В математика , то Карта Кодаира – Спенсер , представлен Кунихико Кодайра и Дональд С. Спенсер , это карта связано с деформация из схема или же комплексное многообразие Икс , принимая касательное пространство точки деформационное пространство к первому группа когомологий из пучок из векторные поля наИкс .
Определение Историческая мотивация Отображение Кодаиры – Спенсера было первоначально построено в контексте комплексных многообразий. Для комплексного аналитического многообразия M { displaystyle M} U я { displaystyle U_ {i}} ж j k { displaystyle f_ {jk}} z k → z j = ( z j 1 , … , z j п ) { displaystyle z_ {k} to z_ {j} = (z_ {j} ^ {1}, ldots, z_ {j} ^ {n})} ж j k ( z k ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k})} ж j k ( z k , т 1 , … , т k ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k}, t_ {1}, ldots, t_ {k})} B { displaystyle B} т 1 , … , т k { displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {k}} ж j k ( z k , 0 , … , 0 ) = ж j k ( z k ) { displaystyle f_ {jk} (z_ {k}, 0, ldots, 0) = f_ {jk} (z_ {k})} т я { displaystyle t_ {i}} M { displaystyle M} M { displaystyle M} ЧАС 1 ( M , Т M ) { Displaystyle Н ^ {1} (М, Т_ {М})} [1]
Исходное определение Более формально Карта Кодаира – Спенсер является[2]
K S : Т 0 B → ЧАС 1 ( M , Т M ) { displaystyle KS: T_ {0} B to H ^ {1} (M, T_ {M})} куда
M → B { displaystyle { mathcal {M}} к B} сложные пространства [3] специальное волокно M = M 0 { Displaystyle M = { mathcal {M}} _ {0}} δ { displaystyle delta} Т M | M → Т 0 B ⊗ О M { displaystyle T { mathcal {M}} | _ {M} to T_ {0} B otimes { mathcal {O}} _ {M}} Т M { displaystyle T_ {M}} Если v { displaystyle v} Т 0 B { displaystyle T_ {0} B} K S ( v ) { displaystyle KS (v)} Кодаира – Спенсер класс из v { displaystyle v}
Поскольку теория деформации была расширена на множество других контекстов, таких как деформации в теории схем или кольцевые топои, для этих контекстов существуют конструкции карты Кодаира – Спенсера.
В теории схем над базовым полем k { displaystyle k} 0 { displaystyle 0} Икс → S = Спецификация ( k [ т ] / т 2 ) { displaystyle { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec} (k [t] / t ^ {2})} ЧАС 1 ( Икс , Т Икс ) { displaystyle H ^ {1} (X, TX)}
Конструкции Использование бесконечно малых Условие коцикла при деформациях Сверх характеристики 0 { displaystyle 0} [4] Икс { displaystyle X} U = { U α } α ∈ я { Displaystyle { mathcal {U}} = {U _ { alpha} } _ { alpha in I}} z α = ( z α 1 , … , z α п ) { displaystyle z _ { alpha} = (z _ { alpha} ^ {1}, ldots, z _ { alpha} ^ {n})}
ж β α : U β | U α β → U α | U α β { displaystyle f _ { beta alpha}: U _ { beta} | _ {U _ { alpha beta}} to U _ { alpha} | _ {U _ { alpha beta}}} ж α β ( z β ) = z α { Displaystyle е _ { альфа бета} (г _ { бета}) = г _ { альфа}}
Напомним, что деформация задается коммутативной диаграммой
Икс → Икс ↓ ↓ Спецификация ( C ) → Спецификация ( C [ ε ] ) { displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C}) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) end {matrix}}}
куда C [ ε ] { Displaystyle mathbb {C} [ varepsilon]} кольцо двойных чисел а вертикальные отображения плоские, деформация имеет когомологическую интерпретацию как коциклы ж ~ α β ( z β , ε ) { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta} (z _ { beta}, varepsilon)} U α × Спецификация ( C [ ε ] ) { Displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}
