Квадрика (алгебраическая геометрия) - Quadric (algebraic geometry)

Два семейства прямых на гладкой (расщепленной) квадратичной поверхности

В математика, а квадрика или квадратичная гиперповерхность является подпространством N-мерное пространство, определяемое многочлен уравнение степени 2 над поле. Квадрики являются фундаментальными примерами в алгебраическая геометрия. Теория упрощается, работая в проективное пространство а не аффинное пространство. Примером может служить квадратичная поверхность

{ displaystyle xy = zw}

в проективном пространстве ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {3}}$ над сложные числа C. Квадрика имеет естественное действие ортогональная группа, поэтому изучение квадрик можно рассматривать как потомок Евклидова геометрия.

Многие свойства квадрик сохраняются в более общем случае для проективные однородные многообразия. Другое обобщение квадрик дает Разновидности Фано.

Основные свойства

По определению квадрика Икс измерения п над полем k является подпространством ${ displaystyle mathbf {P} ^ {n + 1}}$ определяется q = 0, где q ненулевой однородный многочлен степени 2 выше k в переменных ${ displaystyle x_ {0}, ldots, x_ {n + 1}}$ . (Однородный многочлен также называется форма, и так q можно назвать квадратичная форма.) Если q является произведением двух линейных форм, то Икс это союз двух гиперплоскости. Принято считать, что ${ Displaystyle п geq 1}$ и q является несводимый, что исключает этот особый случай.

Вот алгебраические многообразия над полем k рассматриваются как особый класс схемы над k. Когда k является алгебраически замкнутый, можно также рассматривать проективное многообразие более элементарно, как подмножество ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {N} (k) = (k ^ {N + 1} -0) / k ^ {*}}$ задается однородными полиномиальными уравнениями с коэффициентами в k.

Особая квадратичная поверхность, конус над гладкой конической кривой

Если q можно записать (после некоторой линейной замены координат) как полином от собственного подмножества переменных, то Икс это проективный конус над квадрикой меньшей размерности. Целесообразно обратить внимание на случай, когда Икс не конус. Для k из характеристика не 2, Икс не является конусом тогда и только тогда, когда Икс является гладкий; плавный над k. Когда k имеет характеристику не 2, гладкость квадрики также эквивалентна Матрица Гессе из q с ненулевым детерминант, или к связанной билинейной форме б(Икс,у) = q(Икс+у) – q(Икс) – q(у) будучи невырожденный. В общем, для k характеристики не 2, ранг квадрики означает ранг матрицы Гессе. Квадрика ранга р - повторный конус над гладкой квадрикой размерности р − 2.^[1]

Это фундаментальный результат: гладкая квадрика над полем k является рациональный над k если и только если Икс имеет k-рациональная точка.^[2] То есть, если есть решение уравнения q = 0 вида ${ Displaystyle (а_ {0}, ldots, а_ {п + 1})}$ с участием ${ displaystyle a_ {0}, ldots, a_ {n + 1}}$ в k, а не все нули (следовательно, соответствующие точке в проективном пространстве), то существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулой рациональные функции над k между ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {n}}$ минус подмножество более низкой размерности и Икс минус подмножество более низкой размерности. Например, если k бесконечно, то если Икс есть один k-рациональная точка, то ее бесконечно много. Эта эквивалентность доказана стереографическая проекция. В частности, любая квадрика над алгебраически замкнутым полем рациональна.

Квадрика над полем k называется изотропный если у него есть k-рациональная точка. Примером анизотропной квадрики является квадрика

{ displaystyle x_ {0} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n + 1} ^ {2} = 0}

в проективном пространстве ${ Displaystyle { mathbf {P}} ^ {п + 1}}$ над действительные числа р.

