Линейная инвариантная во времени система - Linear time-invariant system

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Системный анализ, среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени система (или «система LTI») - это система, которая производит выходной сигнал из любого входного сигнала с учетом ограничений линейность и временная инвариантность; эти термины кратко определены ниже. Эти свойства применимы (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае отклик у (т) системы на произвольный вход х (т) можно найти напрямую, используя свертка: у (т) = х (т) * ч (т) куда ч (т) называется системным импульсивный ответ и * представляет свертку (не путать с умножением, как часто используется символ в компьютерные языки ). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определение ч (т)), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно труднее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей.^[1]

Теория линейных инвариантных во времени систем также используется в обработка изображений, где системы имеют пространственные измерения вместо временного измерения или в дополнение к нему. Эти системы могут называться линейный трансляционно-инвариантный чтобы дать терминологию наиболее общий охват. В случае общего дискретное время (т.е. отобранный ) системы, линейный инвариантный к сдвигу - соответствующий член. Теория систем LTI - это область Прикладная математика который имеет прямое применение в анализ и проектирование электрических цепей, обработка сигналов и конструкция фильтра, теория управления, машиностроение, обработка изображений, дизайн измерительные приборы многих видов, ЯМР-спектроскопия^{[нужна цитата ]}, и многие другие технические области, где системы обыкновенные дифференциальные уравнения представить себя.

Обзор

Определяющими свойствами любой системы LTI являются: линейность и неизменность во времени.

• Линейность означает, что отношения между входом и выходом являются результатом линейные дифференциальные уравнения, то есть дифференциальные уравнения, использующие только линейные операторы. Линейная система, отображающая вход х (т) к выходу у (т) нанесет на карту масштабированный Вход топор (т) к выходу ау (т) аналогично масштабируется с тем же коэффициентом а. И принцип суперпозиции применяется к линейной системе: если система отображает входы Икс₁(т) и Икс₂(т) к выходам у₁(т) и у₂(т) соответственно, тогда он отобразит Икс₃(t) = х₁(т) + х₂(т) к выходу у₃(т) куда у₃(t) = y₁(т) + у₂(т).

• Инвариантность во времени означает, что применяем ли мы ввод к системе сейчас или Т секунд, вывод будет идентичным, за исключением временной задержки Т секунд. То есть, если вывод из-за ввода ${ Displaystyle х (т)}$ является ${ Displaystyle у (т)}$, то вывод за счет ввода ${ Displaystyle х (т-Т)}$ является ${ Displaystyle у (т-Т)}$. Следовательно, система инвариантна во времени, потому что выходные данные не зависят от конкретного времени, когда применяется вход.

Фундаментальный результат теории систем LTI заключается в том, что любую систему LTI можно полностью охарактеризовать одной функцией, называемой системной импульсивный ответ. Выход системы у (т) это просто свертка входа в систему х (т) с импульсной характеристикой системы ч (т). Это называется непрерывное время система. Аналогичным образом, линейная инвариантная во времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем определяется как система, работающая в дискретное время: у_я = х_я * ч_я где y, x и h - последовательности а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл.

Отношения между область времени и частотная область

Системы LTI также можно охарактеризовать частотная область системой функция передачи, какой Преобразование Лапласа импульсной характеристики системы (или Z преобразование в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входа. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.

Для всех систем LTI собственные функции, а базисные функции преобразований равны сложный экспоненты. Это если вход в систему представляет собой сигнал сложной формы. ${ displaystyle A_ {s} e ^ {st}}$ для некоторой комплексной амплитуды ${ displaystyle A_ {s}}$ и комплексная частота ${ displaystyle s}$, на выходе будет некоторая комплексная константа, умноженная на вход, скажем ${ displaystyle B_ {s} e ^ {st}}$ для некоторой новой комплексной амплитуды ${ displaystyle B_ {s}}$. Соотношение ${ displaystyle B_ {s} / A_ {s}}$ - передаточная функция на частоте ${ displaystyle s}$.

С синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряженными частотами, если вход в систему является синусоидой, то выход системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитуда и другой фаза, но всегда с той же частотой по достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут создавать частотные компоненты, которых нет на входе.

Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются "простыми" для анализа, по крайней мере, по сравнению с изменяющимися во времени и / или нелинейный дело. Любая система, которую можно смоделировать как линейную дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами - это система LTI. Примеры таких систем: электрические схемы состоит из резисторы, индукторы, и конденсаторы (Цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.

Большинство концепций системы LTI схожи между случаями непрерывного и дискретного времени (линейный инвариантный сдвиг). При обработке изображений временная переменная заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется двумерной инвариантностью сдвига. При анализе банки фильтров и MIMO систем, часто бывает полезно рассмотреть векторов сигналов.

Линейная система, не инвариантная во времени, может быть решена с использованием других подходов, таких как Зеленая функция метод. Тот же метод необходимо использовать, когда начальные условия проблемы не равны нулю.^{[нужна цитата ]}

Системы непрерывного времени

Импульсная характеристика и свертка

Поведение линейной системы с непрерывным временем и неизменной во времени системой с входным сигналом Икс(т) и выходной сигнал у(т) описывается интегралом свертки:^[2]

${ Displaystyle у (т) = (х * ч) (т) ,}$	${ displaystyle {} quad { stackrel { mathrm {def}} {=}} int limits _ {- infty} ^ { infty} x (t- tau) cdot h ( tau) , mathrm {d} tau}$
	${ displaystyle {} quad = int limits _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot h (t- tau) , mathrm {d} tau,}$ (с помощью коммутативность )

куда ${ Displaystyle textstyle ч (т)}$ это реакция системы на импульс:  ${ Displaystyle textstyle х ( тау) = дельта ( тау).}$   ${ Displaystyle textstyle у (т)}$ поэтому пропорционален средневзвешенному значению входной функции ${ Displaystyle textstyle х ( тау).}$ Весовая функция ${ Displaystyle textstyle ч (- тау),}$ просто сдвинут на сумму ${ displaystyle textstyle t.}$ В качестве ${ displaystyle textstyle t}$ изменяется, весовая функция выделяет различные части входной функции. Когда ${ Displaystyle textstyle ч ( тау)}$ равен нулю для всех отрицательных ${ displaystyle textstyle tau,}$  ${ Displaystyle textstyle у (т)}$ зависит только от значений ${ displaystyle textstyle x}$ раньше времени ${ displaystyle textstyle t,}$ и система называется причинный.

Чтобы понять, почему свертка дает результат системы LTI, пусть обозначение ${ Displaystyle textstyle {х (и- тау); и }}$ представляют функцию ${ Displaystyle textstyle х (и- тау)}$ с переменной ${ displaystyle textstyle u}$ и постоянный ${ displaystyle textstyle tau.}$ И пусть более короткие обозначения ${ Displaystyle textstyle {х } ,}$ представлять ${ Displaystyle textstyle {х (и); и }.}$ Затем система с непрерывным временем преобразует входную функцию, ${ Displaystyle textstyle {х },}$ в функцию вывода, ${ displaystyle textstyle {y }}$. И вообще, каждое значение вывода может зависеть от каждого значения ввода. Эта концепция представлена:

${ displaystyle y (t) { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t} {x },}$

куда ${ displaystyle textstyle O_ {t}}$ является оператором преобразования времени ${ displaystyle textstyle t}$. В типичной системе ${ Displaystyle textstyle у (т)}$ наиболее сильно зависит от значений ${ displaystyle textstyle x}$ это произошло недалеко от времени ${ displaystyle textstyle t.}$ Если только преобразование не изменится с ${ displaystyle textstyle t,}$ функция вывода просто постоянна, и система неинтересна.

