Тест второй частной производной - Википедия - Second partial derivative test

В математика, то тест второй частной производной это метод в многомерное исчисление используется для определения того, критическая точка функции - это местный минимум, максимум или точка перевала.

Тест

Гессиан аппроксимирует функцию в критической точке полиномом второй степени.

Функции двух переменных

Предположим, что ж(Икс, у) дифференцируемый реальная функция двух переменных, вторая частные производные существуют и есть непрерывный. В Матрица Гессе ЧАС из ж - матрица частных производных 2 × 2 от ж:

.

Определять D(Икс, у) быть детерминант

,

из ЧАС. Наконец, предположим, что (а, б) критическая точка ж (то есть, жИкс(а, б) = жу(а, б) = 0). Тогда второй тест частной производной утверждает следующее:[1]

  1. Если D(а, б) > 0 и жхх(а, б) > 0 тогда (а, б) это местный минимум ж.
  2. Если D(а, б) > 0 и жхх(а, б) < 0 тогда (а, б) это локальный максимум ж.
  3. Если D(а, б) < 0 тогда (а, б) это точка перевала из ж.
  4. Если D(а, б) = 0 тогда проверка второй производной неубедительна, и точка (а, б) может быть любой из минимальной, максимальной или седловой точки.

Иногда используются другие эквивалентные версии теста. Обратите внимание, что в случаях 1 и 2 требование, чтобы жхх жггжху2 положительный на (Икс, у) подразумевает, что жхх и жгг там такой же знак. Поэтому второе условие, что жхх быть больше (или меньше) нуля, может быть эквивалентно, что жгг или же trЧАС = жхх + жгг быть больше (или меньше) нуля в этой точке.

Функции многих переменных

Для функции ж трех или более переменных существует обобщение приведенного выше правила. В этом контексте, вместо того, чтобы исследовать определитель матрицы Гессе, нужно смотреть на собственные значения матрицы Гессе в критической точке. Следующий тест можно применить в любой критической точке. а для которого матрица Гессе обратимый:

  1. Если гессен положительно определенный (эквивалентно, имеет все собственные значения положительные) при а, тогда ж достигает местного минимума на а.
  2. Если гессиан отрицательно определен (то есть имеет все собственные значения отрицательные) при а, тогда ж достигает локального максимума на а.
  3. Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то а седловая точка для ж (и на самом деле это правда, даже если а является вырожденным).

В случаях, не перечисленных выше, тест не дает результатов.[2]

Для функций от трех и более переменных детерминант гессиана не дает достаточно информации для классификации критической точки, поскольку количество совместно достаточных условий второго порядка равно количеству переменных, а знаковое условие определителя гессиана является лишь одним из условий. Обратите внимание, что в случае одной переменной условие Гессе просто дает обычное тест второй производной.

В случае двух переменных и являются главными несовершеннолетние Гессен. Первые два перечисленных выше условия на знаки этих миноров являются условиями положительной или отрицательной определенности гессиана. В общем случае произвольного числа п переменных есть п подписать условия на п главные миноры матрицы Гессе, которые вместе эквивалентны положительной или отрицательной определенности гессиана (Критерий сильвестра ): для локального минимума все главные миноры должны быть положительными, в то время как для локального максимума миноры с нечетным числом строк и столбцов должны быть отрицательными, а миноры с четным числом строк и столбцов должны быть положительный. Видеть Матрица Гессе # Гессен с краями для обсуждения, которое обобщает эти правила на случай оптимизации с ограничениями по равенству.

Примеры

Критические точки
максимумы (красные) и седловые точки (синие).

Для поиска и классификации критических точек функции

,

мы сначала устанавливаем частные производные

и

равным нулю, и решите полученные уравнения одновременно, чтобы найти четыре критических точки

и .

Для классификации критических точек исследуем значение определителя D(Икс, у) гессиана ж в каждой из четырех критических точек. У нас есть

Теперь мы подключаем все найденные критические значения, чтобы пометить их; у нас есть

Таким образом, второй тест частной производной показывает, что ж(Икс, у) имеет седловые точки в (0, −1) и (1, −1) и имеет локальный максимум в поскольку . В оставшейся критической точке (0, 0) теста второй производной недостаточно, и нужно использовать тесты более высокого порядка или другие инструменты, чтобы определить поведение функции в этой точке. (На самом деле можно показать, что ж принимает как положительные, так и отрицательные значения в небольших окрестностях (0, 0), поэтому эта точка является седловой точкой ж.)

Примечания

  1. ^ Стюарт 2004, п. 803.
  2. ^ Курт Эндль / Вольфганг Лух: Анализ II. Аула-Верлаг 1972 г., 7-е издание 1989 г., ISBN  3-89104-455-0, стр. 248-258 (немецкий).

Рекомендации

внешняя ссылка