Линейные подпространства квадрик

Центральная часть геометрии квадрик - это изучение содержащихся в них линейных пространств. (В контексте проективной геометрии линейное подпространство ${ Displaystyle { mathbf {P}} ^ {N}}$ изоморфен ${ displaystyle { mathbf {P}} ^ {a}}$ для некоторых ${ Displaystyle а leq N}$ .) Ключевым моментом является то, что каждое линейное пространство, содержащееся в гладкой квадрике, имеет размерность не более половины размерности квадрики. Более того, когда k алгебраически замкнута, это оптимальная оценка, означающая, что каждая гладкая квадрика размерности п над k содержит линейное подпространство размерности ${ Displaystyle lfloor п / 2 rfloor}$ .^[3]

Над любым полем k, гладкая квадрика размерности п называется Трещина если он содержит линейное пространство размерности ${ Displaystyle lfloor п / 2 rfloor}$ над k. Таким образом, любая гладкая квадрика над алгебраически замкнутым полем расщепляется. Если квадрика Икс над полем k разбивается, то его можно записать (после линейной замены координат) как

{ displaystyle x_ {0} x_ {1} + x_ {2} x_ {3} + cdots + x_ {2m-2} x_ {2m-1} + x_ {2m} ^ {2} = 0}

если Икс имеет размерность 2м - 1, или

{ displaystyle x_ {0} x_ {1} + x_ {2} x_ {3} + cdots + x_ {2m} x_ {2m + 1} = 0}

если Икс имеет размерность 2м.^[4] В частности, над алгебраически замкнутым полем имеется только одна гладкая квадрика каждой размерности с точностью до изоморфизма.

Для многих приложений важно описать пространство Y всех линейных подпространств максимальной размерности в данной гладкой квадрике Икс. (Для ясности предположим, что Икс разделен на k.) Поразительным явлением является то, что Y является связанный если Икс имеет нечетную размерность, тогда как он имеет две компоненты связности, если Икс имеет четное измерение. То есть есть два разных «типа» максимальных линейных пространств в Икс когда Икс имеет четную размерность. Два семейства можно описать следующим образом: для гладкой квадрики Икс размерности 2мисправь один м-самолет Q содержалась в Икс. Тогда два типа м-самолеты п содержалась в Икс различаются ли размерность пересечение ${ displaystyle P cap Q}$ четное или нечетное.^[5] (Размерность пустого множества здесь взята равной -1.)

Маломерные квадрики

Позволять Икс быть расщепленной квадрикой над полем k. (Особенно, Икс может быть любой гладкой квадрикой над алгебраически замкнутым полем.) В малых размерностях Икс и содержащиеся в нем линейные пространства можно описать следующим образом.

Квадратичная кривая в ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ называется конический. Разрез конической над k изоморфна проективной прямой ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ над k, встроенный в ${ displaystyle mathbf {P} ^ {2}}$ ко второму Веронезе вложение.^[6] (Например, эллипсы, параболы и гиперболы - это разные виды коник в аффинной плоскости над р, но все их замыкания в проективной плоскости изоморфны ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ над р.)

Разрезанная квадратичная поверхность Икс изоморфен ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {1} times mathbf {P} ^ {1}}$ , встроенный в ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ посредством Сегре встраивание. Пространство линий квадратичной поверхности Икс имеет две компоненты связности, каждая изоморфна ${ displaystyle mathbf {P} ^ {1}}$ .^[7]

Расколотая квадрика 3-кратная Икс можно рассматривать как изотропный грассманиан для симплектическая группа Sp (4,k). (Это связано с исключительным изоморфизмом линейные алгебраические группы между SO (5,k) и ${ displaystyle operatorname {Sp} (4, k) / { pm 1 }}$ .) А именно, учитывая 4-мерное векторное пространство V с симплектическая форма, квадрика 3-кратная Икс можно отождествить с пространством LGr (2,4) 2-плоскостей в V на котором форма ограничивается нулем. Кроме того, пространство прямых в 3-кратной квадрике Икс изоморфен ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ .^[8]

Расколотая квадрика 4-кратная Икс можно рассматривать как Грассманиан Gr (2,4), пространство 2-плоскостей в 4-мерном векторном пространстве (или, что то же самое, прямых в ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ ). (Это связано с исключительным изоморфизмом линейных алгебраических групп между SO (6,k) и ${ displaystyle operatorname {SL} (4, k) / { pm 1 }}$ .) Пространство 2-плоскостей в четырехмерной квадрике Икс имеет две компоненты связности, каждая изоморфна ${ displaystyle mathbf {P} ^ {3}}$ .^[9]

Пространство 2-плоскостей в расщепленной 5-кратной квадрике изоморфно 6-кратной расщепленной квадрике. Точно так же обе компоненты пространства 3-плоскостей в 6-кратной расщепленной квадрике изоморфны 6-кратной расщепленной квадрике. (Это связано с явлением триальность для группы Spin (8).)