Для линейной системы ${ displaystyle textstyle O}$ должен удовлетворить Уравнение 1 :

${ Displaystyle O_ {T} left { int limits _ {- infty} ^ { infty} c _ { tau} x _ { tau} (u) , mathrm {d} tau; u right } = int limits _ {- infty} ^ { infty} c _ { tau} underbrace {y _ { tau} (t)} _ {O_ {t} {x_ { tau} }} , mathrm {d} tau. ,}$

(Уравнение 2)

И требование временной инвариантности:

${ displaystyle { begin {align} O_ {t} {x (u- tau); u } & { stackrel { quad} {=}} y (t- tau) & { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t- tau} {x }. , end {выравнивается}}}$

(Уравнение 3)

В этих обозначениях мы можем записать импульсивный ответ в качестве${ displaystyle textstyle h (t) { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t} { delta (u); u }.}$

по аналогии:

${ Displaystyle ч (т- тау) ,}$	${ displaystyle {} { stackrel { text {def}} {=}} O_ {t- tau} { delta (u); u }}$
	${ Displaystyle {} = О_ {т} { дельта (и- тау); и }. ,}$ (с помощью Уравнение 3)

Подставляя этот результат в интеграл свертки:

${ Displaystyle { begin {align} (х * ч) (т) & = int limits _ {- infty} ^ { infty} х ( тау) cdot ч (т- тау) , mathrm {d} tau [4pt] & = int limits _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot O_ {t} { delta (u- tau) ; u } , mathrm {d} tau, , end {align}}}$

который имеет вид правой части Уравнение 2 для случая ${ Displaystyle textstyle с _ { тау} = х ( тау)}$ и ${ displaystyle textstyle x _ { tau} (u) = delta (u- tau).}$
Уравнение 2 затем разрешает это продолжение:

${ Displaystyle { begin {align} (х * ч) (т) & = O_ {t} left { int limits _ {- infty} ^ { infty} x ( tau) cdot дельта (u- tau) , mathrm {d} tau; u right } & = O_ {t} left {x (u); u right } & { stackrel { text {def}} {=}} y (t). , end {align}}}$

Таким образом, функция ввода, ${ Displaystyle textstyle {х },}$ может быть представлен континуумом импульсных функций со сдвигом во времени, объединенных «линейно», как показано на Уравнение 1. Свойство линейности системы позволяет представить реакцию системы в виде соответствующего континуума импульса. ответы, совмещены таким же образом. И свойство временной инвариантности позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки.

Вышеупомянутые математические операции имеют простое графическое моделирование.^[3]

Экспоненты как собственные функции

An собственная функция - функция, для которой вывод оператора является масштабированной версией той же функции. То есть,

${ displaystyle { mathcal {H}} f = lambda f,}$

куда ж - собственная функция и ${ displaystyle lambda}$ это собственное значение, постоянная.

В экспоненциальные функции ${ displaystyle Ae ^ {st}}$, куда ${ displaystyle A, s in mathbb {C}}$, находятся собственные функции из линейный, неизменный во времени оператор. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что на входе ${ displaystyle x (t) = Ae ^ {st}}$. Выход системы с импульсной характеристикой ${ Displaystyle ч (т)}$ затем

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} h (t- tau) Ae ^ {s tau} , operatorname {d} tau}$

которое в силу коммутативности свертка, эквивалентно

${ displaystyle { begin {align} overbrace { int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) , Ae ^ {s (t- tau)} , operatorname {d} tau} ^ {{ mathcal {H}} f} & = int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) , Ae ^ {st} e ^ {- s tau} , operatorname {d} tau & = Ae ^ {st} int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) , e ^ {- s tau} , operatorname { d} tau & = overbrace { underbrace {Ae ^ {st}} _ { text {Input}}} ^ {f} overbrace { underbrace {H (s)} _ { text {Скаляр }}} ^ { лямбда}, конец {выровнено}}}$

где скаляр

${ displaystyle H (s) { stackrel { text {def}} {=}} int _ {- infty} ^ { infty} h (t) e ^ {- st} , operatorname {d} t}$

зависит только от параметра s.

Таким образом, ответ системы - это масштабированная версия ввода. В частности, для любых ${ displaystyle A, s in mathbb {C}}$, выход системы - это произведение входных ${ displaystyle Ae ^ {st}}$ и постоянная ${ displaystyle H (s)}$. Следовательно, ${ displaystyle Ae ^ {st}}$ является собственная функция системы LTI, и соответствующие собственное значение является ${ displaystyle H (s)}$.

Прямое доказательство

Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.

Давай установим ${ Displaystyle v (т) = е ^ {я омега т}}$ некоторые комплексные экспоненты и ${ Displaystyle v_ {а} (т) = е ^ {я омега (т + а)}}$ его версия со сдвигом во времени.

