Реальная гиперэллиптическая кривая - Real hyperelliptic curve

А гиперэллиптическая кривая это класс алгебраические кривые. Гиперэллиптические кривые существуют для каждого род ${ displaystyle g geq 1}$ . Общая формула гиперэллиптической кривой над конечным полем ${ displaystyle K}$ дан кем-то

{ Displaystyle C: y ^ {2} + h (x) y = f (x) in K [x, y]}

куда ${ Displaystyle ч (х), е (х) в К}$ удовлетворяют определенным условиям. Есть два типа гиперэллиптических кривых: реальные гиперэллиптические кривые и воображаемые гиперэллиптические кривые которые отличаются количеством бесконечно удаленных точек. На этой странице мы расскажем больше о реальных гиперэллиптических кривых, это кривые, имеющие две точки на бесконечности, в то время как воображаемые гиперэллиптические кривые имеют одну точка в бесконечности.

Определение

Настоящая гиперэллиптическая кривая рода грамм над K определяется уравнением вида ${ Displaystyle C: y ^ {2} + h (x) y = f (x)}$ куда ${ Displaystyle ч (х) в К}$ имеет степень не выше г + 1 пока ${ displaystyle f (x) in K}$ должен иметь степень 2г + 1 или же 2г + 2. Эта кривая - неособая кривая, на которой нет точки ${ Displaystyle (х, у)}$ в алгебраическое замыкание из ${ displaystyle K}$ удовлетворяет уравнению кривой ${ Displaystyle у ^ {2} + час (х) у = е (х)}$ и оба частная производная уравнения: ${ displaystyle 2y + h (x) = 0}$ и ${ displaystyle h '(x) y = f' (x)}$ .Множество (конечных) ${ displaystyle K}$ –Рациональные точки на C дан кем-то

{ Displaystyle C (K) = {(a, b) in K ^ {2} | b ^ {2} + h (a) b = f (a) } чашка S}

Где ${ displaystyle S}$ - множество бесконечно удаленных точек. Для реальных гиперэллиптических кривых есть две бесконечно удаленные точки: ${ displaystyle infty _ {1}}$ и ${ displaystyle infty _ {2}}$ . Для любой точки ${ Displaystyle Р (а, Ь) в С (К)}$ , противоположная точка ${ displaystyle P}$ дан кем-то ${ Displaystyle { overline {P}} = (а, -b-h)}$ ; это другой момент с Икс-координат а который тоже лежит на кривой.

Пример

Позволять ${ displaystyle C: y ^ {2} = f (x)}$ куда

{ displaystyle f (x) = x ^ {6} + 3x ^ {5} -5x ^ {4} -15x ^ {3} + 4x ^ {2} + 12x = x (x-1) (x-2 ) (х + 1) (х + 2) (х + 3) ,}

над ${ displaystyle R}$ . С ${ displaystyle deg f (x) = 2g + 2}$ и ${ displaystyle f (x)}$ имеет степень 6, поэтому ${ displaystyle C}$ кривая рода г = 2.

В однородный версия уравнения кривой дается

{ displaystyle Y ^ {2} Z ^ {4} = X ^ {6} + 3X ^ {5} Z-5X ^ {4} Z ^ {2} -15X ^ {3} Z ^ {3} + 4X ^ {2} Z ^ {4} + 12XZ ^ {5}}

.

Он имеет единственную бесконечно удаленную точку (0: 1: 0), но эта точка является особой. В Взрывать из ${ displaystyle C}$ имеет 2 разные точки на бесконечности, которые мы обозначим ${ displaystyle infty _ {1}}$ и ${ displaystyle infty _ {2}}$ . Следовательно, эта кривая является примером реальной гиперэллиптической кривой.

В общем, каждая кривая, заданная уравнением, где ж имеет четную степень, имеет две бесконечно удаленные точки и является реальной гиперэллиптической кривой, а те, где ж имеет нечетную степень, имеют только одну точку в раздутии над (0: 1: 0) и, таким образом, воображаемые гиперэллиптические кривые. В обоих случаях предполагается, что аффинная часть кривой неособа (см. Условия на производные выше)

Арифметика на реальной гиперэллиптической кривой

В реальной гиперэллиптической кривой сложение больше не определяется по точкам, как в эллиптические кривые но на дивизоры и якобиан. Позволять ${ displaystyle C}$ быть гиперэллиптической кривой рода грамм над конечным полем K. Делитель ${ displaystyle D}$ на ${ displaystyle C}$ - формальная конечная сумма точек ${ displaystyle P}$ на ${ displaystyle C}$ . Мы пишем

{ Displaystyle D = сумма _ {P in C} {n_ {P} P}}

куда

{ displaystyle n_ {P} in mathbb {Z}}

и

{ displaystyle n_ {p} = 0}

почти для всех

{ displaystyle P}

.

