Неравенство Дженсенса - Википедия - Jensens inequality

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Неравенство Дженсена»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Октябрь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Неравенство Дженсена обобщает утверждение о том, что секущая выпуклой функции лежит над графиком.

Воспроизвести медиа

Визуализация выпуклости и неравенства Дженсена

В математика, Неравенство Дженсена, названный в честь датского математика Йохан Йенсен, связывает значение выпуклая функция из интеграл интегралу от выпуклой функции. Это было доказано Дженсеном в 1906 году.^[1] Учитывая его общность, неравенство проявляется во многих формах в зависимости от контекста, некоторые из которых представлены ниже. В своей простейшей форме неравенство утверждает, что выпуклое преобразование среднего меньше или равно среднему значению, примененному после выпуклого преобразования; это простое следствие, что обратное верно для вогнутых преобразований.

Неравенство Дженсена обобщает утверждение, что секущая линия выпуклой функции лежит над график функции, который является неравенством Йенсена для двух точек: секущая состоит из взвешенных средних значений выпуклой функции (для т ∈ [0,1]),

${ Displaystyle tf (x_ {1}) + (1-t) f (x_ {2}),}$

в то время как график функции является выпуклой функцией взвешенных средних,

${ displaystyle f left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} right).}$

Таким образом, неравенство Дженсена

${ displaystyle f left (tx_ {1} + (1-t) x_ {2} right) leq tf (x_ {1}) + (1-t) f (x_ {2}).}$

В контексте теория вероятности, обычно это формулируется в следующей форме: если Икс это случайная переменная и φ - выпуклая функция, то

${ displaystyle varphi left ( operatorname {E} [X] right) leq operatorname {E} left [ varphi (X) right].}$

Разница между двумя сторонами неравенства, ${ Displaystyle OperatorName {E} left [ varphi (X) right] - varphi left ( operatorname {E} [X] right)}$, называется Дженсен Гэп.^[2]

Заявления

Классическая форма неравенства Дженсена включает несколько чисел и весов. Неравенство может быть сформулировано в самом общем виде, используя любой язык теория меры или (что эквивалентно) вероятность. В вероятностной постановке неравенство можно обобщить на полную силу.

Конечная форма

Для настоящего выпуклая функция ${ displaystyle varphi}$, числа ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ в своей области, а положительные веса ${ displaystyle a_ {i}}$, Неравенство Дженсена можно сформулировать как:

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum a_ {i} x_ {i}} { sum a_ {i}}} right) leq { frac { sum a_ {i} varphi ( x_ {i})} { sum a_ {i}}} qquad qquad (1)}$

и неравенство отменяется, если ${ displaystyle varphi}$ является вогнутый, который

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum a_ {i} x_ {i}} { sum a_ {i}}} right) geq { frac { sum a_ {i} varphi ( x_ {i})} { sum a_ {i}}}. qquad qquad (2)}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = cdots = x_ {n}}$ или же ${ displaystyle varphi}$ линейна в области, содержащей ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n}}$.

Как частный случай, если веса ${ displaystyle a_ {i}}$ все равны, то (1) и (2) становятся

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum x_ {i}} {n}} right) leq { frac { sum varphi (x_ {i})} {n}} qquad qquad (3)}$

${ displaystyle varphi left ({ frac { sum x_ {i}} {n}} right) geq { frac { sum varphi (x_ {i})} {n}} qquad qquad (4)}$

Например, функция бревно(Икс) является вогнутый, поэтому подставив ${ Displaystyle varphi (х) = журнал (х)}$ в предыдущей формуле (4) устанавливает (логарифм) знакомого неравенство среднего арифметического / среднего геометрического:

${ displaystyle log ! left ({ frac { sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} {n}} right) geq { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} log ! Left (x_ {i} right)} {n}} quad { text {или}} quad { frac {x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n}} {n}} geq { sqrt [{n}] {x_ {1} cdot x_ {2} cdots x_ {n}}}}$

Обычное приложение имеет ${ displaystyle x}$ как функция другой переменной (или набора переменных) ${ displaystyle t}$, то есть, ${ Displaystyle х_ {я} = г (т_ {я})}$. Все это прямо переносится на общий непрерывный случай: веса а_я заменяются неотрицательной интегрируемой функцией  ж (Икс), например, распределение вероятностей, а суммы заменяются интегралами.

