Мера риска - Risk measure

В финансовая математика, а мера риска используется для определения количества актив или набор активов (традиционно валюта ) в резерв. Цель этого резерва - сделать риски взято финансовые институты, такие как банки и страховые компании, приемлемые для регулятор. В последние годы внимание переключилось на выпуклое и когерентное измерение риска.

Математически

Мера риска определяется как отображение набора случайных величин в действительные числа. Этот набор случайных величин представляет доходность портфеля. Общепринятое обозначение меры риска, связанной со случайной величиной ${ displaystyle X}$ является ${ Displaystyle rho (X)}$. Мера риска ${ Displaystyle rho: { mathcal {L}} to mathbb {R} чашка {+ infty }}$ должны иметь определенные свойства:^[1]

Нормализованный

${ Displaystyle rho (0) = 0}$

Переводчик

${ displaystyle mathrm {If} ; a in mathbb {R} ; mathrm {and} ; Z in { mathcal {L}}, ; mathrm {then} ; rho ( Z + a) = rho (Z) -a}$

Монотонный

${ displaystyle mathrm {If} ; Z_ {1}, Z_ {2} in { mathcal {L}} ; mathrm {and} ; Z_ {1} leq Z_ {2}, ; mathrm {затем} ; rho (Z_ {2}) leq rho (Z_ {1})}$

Установленная стоимость

В ситуации с ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$-оцененные портфели, при которых риск можно измерить в ${ displaystyle m leq d}$ активов, то набор портфелей является правильным способом изобразить риск. Установленные меры риска полезны для рынков с транзакционные издержки.^[2]

Математически

Многозначная мера риска - это функция ${ Displaystyle R: L_ {d} ^ {p} rightarrow mathbb {F} _ {M}}$, где ${ Displaystyle L_ {d} ^ {p}}$ это ${ displaystyle d}$-размерный Lp пространство, ${ Displaystyle mathbb {F} _ {M} = {D substeq M: D = cl (D + K_ {M}) }}$, и ${ displaystyle K_ {M} = K cap M}$ где ${ displaystyle K}$ это постоянная конус платежеспособности и ${ displaystyle M}$ это набор портфелей ${ displaystyle m}$ справочные активы. ${ displaystyle R}$ должны иметь следующие свойства:^[3]

Нормализованный

${ Displaystyle K_ {M} substeq R (0) ; mathrm {и} ; R (0) cap - mathrm {int} K_ {M} = emptyset}$

Переводчик на M

${ Displaystyle forall X in L_ {d} ^ {p}, forall u in M: R (X + u1) = R (X) -u}$

Монотонный

${ Displaystyle forall X_ {2} -X_ {1} in L_ {d} ^ {p} (K) Rightarrow R (X_ {2}) supseteq R (X_ {1})}$

Примеры

• Ценность под угрозой
• Ожидаемый дефицит
• Дополнительные меры риска^[4]
• Энтропийная ценность под угрозой
• Просадка
• Условное ожидание хвоста
• Мера энтропийного риска
• Цена суперхеджирования
• Expectile

Дисперсия

Дисперсия (или же среднеквадратичное отклонение ) является нет мера риска в указанном выше смысле. Это видно, поскольку у него нет ни свойства перевода, ни монотонности. Это, ${ displaystyle Var (X + a) = Var (X) neq Var (X) -a}$ для всех ${ Displaystyle а в mathbb {R}}$, и можно найти простой контрпример монотонности. Стандартное отклонение - это мера риска отклонения. Чтобы избежать путаницы, обратите внимание, что меры риска отклонения, такие как отклонение и среднеквадратичное отклонение иногда называют мерами риска в различных областях.

Отношение к приемочной совокупности

Существует один к одному переписка между комплект приемки и соответствующая мера риска. Как определено ниже, можно показать, что ${ Displaystyle R_ {A_ {R}} (X) = R (X)}$ и ${ displaystyle A_ {R_ {A}} = A}$.^[5]

Мера риска для приемочного набора

• Если ${ displaystyle rho}$ является (скалярной) мерой риска, то ${ Displaystyle A _ { rho} = {X in L ^ {p}: rho (X) Leq 0 }}$ это приемочный комплект.
• Если ${ displaystyle R}$ является многозначной мерой риска, то ${ Displaystyle A_ {R} = {X in L_ {d} ^ {p}: 0 in R (X) }}$ это приемочный комплект.

Принятие установлено для меры риска

• Если ${ displaystyle A}$ является набором приемки (в 1-d), то ${ displaystyle rho _ {A} (X) = inf {u in mathbb {R}: X + u1 in A }}$ определяет (скалярную) меру риска.
• Если ${ displaystyle A}$ это приемочный набор, тогда ${ Displaystyle R_ {A} (Х) = {и в М: Х + и1 в А }}$ является оценочной мерой риска.

Связь с мерой риска отклонения

Существует один к одному отношения между мера риска отклонения D и мера риска, ограниченная ожиданиями ${ displaystyle rho}$ где для любого ${ displaystyle X in { mathcal {L}} ^ {2}}$

• ${ Displaystyle D (X) = rho (X- mathbb {E} [X])}$
• ${ Displaystyle rho (X) = D (X) - mathbb {E} [X]}$.

${ displaystyle rho}$ называется ограниченным ожиданием, если оно удовлетворяет ${ Displaystyle rho (X)> mathbb {E} [-X]}$ для любого непостоянного Икс и ${ Displaystyle rho (X) = mathbb {E} [-X]}$ для любой постоянной Икс.^[6]

Смотрите также

• Согласованная мера риска
• Мера динамического риска
• Учет управленческих рисков
• Управление рисками
• Метрика риска - абстрактное понятие, которое количественно оценивает мера риска
• RiskMetrics - модель управления рисками
• Мера спектрального риска
• Мера риска искажения
• Ценность под угрозой
• Условная стоимость, подверженная риску
• Энтропийная ценность под угрозой
• Коэффициент доходности риска

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кроухи, Мишель; Д. Галаи; Р. Марк (2001). Управление рисками. Макгроу-Хилл. С. 752 стр. ISBN  978-0-07-135731-9.
• Кевин, Дауд (2005). Измерение рыночного риска (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. С. 410 стр. ISBN  978-0-470-01303-8.

• Foellmer, Ганс; Щед, Александр (2004). Стохастические финансы. Серия де Грюйтера по математике. 27. Берлин: Вальтер де Грюйтер. С. xi + 459. ISBN  978-311-0183467. Г-Н  2169807.
• Шапиро, Александр; Дентчева, Даринка; Рущинский, Анджей (2009). Лекции по стохастическому программированию. Моделирование и теория. Серия MPS / SIAM по оптимизации. 9. Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. С. xvi + 436. ISBN  978-0898716870. Г-Н  2562798.