${ displaystyle H [v_ {a}] (t) = e ^ {я omega a} H [v] (t)}$ по линейности по постоянной ${ Displaystyle е ^ {я омега а}}$ .

${ Displaystyle H [v_ {a}] (t) = H [v] (t + a)}$ по неизменности во времени ${ displaystyle H}$ .

Так ${ Displaystyle Н [v] (t + a) = е ^ {я омега а} H [v] (t)}$. Параметр ${ displaystyle t = 0}$ и переименовав получаем:

${ Displaystyle Н [v] ( тау) = е ^ {я омега тау} Н [v] (0)}$

т.е. что комплексная экспонента ${ Displaystyle е ^ {я омега тау}}$ поскольку входной сигнал даст комплексную экспоненту той же частоты, что и выход.

Преобразования Фурье и Лапласа

Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Односторонний Преобразование Лапласа

${ displaystyle H (s) { stackrel { text {def}} {=}} { mathcal {L}} {h (t) } { stackrel { text {def}} { =}} int _ {0} ^ { infty} h (t) e ^ {- st} , operatorname {d} t}$

именно так можно получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (т. Е. Экспоненциальные функции вида ${ displaystyle e ^ {j omega t}}$ куда ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$ и ${ displaystyle j { stackrel { text {def}} {=}} { sqrt {-1}}}$). В преобразование Фурье ${ Displaystyle Н (J omega) = { mathcal {F}} {ч (т) }}$ дает собственные значения для чистых сложных синусоид. Оба ${ displaystyle H (s)}$ и ${ displaystyle H (j omega)}$ называются системная функция, ответ системы, или же функция передачи.

Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю для всех значений т меньше некоторого значения. Обычно это «время начала» устанавливается равным нулю для удобства и без потери общности, причем интеграл преобразования берется от нуля до бесконечности (преобразование, показанное выше с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности, формально известно как двустороннее преобразование Лапласа ).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, которые обрабатывают бесконечно протяженные сигналы, такие как модулированные синусоиды, даже если его нельзя напрямую применять к входным и выходным сигналам, которые не являются квадратично интегрируемый. Преобразование Лапласа фактически работает непосредственно для этих сигналов, если они равны нулю до момента начала, даже если они не интегрируются с квадратом для стабильных систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов через Теорема Винера – Хинчина даже когда преобразования Фурье сигналов не существуют.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходной сигнал системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования.

${ displaystyle y (t) = (h * x) (t) { stackrel { text {def}} {=}} int _ {- infty} ^ { infty} h (t- tau) x ( tau) , operatorname {d} tau { stackrel { text {def}} {=}} { mathcal {L}} ^ {- 1} {H (s) X (s) }.}$

Можно использовать отклик системы напрямую, чтобы определить, как любой конкретный частотный компонент обрабатывается системой с этим преобразованием Лапласа. Если мы оценим реакцию системы (преобразование Лапласа импульсной характеристики) на комплексной частоте s = jω, куда ω = 2πf, получаем |ЧАС(s) | что является усилением системы для частоты ж. Относительный фазовый сдвиг между выходом и входом для этой частотной составляющей также определяется выражением arg (H (s)).

Примеры

• Простым примером оператора LTI является производная.
  • ${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} left (c_ {1} x_ {1} (t) + c_ {2} x_ {2} (t) right ) = c_ {1} x '_ {1} (t) + c_ {2} x' _ {2} (t)}$ (т.е. линейно)
  • ${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} x (t- tau) = x '(t- tau)}$ (т. е. не зависит от времени)

Когда выполняется преобразование Лапласа производной, оно преобразуется в простое умножение на переменную Лапласа s.

${ displaystyle { mathcal {L}} left {{ frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} x (t) right } = sX (s)}$

То, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, частично объясняет полезность этого преобразования.

• Еще один простой оператор LTI - это оператор усреднения.