Теоретико-мерная и вероятностная форма

Позволять ${ displaystyle ( Omega, A, mu)}$ быть вероятностное пространство, так что ${ Displaystyle му ( Омега) = 1}$. Если ${ displaystyle g}$ это настоящий -значная функция, которая ${ displaystyle mu}$-интегрируемый, и если ${ displaystyle varphi}$ это выпуклая функция на реальной линии, тогда:

${ displaystyle varphi left ( int _ { Omega} g , d mu right) leq int _ { Omega} varphi circ g , d mu.}$

В реальном анализе нам может потребоваться оценка

${ displaystyle varphi left ( int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right),}$

куда ${ displaystyle a, b in mathbb {R}}$, и ${ displaystyle f двоеточие [a, b] to mathbb {R}}$ неотрицательный Лебег-интегрируемый функция. В этом случае мера Лебега ${ Displaystyle [а, б]}$ не должно быть единства. Однако путем интегрирования с заменой интервал можно масштабировать так, чтобы он имел единицу измерения. Тогда неравенство Дженсена можно применить, чтобы получить^[3]

${ displaystyle varphi left ({ frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right) leq { frac {1} {ba}} int _ {a} ^ {b} varphi (f (x)) , dx.}$

Тот же результат может быть эквивалентно сформулирован в теория вероятности настройка, просто изменив обозначения. Позволять ${ displaystyle ( Omega, { mathfrak {F}}, operatorname {P})}$ быть вероятностное пространство, Икс ан интегрируемый ценный случайная переменная и φ а выпуклая функция. Потом:

${ displaystyle varphi left ( operatorname {E} [X] right) leq operatorname {E} left [ varphi (X) right].}$

В этой настройке вероятности мера μ предназначен как вероятность ${ displaystyle operatorname {P}}$, интеграл по μ как ожидаемое значение ${ displaystyle operatorname {E}}$, а функция ${ displaystyle g}$ как случайная переменная Икс.

Отметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда φ является линейной функцией на некотором множестве ${ displaystyle A}$ такой, что ${ Displaystyle mathrm {P} (Х в А) = 1}$ (что следует из приведенного ниже доказательства теории меры).

Общее неравенство в вероятностной постановке

В общем, пусть Т быть настоящим топологическое векторное пространство, и Икс а Т-ценный интегрируемый случайная переменная. В этой общей настройке интегрируемый означает, что существует элемент ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ в Т, такое, что для любого элемента z в двойное пространство из Т: ${ displaystyle operatorname {E} | langle z, X rangle | < infty}$, и ${ displaystyle langle z, operatorname {E} [X] rangle = operatorname {E} [ langle z, X rangle]}$. Тогда для любой измеримой выпуклой функции φ и любые суб-σ-алгебра ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ из ${ Displaystyle { mathfrak {F}}}$:

${ displaystyle varphi left ( operatorname {E} left [X mid { mathfrak {G}} right] right) leq operatorname {E} left [ varphi (X) mid { mathfrak {G}} right].}$

Здесь ${ displaystyle operatorname {E} [ cdot mid { mathfrak {G}}]}$ стоит за ожидание обусловлено к σ-алгебре ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$. Это общее утверждение сводится к предыдущим, когда топологическое векторное пространство Т это реальная ось, и ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ это тривиальный σ-алгебра {∅, Ω} (куда ∅ это пустой набор, и Ω это пространство образца ).^[4]

Заостренная и обобщенная форма

Позволять Икс - одномерная случайная величина со средним ${ displaystyle mu}$ и дисперсия ${ displaystyle sigma ^ {2} geq 0}$. Позволять ${ Displaystyle varphi (х)}$ - дважды дифференцируемая функция, и определим функцию

