Массивная гравитация - Massive gravity

В теоретическая физика, массивная гравитация это теория сила тяжести что изменяет общая теория относительности наделив гравитон с ненулевым масса. В классической теории это означает, что гравитационные волны подчиняются массивному волновому уравнению и, следовательно, движутся со скоростью ниже скорость света.

Массивная гравитация имеет долгую и извилистую историю, восходящую к 1930-м годам, когда Вольфганг Паули и Маркус Фирц впервые разработал теорию массивного спин-2 поле распространяется по плоское пространство-время фон. Позже в 1970-х годах было осознано, что теории массивного гравитона страдают опасными патологиями, включая режим призрака и разрыв с ОТО в пределе, когда масса гравитона стремится к нулю. Хотя решения этих проблем существовали некоторое время в трех измерениях пространства-времени,^[1][2] они не были решены в четырех измерениях и выше до тех пор, пока работа Клаудиа де Рам, Григорий Габададзе и Эндрю Толли (модель dRGT) в 2010 году.

Одна из самых ранних теорий массивной гравитации была построена в 1965 г. Огиевецкий и Полубаринов (OP).^[3] Несмотря на то, что модель OP совпадает с моделями массивной гравитации без призраков, переоткрытыми в dRGT, модель OP была почти неизвестна среди современных физиков, работающих с массивной гравитацией, возможно потому, что стратегия, использованная в этой модели, сильно отличалась от общепринятой. в настоящий момент.^[4] Массивный двойной сила тяжести к модели OP^[5] может быть получен путем связывания дуального поля гравитона с ротором его собственного тензора энергии-импульса.^[6][7] Поскольку смешанная симметричная напряженность поля дуальной гравитации сравнима с полностью симметричным тензором внешней кривизны теории галилеонов, эффективный лагранжиан дуальной модели в 4-D может быть получен из Рекурсия Фаддеева – Леверье, которая аналогична теории Галилеона с точностью до членов, содержащих полиномы следа напряженности поля.^[8][9] Это также проявляется в двойственной формулировке теории Галилеона.^[10][11]

Тот факт, что общая теория относительности модифицируется на больших расстояниях в массивной гравитации, дает возможное объяснение ускоренного расширения Вселенной, которое не требует каких-либо темная энергия. Массивная гравитация и ее расширения, такие как биметрическая гравитация,^[12] может дать космологические решения, которые действительно показывают ускорение в позднем времени в соответствии с наблюдениями.^[13][14][15]

Наблюдения за гравитационные волны ограничили Комптоновская длина волны гравитона быть λ_грамм > 1.6×10¹⁶ м, что можно интерпретировать как ограничение на массу гравитона м_грамм < 7.7×10⁻²³ эВ /c².^[16] Самые последние наблюдения накладывают новые ограничения на λ_грамм > 1.66×10¹⁶ м за м_грамм < 7.45×10⁻²³ эВ /c² и λ_грамм > 1.83×10¹⁶ м за м_грамм < 6.76×10⁻²³ эВ /c².^[17]

Линеаризованная массивная гравитация

На линейном уровне можно построить теорию массивного вращение -2 поля ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ распространение на Пространство Минковского. Это можно рассматривать как продолжение линеаризованная гравитация следующим образом. Линеаризованная гравитация получается путем линеаризации общей теории относительности вокруг плоского пространства, ${ displaystyle g _ { mu nu} = eta _ { mu nu} + M _ { mathrm {Pl}} ^ {- 1} h _ { mu nu}}$, куда ${ Displaystyle M _ { mathrm {Pl}} = (8 pi G) ^ {- 1/2}}$ это Планковская масса с ${ displaystyle G}$ в гравитационная постоянная. Это приводит к кинетическому члену в лагранжиане для ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ что согласуется с диффеоморфизм инвариантность, а также связь с веществом формы

${ Displaystyle ч ^ { му ню} Т _ { му ню}}$,

куда ${ displaystyle T _ { mu nu}}$ это тензор энергии-импульса. Комбинация этого кинетического члена и взаимодействия материи есть не что иное, как Действие Эйнштейна – Гильберта линеаризованный о плоском пространстве.

