Тест второй частной производной - Википедия - Second partial derivative test

В математика, то тест второй частной производной это метод в многомерное исчисление используется для определения того, критическая точка функции - это местный минимум, максимум или точка перевала.

Тест

Гессиан аппроксимирует функцию в критической точке полиномом второй степени.

Функции двух переменных

Предположим, что $ж (Икс, у)$ дифференцируемый реальная функция двух переменных, вторая частные производные существуют и есть непрерывный. В Матрица Гессе $ЧАС$ из $ж$ - матрица частных производных 2 × 2 от $ж$ :

{ displaystyle H (x, y) = { begin {pmatrix} f_ {xx} (x, y) & f_ {xy} (x, y) f_ {yx} (x, y) & f_ {yy} ( х, у) end {pmatrix}}}

.

Определять $D (Икс, у)$ быть детерминант

{ displaystyle D (x, y) = det (H (x, y)) = f_ {xx} (x, y) f_ {yy} (x, y) - left (f_ {xy} (x, y) right) ^ {2}}

,

из $ЧАС$ . Наконец, предположим, что $(а, б)$ критическая точка $ж$ (то есть, $ж Икс (а, б) = ж у (а, б) =$ 0). Тогда второй тест частной производной утверждает следующее:^[1]

Если $D (а, б) > 0$ и $ж хх (а, б) > 0$ тогда $(а, б)$ это местный минимум $ж$ .
Если $D (а, б) > 0$ и $ж хх (а, б) < 0$ тогда $(а, б)$ это локальный максимум $ж$ .
Если $D (а, б) < 0$ тогда $(а, б)$ это точка перевала из $ж$ .
Если $D (а, б) = 0$ тогда проверка второй производной неубедительна, и точка $(а, б)$ может быть любой из минимальной, максимальной или седловой точки.

Иногда используются другие эквивалентные версии теста. Обратите внимание, что в случаях 1 и 2 требование, чтобы $ж хх ж гг - ж ху 2$ положительный на $(Икс, у)$ подразумевает, что $ж хх$ и $ж гг$ там такой же знак. Поэтому второе условие, что $ж хх$ быть больше (или меньше) нуля, может быть эквивалентно, что $ж гг$ или же $tr ЧАС = ж хх + ж гг$ быть больше (или меньше) нуля в этой точке.

Функции многих переменных

Для функции ж трех или более переменных существует обобщение приведенного выше правила. В этом контексте, вместо того, чтобы исследовать определитель матрицы Гессе, нужно смотреть на собственные значения матрицы Гессе в критической точке. Следующий тест можно применить в любой критической точке. а для которого матрица Гессе обратимый:

Если гессен положительно определенный (эквивалентно, имеет все собственные значения положительные) при а, тогда ж достигает местного минимума на а.
Если гессиан отрицательно определен (то есть имеет все собственные значения отрицательные) при а, тогда ж достигает локального максимума на а.
Если гессиан имеет как положительные, так и отрицательные собственные значения, то а седловая точка для ж (и на самом деле это правда, даже если а является вырожденным).

В случаях, не перечисленных выше, тест не дает результатов.^[2]

Для функций от трех и более переменных детерминант гессиана не дает достаточно информации для классификации критической точки, поскольку количество совместно достаточных условий второго порядка равно количеству переменных, а знаковое условие определителя гессиана является лишь одним из условий. Обратите внимание, что в случае одной переменной условие Гессе просто дает обычное тест второй производной.

В случае двух переменных ${ Displaystyle D (а, Ь)}$ и ${ displaystyle f_ {xx} (а, б)}$ являются главными несовершеннолетние Гессен. Первые два перечисленных выше условия на знаки этих миноров являются условиями положительной или отрицательной определенности гессиана. В общем случае произвольного числа п переменных есть п подписать условия на п главные миноры матрицы Гессе, которые вместе эквивалентны положительной или отрицательной определенности гессиана (Критерий сильвестра ): для локального минимума все главные миноры должны быть положительными, в то время как для локального максимума миноры с нечетным числом строк и столбцов должны быть отрицательными, а миноры с четным числом строк и столбцов должны быть положительный. Видеть Матрица Гессе # Гессен с краями для обсуждения, которое обобщает эти правила на случай оптимизации с ограничениями по равенству.

Примеры

Критические точки

{ Displaystyle е (х, у) = (х + у) (ху + ху ^ {2})}

максимумы (красные) и седловые точки (синие).

Для поиска и классификации критических точек функции

{ Displaystyle г = е (х, у) = (х + у) (ху + ху ^ {2})}

,

мы сначала устанавливаем частные производные

{ Displaystyle { frac { partial z} { partial x}} = y (2x + y) (y + 1)}

и

{ displaystyle { frac { partial z} { partial y}} = x left (3y ^ {2} + 2y (x + 1) + x right)}

равным нулю, и решите полученные уравнения одновременно, чтобы найти четыре критических точки

{ Displaystyle (0,0), (0, -1), (1, -1)}

и

{ displaystyle left ({ frac {3} {8}}, - { frac {3} {4}} right)}

.

Для классификации критических точек исследуем значение определителя D(Икс, у) гессиана ж в каждой из четырех критических точек. У нас есть

{ Displaystyle { begin {align} D (a, b) & = f_ {xx} (a, b) f_ {yy} (a, b) - left (f_ {xy} (a, b) right ) ^ {2} & = 2b (b + 1) cdot 2a (a + 3b + 1) - (2a + 2b + 4ab + 3b ^ {2}) ^ {2}. End {выравнивается}} }

Теперь мы подключаем все найденные критические значения, чтобы пометить их; у нас есть

{ Displaystyle D (0,0) = 0; ~~ D (0, -1) = - 1; ~~ D (1, -1) = - 1; ~~ D left ({ frac {3} {8}}, - { frac {3} {4}} right) = { frac {27} {128}}.}

Таким образом, второй тест частной производной показывает, что ж(Икс, у) имеет седловые точки в (0, −1) и (1, −1) и имеет локальный максимум в ${ displaystyle left ({ frac {3} {8}}, - { frac {3} {4}} right)}$ поскольку ${ displaystyle f_ {xx} = - { frac {3} {8}} <0}$ . В оставшейся критической точке (0, 0) теста второй производной недостаточно, и нужно использовать тесты более высокого порядка или другие инструменты, чтобы определить поведение функции в этой точке. (На самом деле можно показать, что ж принимает как положительные, так и отрицательные значения в небольших окрестностях (0, 0), поэтому эта точка является седловой точкой ж.)

Примечания

^ Стюарт 2004, п. 803.
^ Курт Эндль / Вольфганг Лух: Анализ II. Аула-Верлаг 1972 г., 7-е издание 1989 г., ISBN 3-89104-455-0, стр. 248-258 (немецкий).

внешняя ссылка

Относительные минимумы и максимумы - Онлайн-математические заметки Пола - Calc III Notes (Университет Ламара)
Вайсштейн, Эрик В. «Второй производный тест». MathWorld.

[1] Стюарт 2004, п. 803.

[2] Курт Эндль / Вольфганг Лух: Анализ II. Аула-Верлаг 1972 г., 7-е издание 1989 г., ISBN 3-89104-455-0, стр. 248-258 (немецкий).

[1]

[2]