Как следует из этих примеров, пространство м-плоскости в разрезной квадрике размерности 2м всегда имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна изотропному грассманиану (м - 1) -плоскости в разрезной квадрике размерности 2м − 1.^[10] Любые отражение в ортогональной группе изоморфно отображает одну компоненту в другую.

Разложение Брюа

Гладкая квадрика над полем k это проективное однородное многообразие для ортогональной группы (и для специальная ортогональная группа ), рассматриваемые как линейные алгебраические группы над k. Как и любое проективное однородное многообразие для расщепленная восстановительная группа, разделенная квадрика Икс имеет разложение алгебраических клеток, известное как Разложение Брюа. (В частности, это относится к любой гладкой квадрике над алгебраически замкнутым полем.) То есть Икс может быть записано как конечное объединение непересекающихся подмножеств, изоморфных аффинным пространствам над k различных размеров. (Для проективных однородных многообразий клетки называются Клетки Шуберта, а их замыкания называются Разновидности Шуберта.) Клеточные многообразия занимают особое место среди всех алгебраических многообразий. Например, клеточная разновидность рациональный, и для k = C) Теория Ходжа гладкого проективного клеточного многообразия тривиально в том смысле, что ${ displaystyle h ^ {p, q} (X) = 0}$ для ${ displaystyle p neq q}$ . Для клеточного разнообразия Группа чау алгебраических циклов на Икс это свободная абелева группа на множестве ячеек, как и интегральные гомологии из Икс (если k = C).^[11]

Расколотая квадрика Икс измерения п имеет только одну ячейку каждого измерения р, за исключением среднего измерения четномерной квадрики, где есть две ячейки. Соответствующие замыкания ячеек (многообразия Шуберта):^[12]

Для ${ Displaystyle 0 Leq г <п / 2}$ , линейное пространство ${ displaystyle mathbf {P} ^ {r}}$ содержалась в Икс.

Для р = п/ 2, оба многообразия Шуберта являются линейными пространствами ${ displaystyle mathbf {P} ^ {r}}$ содержалась в Икс, по одному от каждого из двух семейств линейных пространств средней размерности (как описано выше).

Для ${ Displaystyle п / 2 <г Leq п}$ , многообразие Шуберта размерности р это пересечение Икс с линейным пространством измерения р + 1 в ${ displaystyle mathbf {P} ^ {n + 1}}$ ; так что это р-мерная квадрика. Это повторный конус над гладкой квадрикой размерности 2.р − п.

Используя разложение Брюа, легко вычислить Кольцо для чау-чау расщепленной квадрики размерности п над полем следующим образом.^[13] Когда базовым полем являются комплексные числа, это также интеграл когомология кольцо гладкой квадрики с ${ displaystyle CH ^ {j}}$ отображение изоморфно в ${ displaystyle H ^ {2j}}$ . (Когомологии в нечетных степенях равны нулю.)

Для п = 2м − 1, ${ displaystyle CH ^ {*} (X) cong mathbb {Z} [h, l] / (h ^ {m} -2l, l ^ {2})}$ , где |час| = 1 и |л| = м.

Для п = 2м, ${ displaystyle CH ^ {*} (X) cong mathbb {Z} [h, l] / (h ^ {m + 1} -2hl, l ^ {2} -ah ^ {m} l)}$ , где |час| = 1 и |л| = м, и а равно 0 для м нечетный и 1 для м даже.

Вот час - класс гиперплоского сечения и л - класс максимального линейного подпространства в Икс. (Для п = 2м, класс другого типа максимального линейного подпространства равен ${ displaystyle h ^ {m} -l}$ .) Это вычисление показывает важность линейных подпространств квадрики: кольца Чжоу всех алгебраических циклов на Икс порождается "очевидным" элементом час (вытащил из класса ${ displaystyle c_ {1} О (1)}$ гиперплоскости в ${ Displaystyle { mathbf {P}} ^ {п + 1}}$ ) вместе с классом максимального линейного подпространства в Икс.

Изотропные грассманианы и спинорное многообразие

Пространство р-самолеты в гладкой п-мерная квадрика (как и сама квадрика) является проективным однородным многообразием, известным как изотропный грассманиан или ортогональный грассманиан OGr (р + 1, п + 2). (Нумерация относится к размерностям соответствующих векторных пространств. В случае линейных подпространств средней размерности квадрики четной размерности 2м, один пишет ${ displaystyle operatorname {OGr} _ {+} (m + 1,2m + 2)}$ для одной из двух компонент связности.) В результате изотропные грассманианы расщепленной квадрики над полем также имеют разложения алгебраических клеток.