z α = ж ~ α β ( z β , ε ) = ж α β ( z β ) + ε б α β ( z β ) { displaystyle z _ { alpha} = { tilde {f}} _ { alpha beta} (z _ { beta}, varepsilon) = f _ { alpha beta} (z _ { beta}) + варепсилон b _ { alpha beta} (z _ { beta})}
Если ж ~ α β { displaystyle { tilde {f}} _ { alpha beta}} Икс { displaystyle { mathfrak {X}}}
ж ~ α γ ( z γ , ε ) = ж ~ α β ( ж ~ β γ ( z γ , ε ) , ε ) = ж α β ( ж β γ ( z γ ) + ε б β γ ( z γ ) ) + ε б α β ( ж β γ ( z γ ) + ε б β γ ( z γ ) ) { displaystyle { begin {align} { tilde {f}} _ { alpha gamma} (z _ { gamma}, varepsilon) = & { tilde {f}} _ { alpha beta} ( { tilde {f}} _ { beta gamma} (z _ { gamma}, varepsilon), varepsilon) = & f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) & + varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) end {align}}}
Используя свойства двойственных чисел, а именно грамм ( а + б ε ) = грамм ( а ) + ε грамм ′ ( а ) б { displaystyle g (a + b varepsilon) = g (a) + varepsilon g '(a) b}
ж α β ( ж β γ ( z γ ) + ε б β γ ( z γ ) ) = ж α β ( ж β γ ( z γ ) ) + ε ∂ ж α β ∂ z α ( z α ) б β γ ( z γ ) { Displaystyle { begin {выровнен} е _ { альфа бета} (е _ { бета гамма} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma})) = & f _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma})) + varepsilon { frac { partial f _ { alpha beta}} { partial z _ { alpha}}} (z _ { alpha}) b _ { beta _ { gamma}} (z _ { gamma}) конец {выровнено}}}
и
ε б α β ( ж β γ ( z γ ) + ε б β γ ( z γ ) ) = ε б α β ( ж β γ ( z γ ) ) + ε 2 ∂ б α β ∂ z α ( z α ) б β γ ( z γ ) = ε б α β ( ж β γ ( z γ ) ) = ε б α β ( z β ) { Displaystyle { begin {align} varepsilon b _ { alpha beta} (е _ { beta gamma} (z _ { gamma}) + varepsilon b _ { beta gamma} (z _ { gamma}) ) = & varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma})) + varepsilon ^ {2} { frac { partial b _ { alpha beta}} { partial z _ { alpha}}} (z _ { alpha}) b _ { beta _ { gamma}} (z _ { gamma}) = & varepsilon b _ { alpha beta} (f _ { beta gamma} (z _ { gamma})) = & varepsilon b _ { alpha beta} (z _ { beta}) end {выровнено}}}
следовательно, условие коцикла на U α × Спецификация ( C [ ε ] ) { Displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}
б α γ = ∂ ж α β ∂ z β б β γ + б α β { displaystyle b _ { alpha gamma} = { frac { partial f _ { alpha beta}} { partial z _ { beta}}} b _ { beta gamma} + b _ { alpha beta} } ж α γ = ж α β ∘ ж β γ { displaystyle f _ { alpha gamma} = f _ { alpha beta} circ f _ { beta gamma}} Преобразование в коциклы векторных полей. Коцикл деформации легко преобразовать в коцикл векторных полей θ = { θ α β } ∈ C 1 ( U , Т Икс ) { displaystyle theta = { theta _ { alpha beta} } in C ^ {1} ({ mathcal {U}}, T_ {X})} ж ~ α β = ж α β + ε б α β { displaystyle { тильда {f}} _ { alpha beta} = f _ { alpha beta} + varepsilon b _ { alpha beta}}
θ α β = ∑ я = 1 п б α β я ∂ ∂ z α я { displaystyle theta _ { alpha beta} = sum _ {i = 1} ^ {n} b _ { alpha beta} ^ {i} { frac { partial} { partial z _ { alpha } ^ {i}}}}
которая является 1-коцепью. Тогда правило для карт переходов б α γ { displaystyle b _ { alpha gamma}} [ θ ] ∈ ЧАС 1 ( Икс , Т Икс ) { Displaystyle [ тета] в H ^ {1} (X, T_ {X})}
