Критерий Сильвестра - Википедия - Sylvesters criterion

В математике Критерий Сильвестра это необходимо и достаточно критерий для определения того, Эрмитова матрица является положительно определенный. Он назван в честь Джеймс Джозеф Сильвестр.

Критерий Сильвестра утверждает, что эрмитова матрица M положительно определен тогда и только тогда, когда все следующие матрицы имеют положительную детерминант:

левый верхний угол 1 на 1 M,
левый верхний угол 2 на 2 M,
левый верхний угол 3 на 3 M,
${ displaystyle {} quad vdots}$
M сам.

Другими словами, все ведущие основные несовершеннолетние должен быть положительным.

Аналогичная теорема верна для характеристики положительно-полуопределенный Эрмитовы матрицы, за исключением того, что уже недостаточно рассматривать только ведущий основные миноры: эрмитова матрица M положительно-полуопределённо тогда и только тогда, когда все основные несовершеннолетние из M неотрицательны.^[1]^[2]

Доказательство

Доказательство предназначено только для неособых Эрмитова матрица с коэффициентами в ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , поэтому только для неособый вещественно-симметричные матрицы.

Положительно определенная или полуопределенная матрица: Симметричная матрица А собственные значения которого положительны (λ > 0) называется положительно определенный, а когда собственные значения просто неотрицательны (λ ≥ 0), А как говорят положительно полуопределенный.

Теорема I: Вещественно-симметричная матрица А имеет неотрицательные собственные значения тогда и только тогда, когда А может быть учтено как А = B^ТB, а все собственные значения положительны тогда и только тогда, когда B неособое.^[3]

Доказательство:

Прямое значение: Если А ∈ р^п×п симметрично, то по спектральная теорема, существует ортогональная матрица п такой, что А = PDP^Т , куда D = диаг (λ₁, λ₂, . . . , λ_п) - вещественная диагональная матрица, элементы которой являются собственными значениями А и п таков, что его столбцы являются собственными векторами А. Если λ_я ≥ 0 для каждого я, тогда D^1/2 существует, поэтому А = PDP^Т = PD^1/2D^1/2п^Т = B^ТB за B = D^1/2п^Т, и λ_я > 0 для каждого я если и только если B неособое.

Обратное следствие:Наоборот, если А может быть учтено как А = B^ТB, то все собственные значения А неотрицательны, поскольку для любой собственной пары (λ, Икс):

{ displaystyle lambda = { frac {x ^ {T} Ax} {x ^ {T} x}} = { frac {x ^ {T} B ^ {T} Bx} {x ^ {T} x }} = { frac { | Bx | ^ {2}} { | x | ^ {2}}} geq 0.}

Теорема II (разложение Холецкого): Симметричная матрица А имеет положительные точки поворота тогда и только тогда, когда А можно однозначно разложить на множители как А = R^Тр, куда р - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами. Это известно как Разложение Холецкого из А, и р называется фактором Холецкого А.^[4]

Доказательство:

Прямое значение: Если А имеет положительные точки разворота (поэтому А обладает LU факторизация: А = L·U'), то он имеет LDU факторизация А = LDU = ЛПНП^Т в котором D = диаг (ты₁₁, ты₂₂, . . . , ты_nn) - диагональная матрица, содержащая стержни ты_ii > 0.

{ displaystyle { begin {align} mathbf {A} & = LU '= { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 ell _ {12} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots && vdots ell _ {1n} & ell _ {2n} & cdots & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} u_ {11} & u_ {12} & cdots & u_ {1n} 0 & u_ {22} & cdots & u_ {2n} vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & u_ {nn} end {bmatrix}} [8pt] & = LDU = { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 ell _ {12} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots && vdots ell _ {1n} & ell _ {2n} & cdots & 1 end {bmatrix} } { begin {bmatrix} u_ {11} & 0 & cdots & 0 0 & u_ {22} & cdots & 0 vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & u_ {nn} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 1 & u_ {12} / u_ {11} & cdots & u_ {1n} / u_ {11} 0 & 1 & cdots & u_ {2n} / u_ {22} vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & 1 end {bmatrix}} end {align}}}

По свойству уникальности LDU разложение, симметрия А дает: U = L^Т, как следствие А = LDU = ЛПНП^Т. Параметр р = D^1/2L^Т куда D^1/2 = диаг ( ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {u_ {11}}}, scriptstyle { sqrt {u_ {22}}}, ldots, scriptstyle { sqrt {u_ {11}}}}$ ) дает желаемую факторизацию, поскольку А = LD^1/2D^1/2L^Т = р^Тр, и р является верхнетреугольным с положительными диагональными элементами.