Изотропный грассманиан W = OGr (м,2м + 1) из (м - 1) -плоскости в гладкой квадрике размерности 2м - 1 также называют спинорная разновидность, размерности м(м + 1) / 2. (Другое описание разновидности спинора: ${ displaystyle operatorname {OGr} _ {+} (m + 1,2m + 2)}$ .^[10]) Для объяснения названия: наименьшая СО (2м + 1)-эквивариантный проективное вложение W приземляется в проективном пространстве измерения ${ displaystyle 2 ^ {m} -1}$ .^[14] Действие SO (2м + 1) на этом проективном пространстве не происходит из линейного представления SO (2м+1) более k, а скорее из представления его односвязный двойная крышка, группа вращения Отжим (2м + 1) более k. Это называется представление вращения спина (2м + 1) размерности ${ displaystyle 2 ^ {m}}$ .

Над комплексными числами изотропный грассманиан OGr (р + 1, п + 2) из р-самолеты в п-мерная квадрика Икс однородное пространство для комплексной алгебраической группы ${ Displaystyle G = OperatorName {SO} (п + 2, mathbf {C})}$ , а также за его максимальная компактная подгруппа, то компактная группа Ли ТАК(п + 2). С последней точки зрения этот изотропный грассманиан есть

{ Displaystyle OperatorName {SO} (п + 2) / ( Operatorname {U} (г + 1) раз OperatorName {SO} (п-2r)),}

где ты(р+1) - это унитарная группа. Для р = 0, изотропный грассманиан - это сама квадрика, поэтому ее можно рассматривать как

{ displaystyle operatorname {SO} (n + 2) / ( Operatorname {U} (1) times operatorname {SO} (n)).}

Например, сложное спинорное многообразие OGr (м, 2м + 1) можно рассматривать как SO (2м + 1) / U (м), а также как SO (2м+2) / U (м+1). Эти описания можно использовать для вычисления кольца когомологий (или, что эквивалентно, кольца Чжоу) спинорного многообразия:

{ displaystyle CH ^ {*} operatorname {OGr} (m, 2m + 1) cong mathbb {Z} [e_ {1}, ldots, e_ {m}] / (e_ {j} ^ {2 } -2e_ {j-1} e_ {j + 1} + 2e_ {j-2} e_ {j + 2} - cdots + (- 1) ^ {j} e_ {2j} = 0 { text {для все}} j),}

где Классы Черна ${ displaystyle c_ {j}}$ естественного ранга -м векторные расслоения равны ${ displaystyle 2e_ {j}}$ .^[15] Вот ${ displaystyle e_ {j}}$ означает 0 дляj > м.

Спинорные расслоения на квадриках

В спинорные пучки играют особую роль среди всех векторные пучки на квадрике, аналогично максимальным линейным подпространствам среди всех подмногообразий квадрики. Чтобы описать эти связки, пусть Икс быть расщепленной квадрикой размерности п над полем k. Специальная ортогональная группа SO (п+2) более k действует на Икс, а значит, и его двойное покрытие, спиновая группа г = Вращение (п+2) более k. В этих условиях Икс однородное пространство г/п, где п это максимальный параболическая подгруппа из г. В полупростой часть п - спиновая группа Spin (п), и существует стандартный способ расширить спиновые представления Spin (п) к представлениям п. (Есть два представления спина ${ displaystyle V _ {+}, V _ {-}}$ для п = 2м, каждое из измерений ${ Displaystyle 2 ^ {м-1}}$ , и одно спиновое представление V для п = 2м - 1, размерности ${ Displaystyle 2 ^ {м-1}}$ .) Тогда спинорные расслоения на квадрике Икс = г/п определяются как г-эквивариантные векторные расслоения, ассоциированные с этими представлениями п. Итак, есть два спинорных пучка ${ displaystyle S _ {+}, S _ {-}}$ ранга ${ Displaystyle 2 ^ {м-1}}$ для п = 2м, и один спинорный пучок S ранга ${ Displaystyle 2 ^ {м-1}}$ для п = 2м - 1. Для п даже любое отражение в ортогональной группе включает два спинорных расслоения. Икс.^[14]

Например, два спинорных расслоения на квадратичной поверхности ${ displaystyle X cong mathbf {P} ^ {1} times mathbf {P} ^ {1}}$ - линейные расслоения O (−1,0) и O (0, −1). Спиновое расслоение на трехмерной квадрике Икс является естественным подрасслоением ранга 2 на Икс рассматривается как изотропный грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном симплектическом векторном пространстве.