${ Displaystyle час (х) треугольникq { гидроразрыва { varphi left (x right) - varphi left ( mu right)} { left (x- mu right) ^ {2}} } - { frac { varphi ' left ( mu right)} {x- mu}}.}$

потом^[5]

${ Displaystyle sigma ^ {2} inf { frac { varphi '' '(x)} {2}} leq sigma ^ {2} inf h (x) leq E left [ varphi left (X right) right] - varphi left (E [X] right) leq sigma ^ {2} sup h (x) leq sigma ^ {2} sup { frac { varphi '' (x)} {2}}.}$

В частности, когда ${ Displaystyle varphi (х)}$ выпукло, то ${ Displaystyle varphi '' (х) geq 0}$, а стандартная форма неравенства Йенсена сразу следует для случая, когда ${ Displaystyle varphi (х)}$ дополнительно предполагается дважды дифференцируемой.

Доказательства

Графическое «доказательство» неравенства Йенсена для вероятностного случая. Пунктирная кривая вдоль Икс ось - гипотетическое распределение Икс, а штриховая кривая вдоль Y ось - соответствующее распределение Y значения. Отметим, что выпуклое отображение Y(Икс) все больше «растягивает» распределение для увеличения значений Икс.

Это без слов доказательство неравенства Дженсена для п переменные. Без ограничения общности сумма положительных весов равна 1. Отсюда следует, что взвешенная точка лежит в выпуклой оболочке исходных точек, лежащей над самой функцией по определению выпуклости. Напрашивается вывод.^[6]

Неравенство Дженсена может быть доказано несколькими способами, и будут предложены три разных доказательства, соответствующих различным утверждениям выше. Однако прежде чем приступить к этим математическим выводам, стоит проанализировать интуитивно понятный графический аргумент, основанный на вероятностном случае, когда Икс является действительным числом (см. рисунок). Предполагая гипотетическое распределение Икс значения, можно сразу определить положение ${ displaystyle operatorname {E} [X]}$ и его образ ${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X])}$ в графике. Замечая, что для выпуклых отображений Y = φ(Икс) соответствующее распределение Y values ​​все больше «растягивается» для увеличения значений Икс, легко видеть, что распределение Y шире в интервале, соответствующем Икс > Икс₀ и уже в Икс < Икс₀ для любого Икс₀; в частности, это верно и для ${ displaystyle X_ {0} = operatorname {E} [X]}$. Следовательно, на этой картинке ожидание Y всегда будет смещаться вверх относительно положения ${ Displaystyle varphi ( OperatorName {E} [X])}$. Аналогичное рассуждение справедливо, если распределение Икс покрывает убывающую часть выпуклой функции или как убывающую, так и возрастающую ее части. Это «доказывает» неравенство, т.е.

${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X]) leq operatorname {E} [ varphi (X)] = operatorname {E} [Y],}$

с равенством, когда φ(Икс) не является строго выпуклым, например когда это прямая линия, или когда Икс следует за вырожденное распределение (т.е. является константой).

Приведенные ниже доказательства формализуют это интуитивное понятие.

Доказательство 1 (конечная форма)

Если λ₁ и λ₂ - два произвольных неотрицательных действительных числа такие, что λ₁ + λ₂ = 1 то выпуклость φ подразумевает

${ displaystyle forall x_ {1}, x_ {2}: qquad varphi left ( lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} right) leq lambda _ {1} , varphi (x_ {1}) + lambda _ {2} , varphi (x_ {2}).}$

Это легко обобщить: если λ₁, ..., λ_п неотрицательные действительные числа такие, что λ₁ + ... + λ_п = 1, тогда

${ displaystyle varphi ( lambda _ {1} x_ {1} + lambda _ {2} x_ {2} + cdots + lambda _ {n} x_ {n}) leq lambda _ {1} , varphi (x_ {1}) + lambda _ {2} , varphi (x_ {2}) + cdots + lambda _ {n} , varphi (x_ {n}),}$