Использование векторных полей Одна из оригинальных построений этой карты использовала векторные поля в настройках дифференциальной геометрии и комплексного анализа.[1] т { displaystyle t}
ж я k α ( z k , т ) = ж я j α ( ж k j 1 ( z k , т ) , … , ж k j п ( z k , т ) , т ) { displaystyle f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t) = f_ {ij} ^ { alpha} (f_ {kj} ^ {1} (z_ {k}, t), ldots , f_ {kj} ^ {n} (z_ {k}, t), t)}
Тогда производная от ж я k α ( z k , т ) { displaystyle f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} т { displaystyle t}
∂ ж я k α ( z k , т ) ∂ т = ∂ ж я j α ( z j , т ) ∂ т + ∑ β = 0 п ∂ ж я j α ( z j , т ) ∂ ж j k β ( z k , т ) ⋅ ∂ ж j k β ( z k , т ) ∂ т { displaystyle { begin {align} { frac { partial f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} { partial t}} & = { frac { partial f_ {ij } ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { partial t}} + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { partial f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)}} cdot { frac { partial f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} { partial t}} конец {выровнено}}}
Обратите внимание, потому что z j β = ж j k β ( z k , т ) { displaystyle z_ {j} ^ { beta} = f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} z я α = ж я j α ( z j , т ) { displaystyle z_ {i} ^ { alpha} = f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)}
∂ ж я k α ( z k , т ) ∂ т = ∂ ж я j α ( z j , т ) ∂ т + ∑ β = 0 п ∂ z я α ∂ z j β ⋅ ∂ ж j k β ( z k , т ) ∂ т { displaystyle { begin {align} { frac { partial f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} { partial t}} & = { frac { partial f_ {ij } ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { partial t}} + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { partial z_ {i} ^ { alpha} } { partial z_ {j} ^ { beta}}} cdot { frac { partial f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} { partial t}} конец {выровнен}}}
Если мы используем запись голоморфного векторного поля с этими частными производными в качестве коэффициентов, то, поскольку
∂ ∂ z j β = ∑ α = 1 п ∂ z я α ∂ z j β ⋅ ∂ ∂ z я α { displaystyle { frac { partial} { partial z_ {j} ^ { beta}}} = sum _ { alpha = 1} ^ {n} { frac { partial z_ {i} ^ { alpha}} { partial z_ {j} ^ { beta}}} cdot { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}}}
получаем следующее уравнение векторных полей
∑ α = 0 п ∂ ж я k α ( z k , т ) ∂ т ∂ ∂ z я α = ∑ α = 0 п ∂ ж я j α ( z j , т ) ∂ т ∂ ∂ z я α + ∑ β = 0 п ∂ ж j k β ( z k , т ) ∂ т ∂ ∂ z j β { displaystyle { begin {align} sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {ik} ^ { alpha} (z_ {k}, t)} { partial t }} { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}} = & sum _ { alpha = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { partial t}} { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}} & + sum _ { beta = 0} ^ {n} { frac { partial f_ {jk} ^ { beta} (z_ {k}, t)} { partial t}} { frac { partial} { partial z_ {j} ^ { beta}}} конец {выровнено}}}
Переписывая это как векторные поля
θ я k ( т ) = θ я j ( т ) + θ j k ( т ) { Displaystyle тета _ {ik} (т) = тета _ {ij} (т) + тета _ {jk} (т)}
куда
θ я j ( т ) = ∂ ж я j α ( z j , т ) ∂ т ∂ ∂ z я α { displaystyle theta _ {ij} (t) = { frac { partial f_ {ij} ^ { alpha} (z_ {j}, t)} { partial t}} { frac { partial} { partial z_ {i} ^ { alpha}}}}