Степень ${ Displaystyle D = сумма _ {P in C} {n_ {P} P}}$ определяется

{ displaystyle deg (D) = sum _ {P in C} {n_ {P}}}

.

${ displaystyle D}$ называется определенным над ${ displaystyle K}$ если ${ Displaystyle D ^ { sigma} = сумма _ {P in C} n_ {P} P ^ { sigma} = D}$ для всех автоморфизмы σ из ${ displaystyle { overline {K}}}$ над ${ displaystyle K}$ . Набор ${ displaystyle Div (K)}$ делителей ${ displaystyle C}$ определяется по ${ displaystyle K}$ образует добавку абелева группа по правилу сложения

{ displaystyle sum a_ {P} P + sum b_ {P} P = sum {(a_ {P} + b_ {P}) P}}

.

Набор ${ displaystyle Div ^ {0} (К)}$ всех делителей нуля степени ${ displaystyle C}$ определяется по ${ displaystyle K}$ является подгруппой ${ displaystyle Div (K)}$ .

Возьмем пример:

Позволять ${ displaystyle D_ {1} = 6P_ {1} + 4P_ {2}}$ и ${ displaystyle D_ {2} = 1P_ {1} + 5P_ {2}}$ . Если мы их добавим, то ${ displaystyle D_ {1} + D_ {2} = 7P_ {1} + 9P_ {2}}$ . Степень ${ displaystyle D_ {1}}$ является ${ Displaystyle deg (D_ {1}) = 6 + 4 = 10}$ и степень ${ displaystyle D_ {2}}$ является ${ Displaystyle deg (D_ {2}) = 1 + 5 = 6}$ . Потом, ${ displaystyle deg (D_ {1} + D_ {2}) = deg (D_ {1}) + deg (D_ {2}) = 16.}$

Для полиномов ${ Displaystyle G в К [C]}$ , делитель ${ displaystyle G}$ определяется

{ displaystyle mathrm {div} (G) = sum _ {P in C} { mathrm {ord}} _ {P} (G) P}

. Если функция

${ displaystyle G}$ имеет полюс в точке ${ displaystyle P}$ тогда ${ displaystyle - { mathrm {ord}} _ {P} (G)}$ это порядок исчезновения ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle P}$ . Предполагать ${ displaystyle G, H}$ являются многочленами от ${ displaystyle K [C]}$ ; делитель рациональной функции ${ Displaystyle F = G / H}$ называется главным дивизором и определяется равенством ${ Displaystyle mathrm {div} (F) = mathrm {div} (G) - mathrm {div} (H)}$ . Обозначим группу главных дивизоров через ${ Displaystyle P (K)}$ , т.е. ${ Displaystyle P (K) = { mathrm {div} (F) | F in K (C)}}$ . Якобиан ${ displaystyle C}$ над ${ displaystyle K}$ определяется ${ displaystyle J = Div ^ {0} / P}$ . Факторная группа ${ displaystyle J}$ также называется группой классов дивизоров ${ displaystyle C}$ . Элементы, которые определены в ${ displaystyle K}$ сформировать группу ${ Displaystyle J (K)}$ . Обозначим через ${ displaystyle { overline {D}} in J (K)}$ класс ${ displaystyle D}$ в ${ displaystyle Div ^ {0} (K) / P (K)}$ .

Есть два канонических способа представления классов дивизоров для вещественных гиперэллиптических кривых. ${ displaystyle C}$ которые имеют две точки бесконечности ${ Displaystyle S = { infty _ {1}, infty _ {2} }}$ . Первый должен представить делитель нуля степени как ${ displaystyle { bar {D}}}$ такой, что ${ displaystyle D = sum _ {i = 1} ^ {r} P_ {i} -r infty _ {2}}$ , куда ${ displaystyle P_ {i} in C ({ bar { mathbb {F}}} _ {q})}$ , ${ Displaystyle P_ {я} not = infty _ {2}}$ , и ${ displaystyle P_ {i} not = { bar {P_ {j}}}}$ если ${ Displaystyle я not = j}$ Представитель ${ displaystyle D}$ из ${ displaystyle { bar {D}}}$ тогда называется полуредуцированным. Если ${ displaystyle D}$ удовлетворяет дополнительному условию ${ displaystyle r leq g}$ затем представитель ${ displaystyle D}$ называется сокращенным.^[1] Заметь ${ Displaystyle P_ {я} = infty _ {1}}$ разрешено для некоторых i. Отсюда следует, что каждый класс дивизоров степени 0 содержит единственного представителя ${ displaystyle { bar {D}}}$ с

{ displaystyle D = D_ {x} -deg (D_ {x}) infty _ {2} + v_ {1} (D) ( infty _ {1} - infty _ {2})}

,

куда ${ displaystyle D_ {x}}$ является делителем, взаимно простым с обоими

{ displaystyle infty _ {1}}

и

{ displaystyle infty _ {2}}

, и

{ displaystyle 0 leq deg (D_ {x}) + v_ {1} (D) leq g}

.