для любого Икс₁, ..., Икс_п. Этот конечная форма неравенства Йенсена можно доказать с помощью индукция: по предположению выпуклости утверждение верно для п = 2. Предположим, что это верно и для некоторых п, нужно доказать это для п + 1. По крайней мере, один из λ_я строго положительно, скажем λ₁; поэтому по неравенству выпуклости:

${ displaystyle { begin {align} varphi left ( sum _ {i = 1} ^ {n + 1} lambda _ {i} x_ {i} right) & = varphi left ( lambda _ {1} x_ {1} + (1- lambda _ {1}) sum _ {i = 2} ^ {n + 1} { frac { lambda _ {i}} {1- lambda _ {1}}} x_ {i} right) & leq lambda _ {1} , varphi (x_ {1}) + (1- lambda _ {1}) varphi left ( sum _ {i = 2} ^ {n + 1} { frac { lambda _ {i}} {1- lambda _ {1}}} x_ {i} right). end {выравнивается}}}$

С

${ displaystyle sum _ {я = 2} ^ {n + 1} { frac { lambda _ {i}} {1- lambda _ {1}}} = 1,}$

можно применить предположения индукции к последнему члену в предыдущей формуле, чтобы получить результат, а именно конечную форму неравенства Йенсена.

Чтобы получить общее неравенство из этой конечной формы, необходимо использовать аргумент плотности. Конечная форма может быть переписана как:

${ displaystyle varphi left ( int x , d mu _ {n} (x) right) leq int varphi (x) , d mu _ {n} (x),}$

куда μ_п мера, заданная произвольным выпуклое сочетание из Дельты Дирака:

${ displaystyle mu _ {n} = sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} delta _ {x_ {i}}.}$

Поскольку выпуклые функции непрерывный, а так как выпуклые комбинации дельт Дирака равны слабо плотный в наборе вероятностных мер (что легко проверить) общее утверждение получается простой процедурой ограничения.

Доказательство 2 (теоретико-мерная форма)

Позволять грамм - вещественнозначная μ-интегрируемая функция на вероятностном пространстве Ω, и пусть φ - выпуклая функция от действительных чисел. С φ выпукло, на каждое действительное число Икс у нас есть непустой набор субпроизводные, которые можно представить как линии, касающиеся графика φ в Икс, но которые находятся на графике или ниже графика φ во всех точках (опорные линии графика).

Теперь, если мы определим

${ displaystyle x_ {0}: = int _ { Omega} g , d mu,}$

из-за существования субпроизводных для выпуклых функций мы можем выбрать а и б такой, что

${ Displaystyle топор + б leq varphi (х),}$

для всех реальных Икс и

${ displaystyle ax_ {0} + b = varphi (x_ {0}).}$

Но тогда у нас есть это

${ Displaystyle varphi circ g (x) geq ag (x) + b}$

для всех Икс. Поскольку у нас есть вероятностная мера, интеграл монотонен с μ(Ω) = 1 так что

${ Displaystyle int _ { Omega} varphi circ g , d mu geq int _ { Omega} (ag + b) , d mu = a int _ { Omega} g , d mu + b int _ { Omega} d mu = ax_ {0} + b = varphi (x_ {0}) = varphi left ( int _ { Omega} g , d mu right),}$

по желанию.

Доказательство 3 (общее неравенство в вероятностной постановке)

Позволять Икс быть интегрируемой случайной величиной, которая принимает значения в реальном топологическом векторном пространстве Т. С ${ displaystyle varphi: T to mathbb {R}}$ выпукло, для любого ${ displaystyle x, y in T}$, количество

${ displaystyle { frac { varphi (x + theta , y) - varphi (x)} { theta}},}$

убывает как θ приближается к 0⁺. В частности, субдифференциальный из ${ displaystyle varphi}$ оценивается в Икс в направлении у хорошо определяется