дает условие коцикла. Следовательно, это связало класс в ЧАС 1 ( M , Т M ) { Displaystyle Н ^ {1} (М, Т_ {М})}
В теории схем Деформации гладкой разновидности[5]
Икс → Икс ↓ ↓ Спецификация ( k ) → Спецификация ( k [ ε ] ) { displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (к [ varepsilon]) end {matrix}}}
имеют когомологически построенный класс Кодаиры-Спенсера. С этой деформацией связана короткая точная последовательность
0 → π ∗ Ω Спецификация ( k [ ε ] ) 1 → Ω Икс 1 → Ω Икс / S 1 → 0 { displaystyle 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}} (k [ varepsilon])} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} to 0}
(куда π : Икс → Спецификация ( k [ ε ] ) { displaystyle pi: { mathfrak {X}} to { text {Spec}} (k [ varepsilon])} О Икс { Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathfrak {X}}} О Икс { Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}
0 → О Икс → Ω Икс 1 ⊗ О Икс → Ω Икс 1 → 0 { displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1} otimes { mathcal {O}} _ {X} to Omega _ {X} ^ {1} to 0}
С помощью производные категории , это определяет элемент в
р Hom ( Ω Икс 1 , О Икс [ + 1 ] ) ≅ р Hom ( О Икс , Т Икс [ + 1 ] ) ≅ Ext 1 ( О Икс , Т Икс ) ≅ ЧАС 1 ( Икс , Т Икс ) { displaystyle { begin {align} mathbf {R} { text {Hom}} ( Omega _ {X} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X} [+ 1]) & cong mathbf {R} { text {Hom}} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X} [+ 1]) & cong { text {Ext}} ^ { 1} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X}) & cong H ^ {1} (X, T_ {X}) end {выровнено}}}
обобщение карты Кодаира – Спенсера. Обратите внимание, что это можно обобщить на любую гладкую карту. ж : Икс → Y { displaystyle f: от X до Y} Sch / S { displaystyle { text {Sch}} / S} ЧАС 1 ( Икс , Т Икс / Y ⊗ ж ∗ ( Ω Y / Z 1 ) ) { displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X / Y} otimes f ^ {*} ( Omega _ {Y / Z} ^ {1}))}
Кольчатых топоев Одно из самых абстрактных построений карт Кодаира – Спенсера происходит от котангенсные комплексы связаны с составом карт кольчатые топои
Икс → ж Y → Z { displaystyle X xrightarrow {f} от Y до Z}
Тогда с этой композицией ассоциируется выдающийся треугольник
ж ∗ L Y / Z → L Икс / Z → L Икс / Y → [ + 1 ] { displaystyle f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} to mathbf {L} _ {X / Z} to mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {[+ 1]}}
и эта граничная карта образует карту Кодаиры – Спенсера[6] K ( Икс / Y / Z ) { Displaystyle К (X / Y / Z)} ЧАС 1 ( Икс , Т Икс / Y ⊗ ж ∗ ( Ω Y / Z 1 ) ) { displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X / Y} otimes f ^ {*} ( Omega _ {Y / Z} ^ {1}))}
Примеры С аналитическими микробами Отображение Кодаиры – Спенсера при рассмотрении аналитических ростков легко вычислимо с использованием касательных когомологий в теория деформации и его версальные деформации.[7] ж ( z 1 , … , z п ) ∈ C { z 1 , … , z п } = ЧАС { Displaystyle е (z_ {1}, ldots, z_ {n}) in mathbb {C} {z_ {1}, ldots, z_ {n} } = H}
Т 1 = ЧАС d ж ⋅ ЧАС п { displaystyle T ^ {1} = { frac {H} {df cdot H ^ {n}}}}
Например, если ж = у 2 − Икс 3 { displaystyle f = y ^ {2} -x ^ {3}}