${ displaystyle { mathcal {A}} left {x (t) right } { stackrel { text {def}} {=}} int _ {ta} ^ {t + a} x ( lambda) , operatorname {d} lambda.}$

По линейности интегрирования

${ Displaystyle { begin {align} { mathcal {A}} {c_ {1} x_ {1} (t) + c_ {2} x_ {2} (t) } & = int _ {ta } ^ {t + a} (c_ {1} x_ {1} ( lambda) + c_ {2} x_ {2} ( lambda)) , operatorname {d} lambda & = c_ {1 } int _ {ta} ^ {t + a} x_ {1} ( lambda) , operatorname {d} lambda + c_ {2} int _ {ta} ^ {t + a} x_ {2 } ( lambda) , operatorname {d} lambda & = c_ {1} { mathcal {A}} {x_ {1} (t) } + c_ {2} { mathcal {A }} {x_ {2} (t) }, конец {выровнено}}}$

он линейный. Кроме того, поскольку

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {A}} left {x (t- tau) right } & = int _ {ta} ^ {t + a} x ( lambda - tau) , operatorname {d} lambda & = int _ {(t- tau) -a} ^ {(t- tau) + a} x ( xi) , operatorname { d} xi & = { mathcal {A}} {x } (t- tau), end {align}}}$

он неизменен во времени. Фактически, ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ можно записать в виде свертки с функция товарного вагона ${ Displaystyle Pi (т)}$. То есть,

${ Displaystyle { mathcal {A}} left {x (t) right } = int _ {- infty} ^ { infty} Pi left ({ frac { lambda -t} {2a}} right) x ( lambda) , operatorname {d} lambda,}$

где функция товарного вагона

${ displaystyle Pi (t) { stackrel { text {def}} {=}} { begin {cases} 1 & { text {if}} | t | <{ frac {1} {2 }}, 0 & { text {if}} | t |> { frac {1} {2}}. End {cases}}}$

Важные системные свойства

Некоторые из наиболее важных свойств системы - это причинность и стабильность. Причинность является необходимостью для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.

Причинно-следственная связь

Система является причинной, если выход зависит только от нынешних и прошлых, но не будущих входов. Необходимым и достаточным условием причинности является

${ Displaystyle H (T) = 0 quad forall t <0,}$

куда ${ Displaystyle ч (т)}$ это импульсный отклик. В целом невозможно определить причинно-следственную связь из Двустороннее преобразование Лапласа. Однако при работе во временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа что требует причинности.

Стабильность

Система ограниченный вход, стабильный ограниченный выход (BIBO стабильный), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый ввод удовлетворяет

${ Displaystyle | х (т) | _ { infty} < infty}$

приводит к выходу, удовлетворяющему

${ Displaystyle | Y (T) | _ { infty} < infty}$

(то есть конечный максимальное абсолютное значение из ${ Displaystyle х (т)}$ следует конечное максимальное абсолютное значение ${ Displaystyle у (т)}$), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что ${ Displaystyle ч (т)}$, импульсная характеристика находится в L¹ (имеет конечное L¹ норма):

${ displaystyle | h (t) | _ {1} = int _ {- infty} ^ { infty} | h (t) | , operatorname {d} t < infty.}$

В частотной области область конвергенции должен содержать мнимую ось ${ displaystyle s = j omega}$.

Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой равной функция sinc не является BIBO-устойчивым, поскольку функция sinc не имеет конечного L¹ норма. Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот неограничен. В частности, если вход равен нулю для ${ Displaystyle т <0 ,}$ и равняется синусоиде на частота среза за ${ displaystyle t> 0 ,}$, то выход будет неограниченным все время, кроме пересечений нуля.^{[сомнительный – обсуждать]}

Системы с дискретным временем

Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.

Системы с дискретным временем из систем с непрерывным временем

Во многих контекстах система с дискретным временем (DT) на самом деле является частью более крупной системы непрерывного времени (CT). Например, система цифровой записи принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.

В практических системах полученные сигналы DT обычно представляют собой однородно дискретизированные версии сигналов CT. Если ${ Displaystyle х (т)}$ сигнал CT, то схема отбора проб использовался до аналого-цифровой преобразователь преобразует его в сигнал DT:

${ displaystyle x_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} x (nT) qquad forall , n in mathbb {Z},}$

куда Т это период выборки. Перед выборкой входной сигнал обычно проходит через так называемый Фильтр Найквиста который удаляет частоты выше "частоты сворачивания" 1 / (2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любая частотная составляющая над частота сворачивания (или Частота Найквиста ) является псевдоним на другую частоту (таким образом, искажая исходный сигнал), поскольку сигнал DT может поддерживать только частотные компоненты ниже, чем частота свертки.