${ Displaystyle (D varphi) (x) cdot y: = lim _ { theta downarrow 0} { frac { varphi (x + theta , y) - varphi (x)} { theta }} = inf _ { theta neq 0} { frac { varphi (x + theta , y) - varphi (x)} { theta}}.}$

Легко видеть, что субдифференциал линейен по у^{[нужна цитата ]} (это неверно, и утверждение требует доказательства теоремы Хана-Банаха) и, поскольку нижняя грань, взятая в правой части предыдущей формулы, меньше, чем значение того же члена для θ = 1, получается

${ displaystyle varphi (x) leq varphi (x + y) - (D varphi) (x) cdot y.}$

В частности, для произвольной суб-σ-алгебра ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ мы можем оценить последнее неравенство, когда ${ displaystyle x = operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}], , y = X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]}$ чтобы получить

${ displaystyle varphi ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]) leq varphi (X) - (D varphi) ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]) cdot (X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]).}$

Теперь, если мы возьмем ожидание, обусловленное ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ по обе стороны от предыдущего выражения, мы получаем результат, так как:

${ displaystyle operatorname {E} left [ left [(D varphi) ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]]) cdot (X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}]) right] mid { mathfrak {G}} right] = (D varphi) ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}] ) cdot operatorname {E} [ left (X- operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}] right) mid { mathfrak {G}}] = 0,}$

по линейности субдифференциала по у переменной, и следующее известное свойство условное ожидание:

${ displaystyle operatorname {E} left [ left ( operatorname {E} [X mid { mathfrak {G}}] right) mid { mathfrak {G}} right] = operatorname { E} [X mid { mathfrak {G}}].}$

Приложения и особые случаи

Форма с функцией плотности вероятности

Предполагать Ω является измеримым подмножеством действительной прямой и ж(Икс) - неотрицательная функция такая, что

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = 1.}$

На вероятностном языке ж это функция плотности вероятности.

Тогда неравенство Йенсена превращается в следующее утверждение о выпуклых интегралах:

Если грамм - любая измеримая вещественнозначная функция и ${ textstyle varphi}$ выпукла в диапазоне грамм, тогда

${ displaystyle varphi left ( int _ {- infty} ^ { infty} g (x) f (x) , dx right) leq int _ {- infty} ^ { infty} varphi (g (x)) f (x) , dx.}$

Если грамм(Икс) = Икс, то эта форма неравенства сводится к обычно используемому частному случаю:

${ displaystyle varphi left ( int _ {- infty} ^ { infty} x , f (x) , dx right) leq int _ {- infty} ^ { infty} varphi (x) , f (x) , dx.}$

Это применяется в Вариационные байесовские методы.

Пример: даже моменты случайной величины

Если грамм(Икс) = Икс²ⁿ, и Икс случайная величина, то грамм выпукла как

${ displaystyle { frac {d ^ {2} g} {dx ^ {2}}} (x) = 2n (2n-1) x ^ {2n-2} geq 0 quad forall x in mathbb {R}}$

и так

${ displaystyle g ( operatorname {E} [X]) = ( operatorname {E} [X]) ^ {2n} leq operatorname {E} [X ^ {2n}].}$

В частности, если какой-то четный момент 2n из Икс конечно, Икс имеет конечное среднее. Расширение этого аргумента показывает Икс имеет конечные моменты каждого порядка ${ displaystyle l in mathbb {N}}$ разделение п.

Альтернативная конечная форма

Позволять Ω = {Икс₁, ... Икс_п}, и возьми μ быть счетная мера на Ω, то общая форма сводится к утверждению о суммах:

${ displaystyle varphi left ( sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i}) lambda _ {i} right) leq sum _ {i = 1} ^ {n} varphi (g (x_ {i})) lambda _ {i},}$

при условии, что λ_я ≥ 0 и

${ displaystyle lambda _ {1} + cdots + lambda _ {n} = 1.}$

Также существует бесконечная дискретная форма.

