Теорема Торелли - Torelli theorem

В математика, то Теорема Торелли, названный в честь Руджеро Торелли, является классическим результатом алгебраическая геометрия над поле комплексных чисел, заявив, что неособый проективный алгебраическая кривая (компактная риманова поверхность ) C определяется его Якобиева многообразие J(C), когда последний задан в виде принципиально поляризованная абелева разновидность. Другими словами, комплексный тор J(C), с определенными «отметинами», достаточно для восстановления C. То же утверждение справедливо для любого алгебраически замкнутое поле.[1] Из более точной информации о построенных изоморфизм кривых следует, что если канонически главнополяризованные якобиевы многообразия кривых рода находятся k-изоморфен для k любой идеальное поле, кривые тоже.[2]

Этот результат получил много важных расширений. Его можно изменить так, чтобы он читал, что некий естественный морфизм, то отображение периода, от пространство модулей кривых фиксированной род, в пространство модулей абелевы разновидности, является инъективный (на геометрические точки ). Обобщения бывают в двух направлениях. Во-первых, к геометрическим вопросам об этом морфизме, например о локальная теорема Торелли. Во-вторых, сопоставлениям с другими периодами. Дело, которое было тщательно расследовано, предназначено для K3 поверхности (к Виктор Сергеевич Куликов, Илья Пятецкий-Шапиро, Игорь Шафаревич и Федор Богомолов )[3] и гиперкэлеровы многообразия (к Миша Вербицкий, Эяль Маркман и Даниэль Хайбрехтс ).[4]

Примечания

  1. ^ Джеймс С. Милн, Якобианы многообразия, Теорема 12.1 в Корнелл и Сильверман (1986)
  2. ^ Джеймс С. Милн, Якобианы многообразия, Следствие 12.2 в Корнелл и Сильверман (1986)
  3. ^ Компактные расслоения с гиперкэлеровыми волокнами
  4. ^ Автоморфизмы гиперкэлеровых многообразий

Рекомендации

  • Руджеро Торелли (1913). "Sulle varietà di Jacobi". Rendiconti della Reale nazionale dei Lincei. 22 (5): 98–103.
  • Андре Вайль (1957). "Zum Beweis des Torellischen Satzes". Nachr. Акад. Wiss. Геттинген, Math.-Phys. Kl. IIa: 32–53.
  • Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф, ред. (1986), Арифметическая геометрия, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-96311-0, МИСТЕР  0861969