Производный тест - Derivative test

В исчисление, а производный тест использует производные из функция найти критические точки функции и определить, является ли каждая точка локальный максимум, а местный минимум, или точка перевала. Производные тесты также могут дать информацию о вогнутость функции.

Полезность производных для поиска экстремумы математически доказано Теорема Ферма о стационарных точках.

Тест первой производной

Тест первой производной исследует функции монотонный свойства (где функция увеличение или уменьшение ), сосредоточив внимание на конкретном моменте в своей домен. Если функция «переключается» с увеличения на уменьшение в этой точке, тогда функция достигает наивысшего значения в этой точке. Точно так же, если функция «переключается» с уменьшения на увеличение в этой точке, то в этой точке она достигает наименьшего значения. Если функция не может «переключиться» и продолжает увеличиваться или продолжает уменьшаться, то максимальное или наименьшее значение не достигается.

Монотонность функции можно исследовать без исчисления. Однако исчисление обычно полезно, потому что есть достаточные условия которые гарантируют свойства монотонности, указанные выше, и эти условия применимы к подавляющему большинству функций, с которыми можно столкнуться.

Точная формулировка свойств монотонности

Говоря точно, предположим, что ж это непрерывный настоящий -значная функция действительной переменной, определенная на некотором открытый интервал содержащий точку Икс.

Если существует положительное число р > 0 такой, что ж слабо возрастает на (Икс − р, Икс] и слабо убывает на [Икс, Икс + р), тогда ж имеет локальный максимум на Икс. Этот оператор работает и наоборот, если Икс - точка локального максимума, то ж слабо возрастает на (Икс − р, Икс] и слабо убывает на [Икс, Икс + р).
Если существует положительное число р > 0 такой, что ж строго возрастает на (Икс − р, Икс] и строго возрастает на [Икс, Икс + р), тогда ж строго возрастает на (Икс − р, Икс + р) и не имеет локального максимума или минимума на Икс.

Это утверждение является прямым следствием того, как локальные экстремумы определены. То есть, если Икс₀ является точкой локального максимума, то существует р > 0 такой, что ж(Икс) ≤ ж(Икс₀) за Икс в (Икс₀ − р, Икс₀ + р), что обозначает ж должен увеличиться с Икс₀ − р к Икс₀ и должен уменьшаться с Икс₀ к Икс₀ + р потому что ж непрерывно.

Обратите внимание, что в первых двух случаях ж не обязательно должно быть строго увеличивающимся или строго уменьшающимся слева или справа от Икс, а в двух последних случаях ж должно быть строго возрастающим или строго убывающим. Причина в том, что при определении локального максимума и минимума неравенство не обязательно должно быть строгим: например, каждое значение постоянная функция считается как локальным максимумом, так и локальным минимумом.

Точная формулировка теста первой производной

Тест первой производной зависит от «теста на возрастание – убывание», который, в конечном счете, является следствием теорема о среднем значении. Это прямое следствие того, как производная определяется и его связь с уменьшением и увеличением функции локально в сочетании с предыдущим разделом.

Предполагать ж является действительной функцией действительной переменной, определенной на некотором интервал содержащая критическую точку а. Далее предположим, что ж является непрерывный в а и дифференцируемый на некотором открытом интервале, содержащем а, кроме, возможно, в а сам.

Если существует положительное число р > 0 такое, что для каждого Икс в (а − р, а) у нас есть ж′(Икс) ≥ 0, и для каждого Икс в (а, а + р) у нас есть ж′(Икс) ≤ 0, тогда ж имеет локальный максимум на а.
Если существует положительное число р > 0 такое, что для каждого Икс в (а − р, а) ∪ (а, а + р) у нас есть ж′(Икс) > 0, тогда ж строго возрастает при а и не имеет там ни локального максимума, ни локального минимума.
Если ни одно из вышеперечисленных условий не выполняется, тест не проходит. (Такое условие не пустой; есть функции, которые не удовлетворяют ни одному из первых трех условий, например ж(Икс) = Икс² грех (1 /Икс)).

Опять же, в соответствии с комментариями в разделе о свойствах монотонности, обратите внимание, что в первых двух случаях неравенство не обязательно должно быть строгим, тогда как в следующих двух требуется строгое неравенство.

Приложения

Тест первой производной полезен при решении проблемы оптимизации по физике, экономике и технике. В сочетании с теорема об экстремальном значении, его можно использовать, чтобы найти абсолютный максимум и минимум вещественной функции, определенной на закрыто и ограниченный интервал. В сочетании с другой информацией, такой как вогнутость, точки перегиба и асимптоты, его можно использовать для наброска график функции.

Тест второй производной (одна переменная)

После создания критические точки функции, тест второй производной использует значение вторая производная в этих точках, чтобы определить, являются ли такие точки локальными максимум или местный минимум. Если функция ж дважды-дифференцируемый в критический момент Икс (т.е. точка, где ж′(Икс) = 0), то:

Если ${ displaystyle f '' (х) <0}$ , тогда ${ displaystyle f}$ имеет локальный максимум на ${ displaystyle x}$ .
Если ${ displaystyle f '' (х)> 0}$ , тогда ${ displaystyle f}$ имеет местный минимум в ${ displaystyle x}$ .
Если ${ displaystyle f '' (x) = 0}$ , тест не дает результатов.

В последнем случае Теорема Тейлора может использоваться для определения поведения ж возле Икс с помощью высшие производные.