Статистическая физика

Неравенство Йенсена имеет особое значение в статистической физике, когда выпуклая функция является экспоненциальной, что дает:

${ Displaystyle е ^ { OperatorName {E} [X]} leq Operatorname {E} left [e ^ {X} right],}$

где ожидаемые значения относятся к некоторым распределение вероятностей в случайная переменная Икс.

Доказательство в этом случае очень простое (см. Чандлер, раздел 5.5). Желаемое неравенство следует непосредственно, записывая

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {X} right] = e ^ { operatorname {E} [X]} operatorname {E} left [e ^ {X- operatorname {E} [X]} right]}$

а затем применяя неравенство е^Икс ≥ 1 + Икс до последней экспоненты.

Теория информации

Если п(Икс) истинная плотность вероятности для Икс, и q(Икс) - другая плотность, тогда применяя неравенство Дженсена для случайной величины Y(Икс) = q(Икс)/п(Икс) и выпуклая функция φ(у) = −log (у) дает

${ displaystyle operatorname {E} [ varphi (Y)] geq varphi ( operatorname {E} [Y])}$

Следовательно:

${ Displaystyle -D (п (х) | д (х)) = int р (х) журнал влево ({ гидроразрыва {д (х)} {р (х)}} справа) , dx leq log left ( int p (x) { frac {q (x)} {p (x)}} , dx right) = log left ( int q (x) , dx right) = 0}$

результат называется Неравенство Гиббса.

Это показывает, что средняя длина сообщения минимизируется, когда коды назначаются на основе истинных вероятностей. п а не любой другой дистрибутив q. Неотрицательная величина называется Дивергенция Кульбака – Лейблера из q из п.

С −log (Икс) - строго выпуклая функция при Икс > 0, то равенство выполняется при п(Икс) равно q(Икс) почти всюду.

Теорема Рао – Блэквелла

Если L - выпуклая функция и ${ displaystyle { mathfrak {G}}}$ суб-сигма-алгебра, то из условной версии неравенства Дженсена получаем

${ Displaystyle L ( OperatorName {E} [ delta (X) mid { mathfrak {G}}]) leq operatorname {E} [L ( delta (X)) mid { mathfrak {G }}] quad Longrightarrow quad operatorname {E} [L ( operatorname {E} [ delta (X) mid { mathfrak {G}}])] leq operatorname {E} [L ( delta (X))].}$

Итак, если δ (Икс) это некоторые оценщик ненаблюдаемого параметра θ с учетом вектора наблюдаемых Икс; и если Т(Икс) это достаточная статистика для θ; затем улучшенная оценка в смысле меньшего ожидаемого убытка L, можно получить, вычислив

${ Displaystyle delta _ {1} (X) = OperatorName {E} _ { theta} [ delta (X ') mid T (X') = T (X)],}$

ожидаемое значение δ относительно θ, взятое по всем возможным векторам наблюдений Икс совместим с таким же значением Т(Икс) как то заметил. Кроме того, поскольку T - достаточная статистика, ${ displaystyle delta _ {1} (X)}$ не зависит от θ, следовательно, становится статистикой.

Этот результат известен как Теорема Рао – Блэквелла.

Смотрите также

• Неравенство Караматы для более общего неравенства
• Неравенство Поповичу
• Закон средних чисел
• Доказательство без слов неравенства Дженсена

Примечания

Рекомендации

• Дэвид Чендлер (1987). Введение в современную статистическую механику. Оксфорд. ISBN  0-19-504277-8.
• Тристан Нидхэм (1993) «Визуальное объяснение неравенства Дженсена», Американский математический ежемесячный журнал 100(8):768–71.
• Никола Фуско; Паоло Марчеллини; Карло Сбордоне (1996). Analisi Matematica Due. Лигуори. ISBN  978-88-207-2675-1.
• Вальтер Рудин (1987). Реальный и комплексный анализ. Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-054234-1.

внешняя ссылка

• Неравенство оператора Дженсена Хансена и Педерсена.
• «Неравенство Дженсена», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Дженсена». MathWorld.
• Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство». Электронная книга в формате PDF.