Чтобы указать значение спинорных пучков: Михаил Капранов показал, что ограниченный производная категория из когерентные пучки на разделенной квадрике Икс над полем k имеет полный исключительная коллекция вовлекающие спинорные пучки, наряду с "очевидными" линейные пакеты О(j) ограничено проективным пространством:

{ displaystyle D ^ {b} (X) = langle S _ {+}, S _ {-}, O, O (1), ldots, O (n-1) rangle}

если п четный, и

{ displaystyle D ^ {b} (X) = langle S, O, O (1), ldots, O (n-1) rangle}

если п странно.^[16] Конкретно это означает расщепленный случай Ричард Свон расчет Группа Гротендик алгебраических векторных расслоений на гладкой квадрике; это свободная абелева группа

{ Displaystyle К_ {0} (Икс) = mathbb {Z} {S _ {+}, S _ {-}, O, O (1), ldots, O (n-1) }}

для п даже, и

{ Displaystyle К_ {0} (Икс) = mathbb {Z} {S, O, O (1), ldots, O (n-1) }}

для п странный.^[17] Когда k = C, то топологическая K-группа ${ displaystyle K ^ {0} (X)}$ (непрерывных комплексных векторных расслоений на квадрике Икс) задается той же формулой, а ${ displaystyle K ^ {1} (X)}$ равно нулю.

Заметки

^ Харрис (1995), пример 3.3.
^ Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), Предложение 22.9.
^ Харрис (1995), теорема 22.13.
^ Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), Предложение 7.28.
^ Харрис (1995), теорема 22.14.
^ Харрис (1995), лекция 22, стр. 284.
^ Харрис (1995), лекция 22, стр. 285.
^ Харрис (1995), упражнение 22.6.
^ Харрис (1995), пример 22.7.
^ ^а ^б Харрис (1995), теорема 22.14.
^ Фултон (1998), пример 19.1.11.
^ Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), Предложение 68.1.
^ Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), упражнение 68.3.
^ ^а ^б Оттавиани (1988), раздел 1.
^ Мимура и Тода (1991), теорема III.6.11.
^ Капранов (1988), теорема 4.10.
^ Свон (1985), теорема 1.

использованная литература

Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4329-1, Г-Н 2427530
Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7, Г-Н 1644323
Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: первый курс, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3, Г-Н 1416564
Капранов Михаил (1988), «О производных категориях когерентных пучков на некоторых однородных пространствах», Inventiones Mathematicae, 92: 479–508, Дои:10.1007 / BF01393744, Г-Н 0939472
Мимура, Мамору; Тода, Хироси (1992), Топология групп Ли, Американское математическое общество, ISBN 978-0821813423, Г-Н 1122592
Оттавиани, Джорджио (1988), "Спинорные расслоения на квадриках", Труды Американского математического общества, 307: 301–316, Дои:10.1090 / S0002-9947-1988-0936818-5, Г-Н 0936818
Свон, Ричард (1985), "K-теория квадратичных гиперповерхностей", Анналы математики, 122: 113–153, Дои:10.2307/1971371, Г-Н 0799254

[1] Харрис (1995), пример 3.3.

[2] Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), Предложение 22.9.

[3] Харрис (1995), теорема 22.13.

[4] Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), Предложение 7.28.

[5] Харрис (1995), теорема 22.14.

[6] Харрис (1995), лекция 22, стр. 284.

[7] Харрис (1995), лекция 22, стр. 285.

[8] Харрис (1995), упражнение 22.6.

[9] Харрис (1995), пример 22.7.

[Heven-10] а ^б Харрис (1995), теорема 22.14.

[11] Фултон (1998), пример 19.1.11.

[12] Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), Предложение 68.1.

[13] Эльман, Карпенко и Меркурьев (2008), упражнение 68.3.

[spinor-14] а ^б Оттавиани (1988), раздел 1.

[15] Мимура и Тода (1991), теорема III.6.11.

[16] Капранов (1988), теорема 4.10.

[17] Свон (1985), теорема 1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]