Импульсная характеристика и свертка

Позволять ${ Displaystyle {х [м-к]; м }}$ представляют последовательность ${ displaystyle {x [m-k]; { text {для всех целочисленных значений}} m }.}$

И пусть более короткие обозначения ${ Displaystyle {х } ,}$ представлять ${ Displaystyle {х [м]; м }.}$

Дискретная система преобразует входную последовательность, ${ Displaystyle {х }}$ в выходную последовательность, ${ displaystyle {y }.}$ В общем, каждый элемент вывода может зависеть от каждого элемента ввода. Представляя оператор преобразования как ${ displaystyle O}$, мы можем написать:

${ displaystyle y [n] { stackrel { text {def}} {=}} O_ {n} {x }.}$

Обратите внимание, что если само преобразование не изменится с п, выходная последовательность просто постоянна, и система неинтересна. (Таким образом, нижний индекс, п.) В типичной системе y [n] наиболее сильно зависит от элементов Икс чьи индексы близки п.

В частном случае Дельта-функция Кронекера, ${ Displaystyle х [м] = дельта [м],}$ выходная последовательность - это импульсивный ответ:

${ displaystyle h [n] { stackrel { text {def}} {=}} O_ {n} { delta [m]; m }. ,}$

Для линейной системы ${ displaystyle O}$ должен удовлетворять:

${ displaystyle O_ {n} left { sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} cdot x_ {k} [m]; m right } = sum _ {k = - infty} ^ { infty} c_ {k} cdot O_ {n} {x_ {k} }. ,}$

(Уравнение 4)

И требование неизменности во времени:

${ displaystyle { begin {align} O_ {n} {x [mk]; m } & { stackrel { quad} {=}} y [nk] & { stackrel { текст {def}} {=}} O_ {nk} {x }. , end {align}}}$

(Уравнение 5)

В такой системе импульсный отклик, ${ Displaystyle {ч }, ,}$ полностью характеризует систему. То есть для любой входной последовательности выходная последовательность может быть рассчитана с точки зрения входа и импульсной характеристики. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим личность:

${ Displaystyle х [м] эквив сумма _ {к = - infty} ^ { infty} х [к] cdot дельта [м-к], ,}$

который выражает ${ Displaystyle {х }}$ в терминах суммы взвешенных дельта-функций.

Следовательно:

${ displaystyle { begin {align} y [n] = O_ {n} {x } & = O_ {n} left { sum _ {k = - infty} ^ { infty} x [ k] cdot delta [mk]; m right } & = sum _ {k = - infty} ^ { infty} x [k] cdot O_ {n} { delta [ mk]; m }, , end {выровнено}}}$

где мы вызвали Уравнение 4 для случая ${ Displaystyle c_ {к} = х [к] ,}$ и ${ Displaystyle х_ {к} [м] = дельта [м-к]. ,}$

И из-за Уравнение 5, мы можем написать:

${ displaystyle { begin {align} O_ {n} { delta [mk]; m } & { stackrel { quad} {=}} O_ {nk} { delta [m] ; m } & { stackrel { text {def}} {=}} h [nk]. , end {align}}}$

Следовательно:

${ Displaystyle у [п] ,}$	${ Displaystyle = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} х [к] CDOT ч [п-к] ,}$
	${ Displaystyle = сумма _ {к = - infty} ^ { infty} х [п-к] CDOT ч [к],}$       (коммутативность )

которая является известной формулой дискретной свертки. Оператор ${ displaystyle O_ {n}}$ поэтому может быть интерпретирован как пропорциональный средневзвешенному значению функции х [k]. Весовая функция h [-k], просто сдвинут на сумму п. В качестве п изменяется, весовая функция выделяет различные части входной функции. Эквивалентно, реакция системы на импульс при п = 0 представляет собой инвертированную по времени копию функции взвешивания без сдвига. Когда h [k] равен нулю для всех отрицательных k, система называется причинный.

