Кольчатые топосы - Ringed topos

В математике окольцованный топос является обобщением окольцованное пространство; то есть понятие получается заменой "топологическое пространство "по"топос ". Понятие окольцованного топоса имеет приложения к теории деформации в алгебраическая геометрия (ср. котангенс комплекс ) и математическая основа квантовая механика. В последней теме Bohr topos окольцованный топос, играющий роль квантовой фазовое пространство.^[1]^[2]

Определение топос-версии «локально окольцованного пространства» непросто, поскольку значение слова «локальный» в этом контексте неочевидно. Можно ввести понятие местно окольцованные топосы вводя своего рода геометрические условия местные кольца (см. SGA4, Exposé IV, Exercise 13.9), что эквивалентно утверждению, что все стебли объекта структурного кольца являются локальными кольцами, когда есть достаточно очков.

Морфизмы

Морфизм ${ displaystyle (T, { mathcal {O}} _ {T}) to (T ', { mathcal {O}} _ {T'})}$ кольчатых топосов - это пара, состоящая из морфизма топосов ${ displaystyle f: T to T '}$ и гомоморфизм колец ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {T '} to f _ {*} { mathcal {O}} _ {T}}$ .

Если заменить «топос» на ∞-топос, то возникает понятие окольцованный ∞-топос.

Примеры

Кольцевые топосы топологического пространства

Один из ключевых мотивирующих примеров кольцевых топосов исходит из топологии. Рассмотрим сайт ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ топологического пространства ${ displaystyle X}$ , а пучок непрерывных функций

${ displaystyle C_ {X} ^ {0}: { text {Open}} (X) ^ {op} to { text {CRing}}}$

отправка объекта ${ displaystyle U in { text {Open}} (X)}$ , открытое подмножество ${ displaystyle X}$ , к кольцу непрерывных функций ${ Displaystyle C_ {X} ^ {0} (U)}$ на ${ displaystyle U}$ . Тогда пара ${ displaystyle ({ text {Sh}} ({ text {Open}} (X)), C_ {X} ^ {0})}$ образует кольчатую верхушку. Обратите внимание, что это можно обобщить на любое окольцованное пространство. ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ куда

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}: { text {Open}} (X) ^ {op} to { text {Rings}}}$

так пара ${ displaystyle ({ text {Sh}} ({ text {Open}} (X)), { mathcal {O}} _ {X})}$ окольцованный топос.

Обведены топосы схемы

Другой ключевой пример - обведенные кружком топосы, связанные со схемой. ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ , который снова является окольцованным топосом, связанным с лежащим ниже локально окольцованным пространством.

Связь с функтором точек

Напомним, что функтор точек с точки зрения теории схем определяет схему ${ displaystyle X}$ как функтор ${ displaystyle X: { text {CAlg}} to { text {Sets}}}$ которое удовлетворяет условию пучка и условию склейки^[3]. То есть для любой открытой крышки ${ displaystyle { text {Spec}} (R_ {f_ {i}}) to { text {Spec}} (R)}$ аффинных схем существует следующая точная последовательность

${ Displaystyle X (R) to prod X (R_ {f_ {i}}) rightrightarrows prod X (R_ {f_ {i} f_ {j}})}$

Также должны существовать открытые аффинные подфункторы

${ displaystyle U_ {i} = { text {Spec}} (A_ {i}) = { text {Hom}} _ { text {CAlg}} (A_ {i}, -)}$

покрытие ${ displaystyle X}$ , то есть для любого ${ displaystyle xi in X (R)}$ , Существует ${ Displaystyle xi | _ {U_ {i}} в U_ {i} (R)}$ . Тогда есть топос, связанный с ${ displaystyle X}$ чей основной сайт является сайтом открытых подфункций. Этот сайт изоморфен сайту, связанному с нижележащим топологическим пространством окольцованного пространства, соответствующего схеме. Затем теория топосов дает возможность построить теорию схем без использования локально окольцованных пространств с использованием связанных локально окольцованных топосов.

Кольчатые топы наборов

Категория множеств эквивалентна категории пучков в категории с одним объектом и только тождественным морфизмом, поэтому ${ displaystyle { text {Sh}} (*) cong { text {Sets}}}$ . Тогда для любого кольца ${ displaystyle A}$ , имеется связанный пучок ${ displaystyle { text {Hom}} _ {Sets} (-, A): { text {Sets}} ^ {op} to { text {Rings}}}$ . Это можно использовать для поиска игрушечных примеров морфизмов окольцованных топоев.

Примечания

^ Шрайбер, Урс (2011-07-25). "Боровские топы". Кафе n-категории. Получено 2018-02-19.
^ Хойнен, Крис; Landsman, Nicolaas P .; Спиттерс, Бас (2009-10-01). «Топос для алгебраической квантовой теории». Коммуникации по математической физике. 291 (1): 63–110. arXiv:0709.4364. Bibcode:2009CMaPh.291 ... 63H. Дои:10.1007 / s00220-009-0865-6. ISSN 0010-3616.
^ «Раздел 26.15 (01JF): критерий представимости - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-04-28.