Массивная гравитация получается добавлением непроизводных членов взаимодействия для ${ displaystyle h _ { mu nu}}$. На линейном уровне (т. Е. Второго порядка по ${ displaystyle h _ { mu nu}}$) возможны только два массовых члена:

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {int}} = ah ^ { mu nu} h _ { mu nu} + b left ( eta ^ { mu nu} h_ { mu nu} right) ^ {2}.}$

Фирц и Паули^[18] в 1939 году показал, что при этом распространяются только ожидаемые пять поляризаций массивного гравитона (по сравнению с двумя в безмассовом случае), если коэффициенты выбраны так, чтобы ${ displaystyle a = -b}$. Любой другой выбор откроет шестую, призрачную степень свободы. Призрак - это режим с отрицательной кинетической энергией. Его Гамильтониан неограничен снизу и поэтому неустойчиво распадаться на частицы сколь угодно больших положительных и отрицательных энергий. В Массовый член Фирца – Паули,

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {FP}} = m ^ {2} left (h ^ { mu nu} h _ { mu nu} - left ( eta ^ { mu nu} h _ { mu nu} right) ^ {2} right)}$

является единственной последовательной линейной теорией массивного поля спина 2.

Прерывистость ВДВЗ

В 1970-е годы Хендрик ван Дам и Мартинус Дж. Г. Велтман^[19] и, независимо, Валентин Иванович Захаров^[20] обнаружил своеобразное свойство массивной гравитации Фирца – Паули: ее предсказания не сводятся равномерно к предсказаниям общей теории относительности в пределе ${ displaystyle m to 0}$. В частности, при малых масштабах (короче, чем Комптоновская длина волны массы гравитона), Закон тяготения Ньютона восстанавливается, отклонение света составляет всего три четверти результата Альберт Эйнштейн получено в общей теории относительности. Это известно как ВДВЗ разрыв.

Мы можем понять меньшее отклонение света следующим образом. Массивный гравитон Фирца – Паули из-за разорванной инвариантность к диффеоморфизму, распространяет три дополнительные степени свободы по сравнению с безмассовым гравитоном линеаризованной общей теории относительности. Эти три степени свободы упаковываются в векторное поле, которое не имеет отношения к нашим целям, и скалярное поле. Эта скалярная мода оказывает дополнительное притяжение в массивном случае по сравнению с безмассовым случаем. Следовательно, если кто-то хочет, чтобы измерения силы, действующей между нерелятивистскими массами, согласовывались, константа связи массивной теории должна быть меньше, чем константа безмассовой теории. Но изгиб света не видит скалярный сектор, потому что тензор энергии-импульса света не имеет следов. Следовательно, при условии, что две теории согласуются в силе между нерелятивистскими зондами, массивная теория предсказывала бы меньшее отклонение света, чем безмассовое.

Вайнштейн скрининг

Это утверждал Вайнштейн.^[21] два года спустя, когда разрыв vDVZ является артефактом линейной теории, и что предсказания общей теории относительности фактически восстанавливаются в малых масштабах, если принять во внимание нелинейные эффекты, то есть больше, чем квадратичные члены в ${ displaystyle h _ { mu nu}}$. Эвристически говоря, в регионе, известном как Радиус Вайнштейна, флуктуации скалярной моды становятся нелинейными, а ее производные высшего порядка становятся больше, чем канонический кинетический член. Таким образом, каноническая нормализация скаляра вокруг этого фона приводит к сильно подавленному кинетическому члену, который гасит флуктуации скаляра в пределах радиуса Вайнштейна. Поскольку дополнительная сила, опосредованная скаляром, пропорциональна (минус) его градиенту, это приводит к гораздо меньшей дополнительной силе, чем мы рассчитали бы, просто используя линейную теорию Фирца – Паули.

Это явление, известное как Вайнштейн скрининг, присутствует не только в массивной гравитации, но и в связанных теориях модифицированной гравитации, таких как DGP и некоторые скалярно-тензорные теории, где это важно для сокрытия эффектов модифицированной гравитации в Солнечной системе. Это позволяет этим теориям соответствовать земные и солнечные системы испытания силы тяжести так же, как и общая теория относительности, сохраняя при этом большие отклонения на больших расстояниях. Таким образом, эти теории могут привести к космическому ускорению и наложить заметные отпечатки на крупномасштабная структура Вселенной не вступая в противоречие с другими, гораздо более строгими ограничениями из наблюдений ближе к дому.