Т 1 = C { Икс , у } ( у , Икс 2 ) { Displaystyle Т ^ {1} = { гидроразрыва { mathbb {C} {х, у }} {(у, х ^ {2})}}}
следовательно, произвольная деформация задается формулой F ( Икс , у , а 1 , а 2 ) = у 2 − Икс 3 + а 1 + а 2 Икс { displaystyle F (x, y, a_ {1}, a_ {2}) = y ^ {2} -x ^ {3} + a_ {1} + a_ {2} x} v ∈ Т 0 ( C 2 ) { displaystyle v in T_ {0} ( mathbb {C} ^ {2})}
∂ ∂ а 1 , ∂ ∂ а 2 { displaystyle { frac { partial} { partial a_ {1}}}, { frac { partial} { partial a_ {2}}}}
там карта K S : v ↦ v ( F ) { Displaystyle KS: v mapsto v (F)}
ϕ 1 ∂ ∂ а 1 + ϕ 2 ∂ ∂ а 2 ↦ ϕ 1 ∂ F ∂ а 1 + ϕ 2 ∂ F ∂ а 2 = ϕ 1 + ϕ 2 ⋅ Икс { displaystyle { begin {align} phi _ {1} { frac { partial} { partial a_ {1}}} + phi _ {2} { frac { partial} { partial a_ { 2}}} mapsto & phi _ {1} { frac { partial F} { partial a_ {1}}} + phi _ {2} { frac { partial F} { partial a_ { 2}}} & = phi _ {1} + phi _ {2} cdot x конец {выровнено}}}
Об аффинных гиперповерхностях с кокасательным комплексом Для аффинной гиперповерхности я : Икс 0 ↪ А п → Спецификация ( k ) { displaystyle i: X_ {0} hookrightarrow mathbb {A} ^ {n} to { text {Spec}} (k)} k { displaystyle k} ж { displaystyle f}
я ∗ L А п / Спецификация ( k ) → L Икс 0 / Спецификация ( k ) → L Икс 0 / А п → [ + 1 ] { displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}}
Затем, применяя р ЧАС о м ( − , О Икс 0 ) { displaystyle mathbf {RHom} (-, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
RHom ( я ∗ L А п / Спецификация ( k ) , О Икс 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( L Икс 0 / Спецификация ( k ) , О Икс 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( L Икс 0 / А п , О Икс 0 [ + 1 ] ) ← RHom ( я ∗ L А п / Спецификация ( k ) , О Икс 0 ) ← RHom ( L Икс 0 / Спецификация ( k ) , О Икс 0 ) ← RHom ( L Икс 0 / А п , О Икс 0 ) { displaystyle { begin {align} & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k) }, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) end {выровнено}}}
Напомним, что существует изоморфизм
RHom ( L Икс 0 / Спецификация ( k ) , О Икс 0 [ + 1 ] ) ≅ Ext 1 ( L Икс 0 / Спецификация ( k ) , О Икс 0 ) { displaystyle { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [ +1]) cong { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
из общей теории производных категорий, а группа ext классифицирует деформации первого порядка. Затем эта группа может быть вычислена путем ряда сокращений. Во-первых, поскольку L А п / Спецификация ( k ) ≅ Ω А п / Спецификация ( k ) 1 { displaystyle mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} cong Omega _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} ^ {1}} RHom ( я ∗ L А п / Спецификация ( k ) , О Икс 0 [ + 1 ] ) = 0 { displaystyle { textbf {RHom}} (я ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O }} _ {X_ {0}} [+ 1]) = 0} L Икс 0 / А п ≅ я / я 2 [ + 1 ] { displaystyle mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1] }
RHom ( L Икс 0 / А п , О Икс 0 [ + 1 ] ) ≅ RHom ( я / я 2 [ + 1 ] , О Икс 0 [ + 1 ] ) ≅ RHom ( я / я 2 , О Икс 0 ) ≅ Ext 0 ( я / я 2 , О Икс 0 ) ≅ Hom ( я / я 2 , О Икс 0 ) ≅ О Икс 0 { displaystyle { begin {align} { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1], { mathcal {O} } _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Ext}} ^ {0} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Hom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {align}}}
