Точка Вейерштрасса - Weierstrass point

В математика, а Точка Вейерштрасса ${ displaystyle P}$ на неособом алгебраическая кривая ${ displaystyle C}$ над комплексными числами - это точка, в которой есть больше функций на ${ displaystyle C}$ , с их полюса ограниченный ${ displaystyle P}$ только, чем было бы предсказано Теорема Римана – Роха.

Концепция названа в честь Карл Вейерштрасс.

Рассмотрим векторные пространства

{ Displaystyle L (0), L (P), L (2P), L (3P), точки}

куда ${ Displaystyle L (КП)}$ это пространство мероморфные функции на ${ displaystyle C}$ чей заказ в ${ displaystyle P}$ по крайней мере ${ displaystyle -k}$ и без других полюсов. Мы знаем три вещи: размерность не меньше 1 из-за постоянных функций на ${ displaystyle C}$ ; не убывает; и из теоремы Римана – Роха размерность в конечном итоге увеличивается ровно на 1 по мере продвижения вправо. Фактически, если ${ displaystyle g}$ это род из ${ displaystyle C}$ , размер от ${ displaystyle k}$ -й член известен как

{ Displaystyle л (КП) = к-г + 1,}

за

{ Displaystyle к geq 2g-1.}

Таким образом, наши знания о последовательности

{ displaystyle 1,?,?, dots,?, g, g + 1, g + 2, dots.}

Что мы знаем о? записей заключается в том, что они могут увеличиваться максимум на 1 каждый раз (это простой аргумент: ${ Displaystyle L (nP) / L ((n-1) P)}$ имеет размерность равную 1, потому что если ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ иметь такой же порядок полюсов на ${ displaystyle P}$ , тогда ${ displaystyle f + cg}$ будет иметь полюс более низкого порядка, если постоянная ${ displaystyle c}$ выбирается для отмены ведущего члена). Есть ${ displaystyle 2g-2}$ вопросительные знаки здесь, поэтому случаи ${ displaystyle g = 0}$ или же ${ displaystyle 1}$ не нуждаются в дальнейшем обсуждении и не вызывают возражений Вейерштрасса.

Предположим поэтому ${ displaystyle g geq 2}$ . Будут ${ displaystyle g-1}$ подходит, и ${ displaystyle g-1}$ шаги, где нет приращения. А не точка Вейерштрасса из ${ displaystyle C}$ происходит всякий раз, когда все приращения идут как можно правее: т.е. последовательность выглядит как

{ displaystyle 1,1, dots, 1,2,3,4, dots, g-1, g, g + 1, dots.}

В любом другом случае Точка Вейерштрасса. А Разрыв Вейерштрасса за ${ displaystyle P}$ это ценность ${ displaystyle k}$ так что нет функции на ${ displaystyle C}$ имеет ровно ${ displaystyle k}$ -складной полюс на ${ displaystyle P}$ Только. Последовательность пробелов

{ displaystyle 1,2, dots, g}

для точки, отличной от точки Вейерштрасса. Для точки Вейерштрасса она содержит как минимум одно большее число. (The Теорема Вейерштрасса о разнице или же Lückensatz это утверждение, что должно быть ${ displaystyle g}$ пробелы.)

За гиперэллиптические кривые, например, у нас может быть функция ${ displaystyle F}$ с двойным полюсом на ${ displaystyle P}$ Только. Его силы имеют полюса порядка ${ displaystyle 4,6}$ и так далее. Поэтому такой ${ displaystyle P}$ имеет последовательность пробелов

{ displaystyle 1,3,5, dots, 2g-1.}

В общем, если последовательность разрывов

{ displaystyle a, b, c, dots}

в масса точки Вейерштрасса

{ Displaystyle (a-1) + (b-2) + (c-3) + точки.}

Это введено из-за теоремы о счете: на Риманова поверхность сумма весов точек Вейерштрасса равна ${ displaystyle g (g ^ {2} -1).}$

Например, гиперэллиптическая точка Вейерштрасса, как и выше, имеет вес ${ displaystyle g (g-1) / 2.}$ Следовательно, есть (не больше) ${ Displaystyle 2 (г + 1)}$ из них. ${ displaystyle 2g + 2}$ точки разветвления разветвленное покрытие степени два от гиперэллиптической кривой к проективная линия все являются гиперэллиптическими точками Вейерштрасса, и они исчерпывают все точки Вейерштрасса на гиперэллиптической кривой рода ${ displaystyle g}$ .

Дополнительная информация о пробелах поступает от применения Теорема Клиффорда. Умножение функций дает непробелам a числовая полугруппа структура, и старый вопрос Адольф Гурвиц попросил дать характеристику встречающихся полугрупп. Новое необходимое условие было найдено Р.-О. Бухвайца в 1980 г., и он привел пример подполугруппа неотрицательных целых чисел с 16 пробелами, которая не встречается как полугруппа неотрицательных чисел в точке кривой рода 16 (см. ^[1]). Определение точки Вейерштрасса для неособой кривой над поле положительных характеристика был подарен Ф. К. Шмидтом в 1939 г.

Положительная характеристика

В более общем смысле, для неособого алгебраическая кривая ${ displaystyle C}$ определен над алгебраически замкнутым полем ${ displaystyle k}$ характерных ${ displaystyle p geq 0}$ , номера зазора для всех точек, кроме конечного, представляют собой фиксированную последовательность ${ displaystyle epsilon _ {1}, ..., epsilon _ {g}.}$ Эти точки называются не точки Вейерштрасса.Все точки ${ displaystyle C}$ чья последовательность разрыва отличается, называются Вейерштрасс точки.

Если ${ displaystyle epsilon _ {1}, ..., epsilon _ {g} = 1, ..., g}$ то кривая называется классическая криваяВ противном случае он называется неклассический. В нулевой характеристике все кривые классические.

Эрмитовы кривые являются примером неклассических кривых. Это проективные кривые, определенные над конечным полем ${ Displaystyle GF (д ^ {2})}$ по уравнению ${ Displaystyle у ^ {д} + у = х ^ {д + 1}}$ , куда ${ displaystyle q}$ это основная сила.

Примечания

^ Эйзенбуд 1987, стр. 499.

Точка Вейерштрасса - Weierstrass point

Положительная характеристика

Примечания

Рекомендации