Экспоненты как собственные функции

An собственная функция - функция, для которой вывод оператора - это та же функция, масштабированная некоторой константой. В символах

${ displaystyle { mathcal {H}} f = lambda f}$,

куда ж - собственная функция и ${ displaystyle lambda}$ это собственное значение, постоянная.

В экспоненциальные функции ${ Displaystyle г ^ {п} = е ^ {sTn}}$, куда ${ Displaystyle п в mathbb {Z}}$, находятся собственные функции из линейный, неизменный во времени оператор. ${ displaystyle T in mathbb {R}}$ - интервал выборки, а ${ displaystyle z = e ^ {sT}, z, s in mathbb {C}}$. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию.

Предположим, что на входе ${ Displaystyle х [п] = , ! z ^ {п}}$. Выход системы с импульсной характеристикой ${ Displaystyle ч [п]}$ затем

${ Displaystyle сумма _ {м = - infty} ^ { infty} ч [п-м] , z ^ {м}}$

что эквивалентно следующему из-за коммутативности свертка

${ displaystyle sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] , z ^ {(nm)} = z ^ {n} sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] , z ^ {- m} = z ^ {n} H (z)}$

куда

${ displaystyle H (z) { stackrel { text {def}} {=}} sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [m] z ^ {- m}}$

зависит только от параметра z.

Так ${ Displaystyle г ^ {п}}$ является собственная функция системы LTI, потому что реакция системы такая же, как вход, умноженный на константу ${ displaystyle H (z)}$.

Z и дискретное преобразование Фурье

Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. В Z преобразование

${ displaystyle H (z) = { mathcal {Z}} {h [n] } = sum _ {n = - infty} ^ { infty} h [n] z ^ {- n}}$

это именно способ получить собственные значения из импульсной характеристики^{[требуется разъяснение ]}. Особый интерес представляют чистые синусоиды, т.е. экспоненты вида ${ displaystyle e ^ {j omega n}}$, куда ${ displaystyle omega in mathbb {R}}$. Их также можно записать как ${ Displaystyle г ^ {п}}$ с ${ displaystyle z = e ^ {j omega}}$^{[требуется разъяснение ]}. В преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) ${ Displaystyle Н (е ^ {J omega}) = { mathcal {F}} {ч [п] }}$ дает собственные значения чистых синусоид^{[требуется разъяснение ]}. Оба ${ displaystyle H (z)}$ и ${ Displaystyle Н (е ^ {j omega})}$ называются системная функция, ответ системы, или же функция передачи'.

Как и одностороннее преобразование Лапласа, Z-преобразование обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю при t <0. Преобразование Фурье с дискретным временем Ряд Фурье может использоваться для анализа периодических сигналов.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования. То есть,

${ displaystyle y [n] = (h * x) [n] = sum _ {m = - infty} ^ { infty} h [nm] x [m] = { mathcal {Z}} ^ { -1} {H (z) X (z) }.}$

Так же, как с передаточной функцией преобразования Лапласа в системном анализе с непрерывным временем, Z-преобразование упрощает анализ систем и понимание их поведения.

Примеры

• Простым примером оператора LTI является оператор задержки. ${ Displaystyle D {х [п] } { stackrel { text {def}} {=}} х [п-1]}$.
  • ${ displaystyle D left (c_ {1} cdot x_ {1} [n] + c_ {2} cdot x_ {2} [n] right) = c_ {1} cdot x_ {1} [n -1] + c_ {2} cdot x_ {2} [n-1] = c_ {1} cdot Dx_ {1} [n] + c_ {2} cdot Dx_ {2} [n]}$ (т.е. линейно)
  • ${ Displaystyle D {х [п-м] } = х [п-м-1] = х [(п-1) -м] = D {х } [п-м] ,}$ (т. е. не зависит от времени)

Z-преобразование оператора задержки - это простое умножение на z⁻¹. То есть,

${ displaystyle { mathcal {Z}} left {Dx [n] right } = z ^ {- 1} X (z).}$

• Еще один простой оператор LTI - оператор усреднения

${ displaystyle { mathcal {A}} left {x [n] right } { stackrel { text {def}} {=}} sum _ {k = na} ^ {n + a} x [k].}$