Последний изоморфизм происходит от изоморфизма я / я 2 ≅ я ⊗ О А п О Икс 0 { displaystyle { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} cong { mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}}
Hom О Икс 0 ( я ⊗ О А п О Икс 0 , О Икс 0 ) { displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {O}} _ {X_ {0}}} ({ mathcal {I}} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {A} ^ {n}}} { mathcal {O}} _ {X_ {0}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})} [ грамм ж ] ↦ грамм ′ грамм + ( ж ) { displaystyle [gf] mapsto g'g + (f)}
дающий желаемый изоморфизм. Из котангенсной последовательности
( ж ) ( ж ) 2 → [ грамм ] ↦ d грамм ⊗ 1 Ω А п 1 ⊗ О Икс 0 → Ω Икс 0 / Спецификация ( k ) 1 → 0 { displaystyle { frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} ^ {1} to 0}
(который является усеченной версией фундаментального треугольника) связующее отображение длинной точной последовательности является двойственным к [ грамм ] ↦ d грамм ⊗ 1 { displaystyle [g] mapsto dg otimes 1}
Ext 1 ( L Икс 0 / k , О Икс 0 ) ≅ k [ Икс 1 , … , Икс п ] ( ж , ∂ ж ∂ Икс 1 , … , ∂ ж ∂ Икс п ) { displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong { frac {k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} { left (f, { frac { partial f} { partial x_ {1}}}, ldots, { frac { partial) f} { partial x_ {n}}} right)}}}
Обратите внимание, что это вычисление может быть выполнено с использованием последовательности котангенса и вычисления Ext 1 ( Ω Икс 0 1 , О Икс 0 ) { displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( Omega _ {X_ {0}} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})} [8]
k [ ε ] [ Икс 1 , … , Икс п ] ж + ε грамм { Displaystyle { гидроразрыва {к [ varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {е + varepsilon g}}}
к элементу грамм ∈ Ext 1 ( L Икс 0 / k , О Икс 0 ) { displaystyle g in { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}
Смотрите также Рекомендации ^ а б Кодаира (2005). Сложные многообразия и деформации сложных структур. 182 –184, 188–189. Дои :10.1007 / b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7 ^ Хайбрехтс 2005 , 6.2.6.^ Основное различие между комплексным многообразием и комплексным пространством состоит в том, что последнее может иметь нильпотент. ^ Арбарелло; Корнальба; Гриффитс (2011). Геометрия алгебраических кривых II ISBN 9783540426882 ^ Сернези. «Обзор классической теории деформации» (PDF) . В архиве (PDF) из оригинала 27.04.2020. ^ Иллюзи, Л. Котангенс комплекса; приложение а ля теория деформаций (PDF) . ^ Паламодов (1990). «Деформации сложных пространств». Несколько сложных переменных IV . Энциклопедия математических наук. 10 . С. 138, 130. Дои :10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6 ^ Талпо, Маттиа; Вистоли, Анджело (30 января 2011). «Теория деформации с точки зрения расслоенных категорий». с. 25, упражнение 3.25. arXiv :1006.0497 math.AG ]. Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: введение . Springer. ISBN 3-540-21290-6 Кодаира, Кунихико (1986), Сложные многообразия и деформации сложных структур 283 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96188-0 МИСТЕР 0815922 Пост Mathoverflow, связывающий деформации с якобиевым кольцом .
