Смотрите также Непрерывная дробь и Обобщенная цепная дробь.)

Разное

(Приближение Стирлинга )
(Тождество Эйлера )
(видеть Функция Эйлера )
(видеть Функция Эйлера )
(смотрите также Гамма-функция )
(где agm - среднее арифметико-геометрическое )
(куда это остаток при разделении п кk)
(Сумма Римана для оценки площади единичного круга)
Приближение Стирлинга )

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Формулы Пи», MathWorld
  2. ^ Карл Б. Бойер, История математики, Глава 21., стр. 488–489
  3. ^ Саймон Плафф / Дэвид Бейли. «Мир Пи». Pi314.net. Получено 2011-01-29.
    «Сборник серий для π". Numbers.computation.free.fr. Получено 2011-01-29.

дальнейшее чтение

  • Питер Борвейн, Удивительное число Пи
  • Казуя Като, Нобусигэ Курокава, Сайто Такеши: Теория чисел 1: мечта Ферма. Американское математическое общество, Провиденс, 1993 г., ISBN  0-8218-0863-X.