В финансовая математика , а мера риска отклонения функция для количественной оценки финансовый риск (и не обязательно риск убытков ) другим способом, нежели общий мера риска . Меры риска отклонения обобщают понятие стандартное отклонение .
Математическое определение
Функция D : L 2 → [ 0 , + ∞ ] { Displaystyle D: { mathcal {L}} ^ {2} to [0, + infty]} , куда L 2 { Displaystyle { mathcal {L}} ^ {2}} это L2 пространство из случайные переменные (случайный доходность портфеля ), является мерой риска отклонения, если
Сдвиг-инвариант: D ( Икс + р ) = D ( Икс ) { Displaystyle D (X + r) = D (X)} для любого р ∈ р { Displaystyle г в mathbb {R}} Нормализация: D ( 0 ) = 0 { Displaystyle D (0) = 0} Положительно однородный: D ( λ Икс ) = λ D ( Икс ) { Displaystyle D ( лямбда X) = лямбда D (X)} для любого Икс ∈ L 2 { displaystyle X in { mathcal {L}} ^ {2}} и λ > 0 { displaystyle lambda> 0} Сублинейность: D ( Икс + Y ) ≤ D ( Икс ) + D ( Y ) { Displaystyle D (X + Y) Leq D (X) + D (Y)} для любого Икс , Y ∈ L 2 { displaystyle X, Y in { mathcal {L}} ^ {2}} Позитивность: D ( Икс ) > 0 { displaystyle D (X)> 0} для всех непостоянных Икс , и D ( Икс ) = 0 { Displaystyle D (X) = 0} для любой постоянной Икс .[1] [2] Отношение к мере риска
Существует один к одному взаимосвязь между мерой риска отклонения D и ограниченное ожиданием мера риска р где для любого Икс ∈ L 2 { displaystyle X in { mathcal {L}} ^ {2}}
D ( Икс ) = р ( Икс − E [ Икс ] ) { Displaystyle D (X) = R (X- mathbb {E} [X])} р ( Икс ) = D ( Икс ) − E [ Икс ] { Displaystyle R (X) = D (X) - mathbb {E} [X]} .р ограничено ожидание, если р ( Икс ) > E [ − Икс ] { Displaystyle R (X)> mathbb {E} [-X]} для любого непостоянного Икс и р ( Икс ) = E [ − Икс ] { Displaystyle R (X) = mathbb {E} [-X]} для любой постоянной Икс .
Если D ( Икс ) < E [ Икс ] − е s s инф Икс { Displaystyle D (X) < mathbb {E} [X] - OperatorName {ess inf} X} для каждого Икс (куда е s s инф { displaystyle operatorname {ess inf}} это существенная нижняя грань ), то существует связь между D и согласованная мера риска .[1]
Примеры
Наиболее известные примеры мер по отклонению от риска:[1]
Стандартное отклонение σ ( Икс ) = E [ ( Икс − E Икс ) 2 ] { displaystyle sigma (X) = { sqrt {E [(X-EX) ^ {2}]}}} ;Среднее абсолютное отклонение M А D ( Икс ) = E ( | Икс − E Икс | ) { Displaystyle MAD (X) = E (| X-EX |)} ;Нижние и верхние полуотклонения σ − ( Икс ) = E [ ( Икс − E Икс ) − 2 ] { displaystyle sigma _ {-} (X) = { sqrt {{E [(X-EX) _ {-}} ^ {2}]}}} и σ + ( Икс ) = E [ ( Икс − E Икс ) + 2 ] { displaystyle sigma _ {+} (X) = { sqrt {{E [(X-EX) _ {+}} ^ {2}]}}} , куда [ Икс ] − := Максимум { 0 , − Икс } { displaystyle [X] _ {-}: = max {0, -X }} и [ Икс ] + := Максимум { 0 , Икс } { displaystyle [X] _ {+}: = max {0, X }} ; Отклонения на основе диапазона, например, D ( Икс ) = E Икс − инф Икс { Displaystyle D (X) = EX- inf X} и D ( Икс ) = Как дела Икс − инф Икс { Displaystyle D (X) = sup X- inf X} ; Условное отклонение от риска (CVaR), определенное для любого α ∈ ( 0 , 1 ) { Displaystyle альфа в (0,1)} к C V а р α Δ ( Икс ) ≡ E S α ( Икс − E Икс ) { displaystyle { rm {CVaR}} _ { alpha} ^ { Delta} (X) Equiv ES _ { alpha} (X-EX)} , куда E S α ( Икс ) { displaystyle ES _ { alpha} (X)} является Ожидаемый дефицит . Смотрите также
Рекомендации
^ а б c Рокафеллар, Тиррелл; Урясев, Станислав; Забаранкин, Михаил (2002). «Меры отклонения в анализе и оптимизации рисков». SSRN 365640 . ^ Ченг, Сивэй; Лю, Яньхуэй; Ван, Шоуян (2004). «Прогресс в измерении рисков». Расширенное моделирование и оптимизация . 6 (1).