![{ displaystyle { mathcal {X}} to S = operatorname {Spec} (k [t] / t ^ {2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30475ba09bd358c8f59805d8ddfd96da18b64d1)
![{ displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} ( mathbb {C}) & to & { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon]) end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e30505f5d9f07a6c2fba43cfc69da1533de3d2)
![{ Displaystyle mathbb {C} [ varepsilon]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34804818afb815199af6ef94b76ee23cf08ee284)
![{ Displaystyle U _ { alpha} times { text {Spec}} ( mathbb {C} [ varepsilon])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b57f4615e5dc110045c96f53f5f5d4d121a50c)
![{ Displaystyle [ тета] в H ^ {1} (X, T_ {X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ded99a5758f4092daa2a210c878e811224486c7)
![{ displaystyle { begin {matrix} X & to & { mathfrak {X}} downarrow && downarrow { text {Spec}} (k) & to & { text {Spec}} (к [ varepsilon]) end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1187fa90674efb7b13b591e3ea76e9550e7d6576)
![{ displaystyle 0 to pi ^ {*} Omega _ {{ text {Spec}} (k [ varepsilon])} ^ {1} to Omega _ { mathfrak {X}} ^ {1 } to Omega _ {{ mathfrak {X}} / S} ^ {1} to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb8f33b5ec1b81fb489a005aa9ab3cafa5b1e0b)
![{ displaystyle pi: { mathfrak {X}} to { text {Spec}} (k [ varepsilon])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05153dcd48df6c35213696b8c785b997448d1e7)
![{ displaystyle { begin {align} mathbf {R} { text {Hom}} ( Omega _ {X} ^ {1}, { mathcal {O}} _ {X} [+ 1]) & cong mathbf {R} { text {Hom}} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X} [+ 1]) & cong { text {Ext}} ^ { 1} ({ mathcal {O}} _ {X}, T_ {X}) & cong H ^ {1} (X, T_ {X}) end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f7c4e4ff752ae431f69a6a305c07d75bc69917)
![{ displaystyle f ^ {*} mathbf {L} _ {Y / Z} to mathbf {L} _ {X / Z} to mathbf {L} _ {X / Y} xrightarrow {[+ 1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db96dd778212c872d7cd3a34be5b271ea696d9c5)
![{ displaystyle i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} to mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} xrightarrow {[+1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca3e85f5526fce3e3ac17aa1dfcb0a0faa58ce8)
![{ displaystyle { begin {align} & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k) }, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A } ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) leftarrow & { textbf {RHom}} (i ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) leftarrow { textbf {RHom}} ( mathbf { L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007307d8ab00c6056eb3b858dcf0dd8842655aa7)
![{ displaystyle { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [ +1]) cong { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79f0717ae6ff55e7a3301d375da8519d786502)
![{ displaystyle { textbf {RHom}} (я ^ {*} mathbf {L} _ { mathbb {A} ^ {n} / { text {Spec}} (k)}, { mathcal {O }} _ {X_ {0}} [+ 1]) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326577be3d2b4cdf3d02d3e7d029a35e10c18c27)
![{ displaystyle mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}} cong { mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a046e040a442362171f9e935f495b3f3ef59d620)
![{ displaystyle { begin {align} { textbf {RHom}} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / mathbb {A} ^ {n}}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2} [+ 1], { mathcal {O} } _ {X_ {0}} [+ 1]) cong & { textbf {RHom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Ext}} ^ {0} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong & { text {Hom}} ({ mathcal {I}} / { mathcal {I}} ^ {2}, { mathcal { O}} _ {X_ {0}}) cong & { mathcal {O}} _ {X_ {0}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4341124a6873fd252efe0d2bf6df3bead730874)
![{ displaystyle [gf] mapsto g'g + (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49f01a5aedd883f7d82ad2215118addebb5eefb)
![{ displaystyle { frac {(f)} {(f) ^ {2}}} xrightarrow {[g] mapsto dg otimes 1} Omega _ { mathbb {A} ^ {n}} ^ { 1} otimes { mathcal {O}} _ {X_ {0}} to Omega _ {X_ {0} / { text {Spec}} (k)} ^ {1} to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3c0293fef716bfdd4e6966326e285eadf4d14e)
![{ displaystyle [g] mapsto dg otimes 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba83ee8833e47d537d7f219fa9628391addd6129)
![{ displaystyle { text {Ext}} ^ {1} ( mathbf {L} _ {X_ {0} / k}, { mathcal {O}} _ {X_ {0}}) cong { frac {k [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} { left (f, { frac { partial f} { partial x_ {1}}}, ldots, { frac { partial) f} { partial x_ {n}}} right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5265002fa428a4d86ad340846ec413d36064ae6)
![{ Displaystyle { гидроразрыва {к [ varepsilon] [x_ {1}, ldots, x_ {n}]} {е + varepsilon g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf2364ffcec9450d453c25c7c60a7e3c08ad1e0)