Обратное следствие: Наоборот, если А = RR^Т, куда р является нижним треугольником с положительной диагональю, то вынесение диагональных элементов из р как следует:

{ displaystyle mathbf {R} = LD = { begin {bmatrix} 1 & 0 & cdots & 0 r_ {12} / r_ {11} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots && vdots r_ { 1n} / r_ {11} & r_ {2n} / r_ {22} & cdots & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} r_ {11} & 0 & cdots & 0 0 & r_ {22} & cdots & 0 vdots & vdots && vdots 0 & 0 & cdots & r_ {nn} end {bmatrix}}.}

р = LD, куда L - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю и D - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются р_ii S. Следовательно D имеет положительную диагональ и, следовательно, D неособен. Следовательно D² - невырожденная диагональная матрица. Также, L^Т - верхнетреугольная матрица с единичной диагональю. Как следствие, А = LD²L^Т это LDU факторизация для А, и, следовательно, точки поворота должны быть положительными, поскольку они являются диагональными элементами вD².

Уникальность разложения Холецкого: Если у нас есть еще одно разложение Холецкого А = р₁р₁^Т из А, куда р₁ является нижним треугольником с положительной диагональю, то аналогично предыдущему мы можем написать р₁ = L₁D₁, куда L₁ - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю и D₁ диагональная матрица, диагональные элементы которой совпадают с соответствующими диагональными элементами матрицы р₁. Как следствие, А = L₁D₁²L₁^Т является LDU факторизация для А. Уникальностью LDU факторизация А, у нас есть L₁ = L и D₁² = D². Как оба D₁ и D - диагональные матрицы с положительными диагональными элементами, имеем D₁ = D. Следовательно р₁ = L₁D₁ = LD = р. Следовательно А имеет уникальное разложение Холецкого.

Теорема III. Позволять А_k быть k × k ведущая главная подматрица А_п×п. Если А имеет LU факторизация А = LU, куда L - нижнетреугольная матрица с единичной диагональю, то det (А_k) = ты₁₁ты₂₂ · · · ты_кк, а k-й стержень ты_кк = det (А₁) = а₁₁ за k = 1, ты_кк = det (А_k) / det (А_k−1) за k = 2, 3, . . . , п, куда ты_кк это (k, k) -я запись U для всех k = 1, 2, . . . , п.^[5]

Объединение Теорема II. с Теорема III. дает:

Заявление I: Если симметричная матрица А может быть учтено как А = R^Тр где R - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами, то все стержни А положительные (по Теорема II.), поэтому все ведущие главные миноры А положительные (по Теорема III.).

Положение II: Если неособое п × п симметричная матрица А может быть учтено как ${ displaystyle A = B ^ {T} B}$ , то QR-разложение (тесно связанный с Процесс Грама-Шмидта ) из B (B = QR) дает: ${ Displaystyle A = B ^ {T} B = R ^ {T} Q ^ {T} QR = R ^ {T} R}$ , куда Q является ортогональная матрица и р верхний треугольная матрица.

В качестве А неособен и ${ displaystyle A = R ^ {T} R}$ , следует, что все диагональные элементы р не равны нулю. Позволять р_jj быть (j, j) -я запись E для всех j = 1, 2, . . . , п. потом р_jj ≠ 0 для всех j = 1, 2, . . . , п.

Позволять F - диагональная матрица, и пусть ж_jj быть (j, j) -я запись F для всех j = 1, 2, . . . , п. Для всех j = 1, 2, . . . , п, мы установили ж_jj = 1, если р_jj > 0, и положим ж_jj = -1, если р_jj <0. Тогда ${ displaystyle F ^ {T} F = I_ {n}}$ , то п × п единичная матрица.

Позволять S=FR. потом S является верхнетреугольной матрицей, все диагональные элементы которой положительны. Следовательно, мы имеем ${ Displaystyle A = R ^ {T} R = R ^ {T} F ^ {T} FR = S ^ {T} S}$ , для некоторой верхнетреугольной матрицы S все диагональные записи положительны.

А именно Заявление II требует невырожденности симметричной матрицы А.

Объединение Теорема I. с Заявление I и Заявление II дает:

Положение III: Если вещественно-симметричная матрица А положительно определен, тогда А обладать факторизацией формы А = B^ТB, куда B неособое (Теорема I.), выражение А = B^ТB подразумевает, что А обладать факторизацией формы А = р^Тр куда р - верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами (Заявление II), поэтому все ведущие главные миноры А положительные (Заявление I).

Другими словами, Заявление III доказывает, что часть "только если" Критерий Сильвестра для неособых вещественно-симметричных матриц.

Критерий Сильвестра: Действительно-симметричная матрица А положительно определен тогда и только тогда, когда все ведущие главные миноры А положительные.

Примечания

^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 7.6 Положительно определенные матрицы, стр. 566
^ Пруссинг, Джон Э. (1986), "Главный минорный тест для полуопределенных матриц" (PDF), Журнал наведения, управления и динамики, 9 (1): 121–122, архивировано с оригинал (PDF) на 2017-01-07, получено 2017-09-28
^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 7.6 Положительно определенные матрицы, стр. 558
^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 3.10 Факторизация LU, Пример 3.10.7, стр.154
^ Карл Д. Мейер, Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. См. Раздел 6.1 Детерминанты, Упражнение 6.1.16, стр. 474

Критерий Сильвестра - Википедия - Sylvesters criterion

Доказательство

Примечания

Рекомендации