Конус платежеспособности - Solvency cone

эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Декабрь 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В конус платежеспособности это концепция, используемая в финансовая математика который моделирует возможные сделки в финансовый рынок. Это представляет особый интерес для рынков с транзакционные издержки. В частности, это выпуклый конус портфелей, которые можно обменять на портфели с неотрицательными компонентами (включая оплату любых транзакционных издержек).

Математическая основа

Если дать матрица спроса и предложения ${ displaystyle Pi}$ для ${ displaystyle d}$ активы такие, что ${ Displaystyle Pi = влево ( pi ^ {ij} right) _ {1 Leq я, j Leq d}}$ и ${ displaystyle m leq d}$ - количество активов, от которых при любом их неотрицательном количестве можно "отказаться" (традиционно ${ displaystyle m = d}$), то конус платежеспособности ${ Displaystyle К ( Пи) подмножество mathbb {R} ^ {d}}$ выпуклый конус, натянутый на единичные векторы ${ Displaystyle е ^ {я}, 1 leq я leq м}$ и векторы ${ displaystyle pi ^ {ij} e ^ {i} -e ^ {j}, 1 leq i, j leq d}$.^[1]

Определение

Конус платежеспособности ${ displaystyle K}$ - любой замкнутый выпуклый конус такой, что ${ Displaystyle К substeq mathbb {R} ^ {d}}$ и ${ Displaystyle К supseteq mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$.^[2]

Использует

Процесс (случайных) конусов платежеспособности ${ displaystyle left {K_ {t} ( omega) right } _ {t = 0} ^ {T}}$ модель финансового рынка. Иногда это называют рыночный процесс.

Минусом конуса платежеспособности является набор портфелей, которые можно получить, начиная с нулевого портфеля. Это тесно связано с портфели самофинансирования.^{[нужна цитата ]}

В двойной конус конуса платежеспособности (${ displaystyle K ^ {+} = left {w in mathbb {R} ^ {d}: forall v in K: 0 leq w ^ {T} v right }}$) представляют собой набор цен, который определил бы систему ценообразования без трений для активов, соответствующую рынку. Это также называется последовательная система ценообразования.^[1][3]

Примеры

Пример конуса платежеспособности без транзакционных издержек

Пример конуса платежеспособности с транзакционными издержками

Предположим, имеется 2 актива, A и M, с возможностью обмена 1: 1.

Рынок без трения

В рынок без трения, мы, очевидно, можем превратить (1A, -1M) и (-1A, 1M) в неотрицательные портфели, поэтому ${ Displaystyle К = {х in mathbb {R} ^ {2} :( 1,1) х geq 0 }}$. Обратите внимание, что (1,1) - это «вектор цен».

С транзакционными издержками

Предположим далее, что на каждую сделку приходится 50% транзакционных издержек. Это означает, что (1A, -1M) и (-1A, 1M) нельзя обменять на неотрицательные портфели. Но (2A, -1M) и (-1A, 2M) можно обменять на неотрицательные портфели. Видно, что ${ Displaystyle К = {х in mathbb {R} ^ {2} :( 2,1) х geq 0, (1,2) х geq 0 }}$.

Таким образом, двойной конус цен легче всего увидеть с точки зрения цены A с точки зрения M (и аналогично для цены M с точки зрения A):

• кто-то предлагает 1А за tM: ${ displaystyle (0, t) rightarrow (1,0) rightarrow (0, { frac {1} {2}})}$ поэтому есть арбитраж, если ${ Displaystyle т <{ гидроразрыва {1} {2}}}$
• кто-то предлагает tM за 1А: ${ displaystyle (1,0) rightarrow (0, t) rightarrow ({ frac {t} {2}}, 0)}$ поэтому есть арбитраж, если ${ displaystyle t> 2}$

Свойства

Если конус платежеспособности ${ displaystyle K}$:

• содержит строку, то возможен обмен без транзакционных издержек.
• ${ Displaystyle К = mathbb {R} _ {+} ^ {d}}$, то обмен невозможен, т.е. рынок полностью неликвидный.

использованная литература