Призрак Boulware-Deser

В ответ на Freund –Махешвари – Шенберг конечная сила тяжести модель,^[22] и примерно одновременно с открытием разрыва vDVZ и механизма Вайнштейна, Дэвид Боулваре и Стэнли Дезер в 1972 г. обнаружил, что общие нелинейные расширения теории Фирца – Паули вновь вводят опасный фантомный режим;^[23] настройка ${ displaystyle a = -b}$ что гарантировало отсутствие этой моды в квадратичном порядке, как они обнаружили, обычно нарушалось на кубическом и более высоких порядках, возвращая призрак в этих порядках. В результате это Boulware – Deser ghost будет присутствовать, например, вокруг сильно неоднородных фонов.

Это проблематично, потому что линеаризованная теория гравитации, такая как Фирц – Паули, хорошо определена сама по себе, но не может взаимодействовать с материей, поскольку связь ${ Displaystyle ч ^ { му ню} Т _ { му ню}}$ нарушает инвариантность диффеоморфизмов. Это необходимо исправить, добавляя новые термины в более высоких и более высоких порядках, до бесконечности. Для безмассового гравитона этот процесс сходится, и конечный результат хорошо известен: мы просто приходим к общей теории относительности. В этом смысл утверждения, что общая теория относительности является единственной теорией (с точностью до условий размерности, локальности и т. Д.) Безмассового поля со спином 2.

Для того чтобы массивная гравитация действительно описывала гравитацию, то есть массивное поле со спином 2, взаимодействующее с материей и тем самым опосредуя гравитационную силу, аналогичным образом должно быть получено нелинейное завершение. Призрак Boulware-Deser представляет собой серьезное препятствие для таких усилий. Подавляющее большинство теорий массивных и взаимодействующих полей со спином 2 будут страдать от этого призрака и, следовательно, будут нежизнеспособны. Фактически, до 2010 года считалось, что все Лоренц-инвариантные теории массивной гравитации обладали призраком Боулвэра – Дезера.^[24]

Массивная гравитация без призраков

В 2010 году был достигнут прорыв, когда де Рам, Габададзе и Толли построили, порядок за порядком, теорию массивной гравитации с коэффициентами, настроенными так, чтобы избежать призрака Боулвэра-Дезера, упаковав все призрачные (т.е. высшие производные) операторы в полные производные, которые не вносят вклад в уравнения движения .^[25][26] Полное отсутствие призрака Boulware-Deser для всех порядков и за пределами ограничения развязки было впоследствии доказано Фавад Хасан и Рэйчел Розен.^[27][28]

В действие для без призраков де Рам –Массивная гравитация Габададзе – Толлея (dRGT) дан кем-то^[29]

${ displaystyle S = int d ^ {4} x { sqrt {-g}} left (- { frac {M _ { mathrm {Pl}} ^ {2}} {2}} R + m ^ {2} M _ { mathrm {Pl}} ^ {2} displaystyle sum _ {n = 0} ^ {4} alpha _ {n} e_ {n} ( mathbb {K}) + { mathcal {L}} _ { mathrm {m}} (g, Phi _ {i}) right),}$

или, что то же самое,

${ displaystyle S = int d ^ {4} x { sqrt {-g}} left (- { frac {M _ { mathrm {Pl}} ^ {2}} {2}} R + m ^ {2} M _ { mathrm {Pl}} ^ {2} displaystyle sum _ {n = 0} ^ {4} beta _ {n} e_ {n} ( mathbb {X}) + { mathcal {L}} _ { mathrm {m}} (g, Phi _ {i}) right).}$

Ингредиенты требуют пояснений. Как и в стандартной общей теории относительности, существует Эйнштейн-Гильберт кинетический член, пропорциональный Скаляр Риччи ${ displaystyle R}$ и минимальная связь с лагранжианом материи ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { mathrm {m}}}$, с ${ displaystyle Phi _ {i}}$ представляющие все материальные поля, такие как поля Стандартная модель. Новая часть представляет собой массовый термин или потенциал взаимодействия, тщательно разработанный, чтобы избежать призрака Боулвэра-Дезера, с силой взаимодействия ${ displaystyle m}$ что (если ненулевое ${ displaystyle beta _ {я}}$ находятся ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$) тесно связан с массой гравитона.