Доказательство теста второй производной

Предположим, у нас есть ${ displaystyle f '' (х)> 0}$ (доказательство ${ displaystyle f '' (х) <0}$ аналогично). По предположению, ${ displaystyle f '(x) = 0}$ . потом

{ displaystyle 0

Таким образом, для час достаточно мало мы получаем

{ displaystyle { frac {f '(x + h)} {h}}> 0,}

что обозначает ${ displaystyle f '(x + h) <0}$ если ${ displaystyle h <0}$ (интуитивно понятно, ж уменьшается по мере приближения ${ displaystyle x}$ слева), и что ${ displaystyle f '(x + h)> 0}$ если ${ displaystyle h> 0}$ (интуитивно понятно, ж увеличивается, когда мы идем прямо от Икс). Теперь по тест первой производной, ${ displaystyle f}$ имеет местный минимум в ${ displaystyle x}$ .

Тест на вогнутость

Связанное, но отличное использование вторых производных заключается в том, чтобы определить, является ли функция вогнуться или же вогнуться в момент. Однако он не предоставляет информацию о точки перегиба. В частности, дважды дифференцируемая функция ж вогнутая, если ${ displaystyle f '' (х)> 0}$ и вогнуться, если ${ displaystyle f '' (х) <0}$ . Обратите внимание, что если ${ Displaystyle е (х) = х ^ {4}}$ , тогда ${ displaystyle x = 0}$ имеет нулевую вторую производную, но не является точкой перегиба, поэтому одна вторая производная не дает достаточно информации, чтобы определить, является ли данная точка точкой перегиба.

Тест производной высшего порядка

В тест производной высшего порядка или же общий производный тест может определить, являются ли критические точки функции максимумами, минимумами или точками перегиба для более широкого круга функций, чем тест производной второго порядка. Как показано ниже, тест второй производной математически идентичен частному случаю п = 1 в тесте производной высшего порядка.

Позволять ж быть вещественным, достаточно дифференцируемая функция на интервале ${ Displaystyle I подмножество mathbb {R}}$ , позволять ${ displaystyle c in I}$ , и разреши ${ Displaystyle п geq 1}$ быть натуральное число. Также пусть все производные от ж в c быть от нуля до п-я производная, но с (п + 1) -я производная отлична от нуля:

{ displaystyle f '(c) = cdots = f ^ {(n)} (c) = 0 quad { text {and}} quad f ^ {(n + 1)} (c) neq 0 .}

Есть четыре возможности, первые два случая, когда c - экстремум, вторые два, где c является (локальной) седловой точкой:

Если п является странный и ${ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с) <0}$ , тогда c это локальный максимум.
Если п это странно и ${ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с)> 0}$ , тогда c это местный минимум.
Если п является четное и ${ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с) <0}$ , тогда c является строго убывающей точкой перегиба.
Если п даже и ${ displaystyle f ^ {(n + 1)} (с)> 0}$ , тогда c является строго возрастающей точкой перегиба.

С п должен быть четным или нечетным, этот аналитический тест классифицирует любую стационарную точку ж, если в конце концов появится ненулевая производная.

Пример

Скажем, мы хотим выполнить общую проверку производной функции ${ Displaystyle е (х) = х ^ {6} +5}$ в момент ${ displaystyle x = 0}$ . Для этого мы вычисляем производные функции, а затем оцениваем их в интересующей точке, пока результат не станет отличным от нуля.

{ displaystyle f '(x) = 6x ^ {5}}

,

{ displaystyle f '(0) = 0;}

{ displaystyle f '' (x) = 30x ^ {4}}

,

{ displaystyle f '' (0) = 0;}

{ Displaystyle f ^ {(3)} (х) = 120x ^ {3}}

,

{ Displaystyle f ^ {(3)} (0) = 0;}

{ displaystyle f ^ {(4)} (х) = 360x ^ {2}}

,

{ Displaystyle f ^ {(4)} (0) = 0;}

{ displaystyle f ^ {(5)} (x) = 720x}

,

{ displaystyle f ^ {(5)} (0) = 0;}

{ Displaystyle f ^ {(6)} (х) = 720}

,

{ displaystyle f ^ {(6)} (0) = 720.}

Как показано выше, в точке ${ displaystyle x = 0}$ , функция ${ displaystyle x ^ {6} +5}$ имеет все его производные в 0, равные 0, за исключением 6-й производной, которая положительна. Таким образом п = 5, и по тесту локальный минимум равен 0.

Многопараметрический случай

Для функции более чем одной переменной тест второй производной обобщается на тест, основанный на собственные значения функции Матрица Гессе в критической точке. В частности, если предположить, что все частные производные второго порядка от ж непрерывны на район критической точки Икс, то если собственные значения гессиана при Икс все положительны, тогда Икс это местный минимум. Если все собственные значения отрицательны, то Икс является локальным максимумом, и если некоторые из них положительны, а некоторые отрицательны, то точка является точка перевала. Если матрица Гессе единственное число, то проверка второй производной не дает результатов.

Смотрите также

Теорема Ферма (стационарные точки)
Максимумы и минимумы
Условия Каруша – Куна – Таккера.
Фазовая линия - практически идентичная диаграмма, используемая при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений
Граница гессенской
Оптимизация (математика)
Дифференцируемость
Выпуклая функция
Тест второй частной производной
Точка перевала
Точка перегиба
Стационарная точка

дальнейшее чтение

Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. стр.231–267. ISBN 0-07-010813-7.
Марсден, Джеррольд; Вайнштейн, Алан (1985). Исчисление I (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
Шокли, Джеймс Э. (1976). Краткое исчисление: с применением в социальных науках (2-е изд.). Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. С. 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (6-е изд.). Брукс Коул Сэнджэдж Обучение. ISBN 978-0-495-01166-8.
Уиллард, Стивен (1976). Исчисление и его приложения. Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. С. 103–145. ISBN 0-87150-203-8.