Другое представление сбалансировано на бесконечности. ${ Displaystyle D _ { infty} = infty _ {1} + infty _ {2}}$ , заметим, что этот дивизор равен ${ displaystyle K}$ -рационально, даже если точки ${ displaystyle infty _ {1}}$ и ${ displaystyle infty _ {2}}$ не являются таковыми независимо. Напишите представителю класса ${ displaystyle { bar {D}}}$ в качестве ${ Displaystyle D = D_ {1} + D _ { infty}}$ ,куда ${ displaystyle D_ {1}}$ называется аффинной частью и не содержит ${ displaystyle infty _ {1}}$ и ${ displaystyle infty _ {2}}$ , и разреши ${ displaystyle d = deg (D_ {1})}$ . Если ${ displaystyle d}$ даже тогда

{ displaystyle D _ { infty} = { frac {d} {2}} ( infty _ {1} + infty _ {2})}

.

Если ${ displaystyle d}$ странно тогда

{ displaystyle D _ { infty} = { frac {d + 1} {2}} infty _ {1} + { frac {d-1} {2}} infty _ {2}}

.^[2]

Например, пусть аффинные части двух делителей имеют вид

{ displaystyle D_ {1} = 6P_ {1} + 4P_ {2}}

и

{ displaystyle D_ {2} = 1P_ {1} + 5P_ {2}}

то уравновешенные дивизоры равны

{ displaystyle D_ {1} = 6P_ {1} + 4P_ {2} -5D _ { infty _ {1}} - 5D _ { infty _ {2}}}

и

{ displaystyle D_ {2} = 1P_ {1} + 5P_ {2} -3D _ { infty _ {1}} - 3D _ { infty _ {2}}}

Преобразование реальной гиперэллиптической кривой в воображаемую гиперэллиптическую кривую

Позволять ${ displaystyle C}$ - вещественная квадратичная кривая над полем ${ displaystyle K}$ . Если существует разветвленный простой делитель степени 1 в ${ displaystyle K}$ тогда мы можем выполнить бирациональное преобразование к мнимой квадратичной кривой. Точка (конечная или бесконечная) называется разветвленной, если она равна своей противоположной точке. Это означает, что ${ Displaystyle P = (a, b) = { overline {P}} = (a, -b-h (a))}$ , т.е. что ${ displaystyle h (a) + 2b = 0}$ . Если ${ displaystyle P}$ разветвляется тогда ${ Displaystyle D = P- infty _ {1}}$ является разветвленным простым делителем.^[3]

Настоящая гиперэллиптическая кривая ${ Displaystyle C: y ^ {2} + h (x) y = f (x)}$ рода ${ displaystyle g}$ с разветвленным ${ displaystyle K}$ -рациональная конечная точка ${ Displaystyle P = (а, Ь)}$ бирационально эквивалентна воображаемой модели ${ displaystyle C ': y' ^ {2} + { bar {h}} (x ') y' = { bar {f}} (x ')}$ рода ${ displaystyle g}$ , т.е. ${ displaystyle deg ({ bar {f}}) = 2g + 1}$ а функциональные поля равны ${ Displaystyle К (С) = К (С ')}$ .^[4] Здесь:

{ displaystyle x '= { frac {1} {x-a}}}

и

{ Displaystyle у '= { гидроразрыва {у + Ь} {(х-а) ^ {г + 1}}}}

… (I)

В нашем примере ${ displaystyle C: y ^ {2} = f (x)}$ куда ${ displaystyle f (x) = x ^ {6} + 3x ^ {5} -5x ^ {4} -15x ^ {3} + 4x ^ {2} + 12x}$ , ч (х) равно 0. Для любой точки ${ Displaystyle P = (а, Ь)}$ , ${ Displaystyle ч (а)}$ равно 0, поэтому требование п быть разветвленным становится ${ displaystyle b = 0}$ . Подстановка ${ Displaystyle ч (а)}$ и ${ displaystyle b}$ , мы получаем ${ Displaystyle f (а) = 0}$ , куда ${ Displaystyle е (а) = а (а-1) (а-2) (а + 1) (а + 2) (а + 3)}$ , т.е. ${ Displaystyle а в {0,1,2, -1, -2, -3 }}$ .

Из (i) получаем ${ displaystyle x = { frac {ax '+ 1} {x'}}}$ и ${ displaystyle y = { frac {y '} {x' ^ {g + 1}}}}$ . При g = 2 имеем ${ displaystyle y = { frac {y '} {x' ^ {3}}}}$

Например, пусть ${ displaystyle a = 1}$ тогда ${ Displaystyle х = { гидроразрыва {х '+ 1} {х'}}}$ и ${ displaystyle y = { frac {y '} {x' ^ {3}}}}$ , мы получаем