Твердые сферы - Hard spheres

Твердые сферы широко используются в качестве модельных частиц в статистический механический теория жидкостей и твердых тел. Их определяют просто как непроницаемые сферы, которые не могут перекрываться в пространстве. Они имитируют чрезвычайно сильное («бесконечно упругое подпрыгивание») отталкивание, которое атомы и сферические молекулы испытывают на очень близких расстояниях. Системы твердых сфер изучаются аналитическими методами: молекулярная динамика моделирования, а также путем экспериментального изучения некоторых коллоидный модельные системы. Система твердых сфер обеспечивает общую модель, объясняющую квазиуниверсальную структуру и динамику простых жидкостей.^[1]

Формальное определение

Твердые шары диаметром ${ displaystyle sigma}$ - частицы со следующим потенциалом парного взаимодействия:

{ Displaystyle V ( mathbf {r} _ {1}, mathbf {r} _ {2}) = left {{ begin {matrix} 0 & { mbox {if}} quad | mathbf { r} _ {1} - mathbf {r} _ {2} | geq sigma infty & { mbox {if}} quad | mathbf {r} _ {1} - mathbf {r } _ {2} | < sigma end {matrix}} right.}

куда ${ displaystyle mathbf {r} _ {1}}$ и ${ displaystyle mathbf {r} _ {2}}$ положения двух частиц.

Газовые твердые сферы

Первые три вириальные коэффициенты для твердых сфер можно определить аналитически

${ displaystyle { frac {B_ {2}} {v_ {0}}}}$	=	${ displaystyle 4 { frac {} {}}}$
${ displaystyle { frac {B_ {3}} {{v_ {0}} ^ {2}}}}$	=	${ displaystyle 10 { frac {} {}}}$
${ displaystyle { frac {B_ {4}} {{v_ {0}} ^ {3}}}}$	=	${ displaystyle - { frac {712} {35}} + { frac {219 { sqrt {2}}} {35 pi}} + { frac {4131} {35 pi}} arccos { frac {1} { sqrt {3}}} приблизительно 18,365}$

Высшие порядки могут быть определены численно, используя Интеграция Монте-Карло. Мы перечисляем

${ displaystyle { frac {B_ {5}} {{v_ {0}} ^ {4}}}}$	=	${ displaystyle 28.24 pm 0,08}$
${ displaystyle { frac {B_ {6}} {{v_ {0}} ^ {5}}}}$	=	${ displaystyle 39,5 pm 0,4}$
${ displaystyle { frac {B_ {7}} {{v_ {0}} ^ {6}}}}$	=	${ displaystyle 56.5 pm 1.6}$

Таблицу вириальных коэффициентов для восьми измерений можно найти на странице Твердая сфера: вириальные коэффициенты.

Фазовая диаграмма системы твердых сфер (сплошная линия - стабильная ветвь, пунктирная линия - метастабильная ветвь): Давление

{ displaystyle P}

как функция объемной доли (или доли упаковки)

{ displaystyle eta}

В системе твердых сфер наблюдается фазовый переход жидкость-твердое тело между объемные доли замораживания ${ displaystyle eta _ { mathrm {f}} приблизительно 0,494}$ и таяние ${ displaystyle eta _ { mathrm {m}} приблизительно 0,545}$ . Давление расходится при случайной плотной упаковке ${ displaystyle eta _ { mathrm {rcp}} приблизительно 0,644}$ для метастабильной жидкой ветви и при плотной упаковке ${ displaystyle eta _ { mathrm {cp}} = { sqrt {2}} pi / 6 приблизительно 0,74048}$ для стабильной твердой ветви.