Из-за линейности сумм

${ Displaystyle { begin {align} { mathcal {A}} left {c_ {1} x_ {1} [n] + c_ {2} x_ {2} [n] right } & = сумма _ {k = na} ^ {n + a} left (c_ {1} x_ {1} [k] + c_ {2} x_ {2} [k] right) & = c_ {1} sum _ {k = na} ^ {n + a} x_ {1} [k] + c_ {2} sum _ {k = na} ^ {n + a} x_ {2} [k] & = c_ {1} { mathcal {A}} left {x_ {1} [n] right } + c_ {2} { mathcal {A}} left {x_ {2} [n] right }, end {выровнено}}}$

и так он линейный. Потому что,

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {A}} left {x [nm] right } & = sum _ {k = na} ^ {n + a} x [km] & = sum _ {k '= (nm) -a} ^ {(nm) + a} x [k'] & = { mathcal {A}} left {x right } [nm ], end {выровнены}}}$

он также инвариантен во времени.

Важные системные свойства

Вход-выходные характеристики системы LTI с дискретным временем полностью описываются ее импульсной характеристикой. ${ Displaystyle ч [п]}$. Двумя наиболее важными свойствами системы являются причинность и стабильность. Не причинные (во времени) системы могут быть определены и проанализированы, как указано выше, но не могут быть реализованы в реальном времени. Неустойчивые системы также можно анализировать и строить, но они полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой является стабильный.

Причинно-следственная связь

Система LTI с дискретным временем является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущего значения и прошлых значений входа.,^[4] Необходимым и достаточным условием причинности является

${ displaystyle h [n] = 0 forall n <0,}$

куда ${ Displaystyle ч [п]}$ это импульсный отклик. В общем случае невозможно определить причинно-следственную связь по Z-преобразованию, поскольку обратное преобразование не является уникальным.^{[сомнительный – обсуждать]}. Когда область конвергенции указано, то можно определить причинно-следственную связь.

Стабильность

Система ограниченный вход, стабильный ограниченный выход (BIBO стабильный), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если

${ Displaystyle | х [п] | _ { infty} < infty}$

подразумевает, что

${ Displaystyle | у [п] | _ { infty} < infty}$

(то есть, если ограниченный вход подразумевает ограниченный выход в том смысле, что максимальные абсолютные значения из ${ Displaystyle х [п]}$ и ${ Displaystyle у [п]}$ конечны), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что ${ Displaystyle ч [п]}$, импульсная характеристика удовлетворяет

${ displaystyle | час [n] | _ {1} { stackrel { text {def}} {=}} sum _ {n = - infty} ^ { infty} | h [n ] | < infty.}$

В частотной области область конвергенции должен содержать единичный круг (т.е. локус удовлетворение ${ displaystyle | z | = 1}$ для сложных z).

Примечания

Смотрите также

• Циркулянтная матрица
• Частотный отклик
• Импульсивный ответ
• Системный анализ
• Зеленая функция
• График потока сигналов

Рекомендации

• Филлипс К.Л., Парр Дж. М. и Рискин Е.А. (2007). Сигналы, системы и преобразования. Прентис Холл. ISBN  978-0-13-041207-2.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Hespanha, J.P. (2009). Теория линейных систем. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-14021-6.
• Кратчфилд, Стив (12 октября 2010 г.), "Радость свертки", Университет Джона Хопкинса, получено Двадцать первое ноября, 2010
• Vaidyanathan, P.P .; Чен, Т. (май 1995 г.). "Роль антикаузальных инверсий в многоскоростных банках фильтров - Часть I: основы теоретической системы" (PDF). IEEE Trans. Сигнальный процесс. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP ... 43,1090 В. Дои:10.1109/78.382395.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• ECE 209: Обзор схем как систем LTI - Краткий учебник по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники фазового сдвига - Дает интуитивно понятное объяснение источника фазового сдвига в двух распространенных электрических системах LTI.
• JHU 520.214 Примечания к курсу "Сигналы и системы". Инкапсулированный курс теории систем LTI. Подходит для самообучения.
• Пример системы LTI: RC-фильтр нижних частот. Амплитуда и фазовая характеристика.