Чт принцип калибровочной инвариантности дает избыточные выражения в любой теории поля, снабженной соответствующей калибровкой. Например, в массивный спин-1 Proca action, массивная часть лагранжиана ${ displaystyle { frac {1} {2}} mA _ { mu} A ^ { mu}}$ ломает ${ Displaystyle U (1)}$ калибровочная инвариантность. Однако инвариантность восстанавливается путем введения преобразований:

${ displaystyle A _ { mu} to A _ { mu} + partial _ { mu} pi}$. То же самое можно сделать для массивной гравитации, следуя эффективной теории поля Аркани-Хамеда, Георги и Шварца для массивной гравитации.^[30] Отсутствие разрыва vDVZ в этом подходе мотивировало развитие dRGT-пересуммирования теории массивной гравитации следующим образом.^[26]

Потенциал взаимодействия строится из элементарные симметричные полиномы ${ displaystyle e_ {n}}$ собственных значений матриц ${ displaystyle mathbb {K} = mathbb {I} - { sqrt {g ^ {- 1} f}}}$ или же ${ displaystyle mathbb {X} = { sqrt {g ^ {- 1} f}}}$, параметризованные безразмерными константами связи ${ displaystyle alpha _ {я}}$ или же ${ displaystyle beta _ {я}}$, соответственно. Здесь ${ displaystyle { sqrt {g ^ {- 1} f}}}$ это матричный квадратный корень матрицы ${ displaystyle g ^ {- 1} f}$. Написано в индексной нотации, ${ Displaystyle mathbb {X}}$ определяется соотношением ${ displaystyle X ^ { mu} {} _ { alpha} X ^ { alpha} {} _ { nu} = g ^ { mu alpha} f _ { nu alpha}.}$ Мы ввели справочная метрика ${ displaystyle f _ { mu nu}}$ чтобы построить термин взаимодействия. Для этого есть простая причина: невозможно построить нетривиальный взаимодействующий (т. Е. Не производный) член из ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ один. Единственные возможности ${ displaystyle g ^ { mu alpha} g _ { alpha nu} = delta _ { nu} ^ { mu}}$ и ${ displaystyle operatorname {det} g}$, оба из которых приводят к космологическому постоянному члену, а не к добросовестный взаимодействие. Физически, ${ displaystyle f _ { mu nu}}$ соответствует фоновая метрика вокруг которого колебания принимают форму Фирца – Паули. Это означает, что, например, нелинейное завершение теории Фирца – Паули вокруг пространства Минковского, приведенного выше, приведет к массивной гравитации dRGT с ${ displaystyle f _ { mu nu} = eta _ { mu nu}}$, хотя доказательство отсутствия призрака Боулвэра – Дезера справедливо для общих ${ displaystyle f _ { mu nu}}$.^[31]

Эталонная метрика преобразуется как метрический тензор при диффеоморфизме ${ displaystyle f _ { mu nu} to f '_ { mu nu} (X (x)) Equiv f _ { alpha beta} partial _ { mu} X ^ { alpha} частичный _ { nu} X ^ { beta}.}$ Следовательно ${ displaystyle [ mathbb {X} ^ {2}] = X ^ { mu} {} _ { alpha} X ^ { alpha} {} _ { mu} = g ^ { mu alpha} f _ { mu alpha}}$, и подобные члены с более высокими степенями преобразуются как скаляр при том же диффеоморфизме. Для изменения координат ${ Displaystyle х _ { mu} к х _ { mu} + xi _ { mu}}$, мы расширяем ${ Displaystyle X ^ { mu} = x ^ { mu} - phi ^ { mu}}$ с ${ displaystyle f _ { mu nu} = eta _ { mu nu}}$ такая, что возмущенная метрика принимает вид ${ displaystyle h _ { mu nu} to h '_ { mu nu} = h _ { mu nu} + partial _ { mu} phi _ { nu} + partial _ { nu} phi _ { mu} - partial _ { mu} phi ^ { alpha} partial _ { nu} phi _ { alpha}}$, а потенциалоподобный вектор преобразуется согласно Уловка Штюкельберга в качестве ${ Displaystyle phi _ { mu} to phi _ { mu} + xi _ { mu}}$ такое, что поле Штюкельберга определяется как ${ displaystyle phi ^ { mu} = eta ^ { mu nu} (A _ { nu} - partial _ { nu} pi)}$.^[32] Из диффеоморфизма можно определить другую матрицу Штюкельберга ${ displaystyle mathbb {Y} _ {~ b} ^ {a} Equiv f_ {bc} g ^ { mu nu} partial _ { mu} X ^ {a} partial _ { nu} X ^ {c}}$, куда ${ displaystyle mathbb {Y} _ {~ b} ^ {a}}$ и ${ displaystyle mathbb {X} _ {~ b} ^ {a}}$ имеют одинаковые собственные значения.^[33] Теперь рассмотрим следующие симметрии:

• ${ displaystyle delta h _ { mu nu} = partial _ { mu} xi _ { nu} + partial _ { nu} xi _ { mu} + { frac {2} { M _ { text {Pl}}}} { mathcal {L}} _ { xi} h _ { mu nu}}$ ,
• ${ displaystyle delta A _ { mu} = partial _ { mu} pi -m xi _ { mu} + { frac {2} {M _ { text {Pl}}}} xi ^ { alpha} partial _ { alpha} A _ { mu}}$ ,
• ${ displaystyle delta pi = -m pi}$,

такая, что преобразованная возмущенная метрика принимает вид: ${ displaystyle h '_ { mu nu} = h _ { mu nu} + partial _ { mu} A _ { nu} + partial _ { nu} A _ { mu} - partial _ { mu} A ^ { alpha} partial _ { nu} A _ { alpha} - partial _ { mu} A ^ { alpha} partial _ { nu} partial _ { alpha} pi - partial _ { mu} partial _ { alpha} pi partial _ { nu} A ^ { alpha} -2 partial _ { mu} partial _ { nu} pi - partial _ { mu} partial _ { alpha} pi partial _ { nu} partial ^ { alpha} pi.}$

Ковариантный вид этих преобразований получается следующим образом. Если режим спиральности-0 (или вращения-0) ${ displaystyle pi}$ чистая калибровка нефизических мод Голдстоуна, с ${ displaystyle Pi _ { mu nu} = nabla _ { mu} nabla _ { nu} pi}$,^[34] матрица ${ Displaystyle { Displaystyle mathbb {X}}}$ является тензорной функцией тензора коваритизации ${ displaystyle { displaystyle H _ { mu nu} = eta _ { mu nu} +2 { Pi} _ { mu nu} - eta ^ { alpha beta} { Pi} _ { mu alpha} { Pi} _ { beta nu}} = eta _ { mu nu} + h _ { mu nu} - eta _ {ab} nabla _ { mu } phi ^ {a} nabla _ { nu} phi ^ {b}}$ возмущения метрики ${ displaystyle { displaystyle h _ { mu nu}}}$ такой, что тензор ${ displaystyle H _ { mu nu}}$ является Stueckelbergized на поле ${ displaystyle phi ^ {a} = A ^ {a} - eta ^ {a mu} nabla _ { mu} pi}$.^[35] Преобразование режима спиральности-0 при преобразованиях Галилея ${ displaystyle pi to pi + c + v _ { mu} x ^ { mu}}$отсюда и название «Галилеоны».^[36] Матрица ${ Displaystyle mathbb {X}}$ является тензорной функцией тензора коваритизации ${ Displaystyle H _ { mu nu} Equiv g _ { mu nu} -f '_ { mu nu}}$ возмущения метрики ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ с компонентами даются ${ displaystyle { displaystyle mathbb {X} _ { mu nu} = eta _ { mu nu} +2 { mathcal {K}} _ { mu nu} - eta ^ { альфа бета} { mathcal {K}} _ { mu alpha} { mathcal {K}} _ { beta nu}}}$, куда ${ displaystyle { displaystyle { mathcal {K}} _ { mu nu} = eta _ { mu nu} - left ({ sqrt { mathbb {X}}} right) _ { mu nu} = eta _ { mu nu} - { sqrt { eta _ { mu nu} -H _ { mu nu}}}}}$ - внешняя кривизна.^[37]

Интересно, что тензор коваритизации был первоначально введен Махешвари в соло-авторском продолжении статьи спиральности- (${ displaystyle 2 oplus 0}$) Модель конечной гравитации Фрейнда – Махешвари – Шенберга.^[38] В работе Махешвари возмущение метрики подчиняется условию Гильберта-Лоренца ${ Displaystyle м ^ {2} ( partial _ { nu} h _ { mu nu} + q partial _ { mu} h) = 0}$ под вариацией ${ displaystyle delta ^ {*} h _ { mu nu} = delta h _ { mu nu} + delta h _ { mu nu} ^ {spin} = partial _ { mu} xi _ { nu} + partial _ { nu} xi _ { mu} + p eta _ { mu nu} h + delta h _ { mu nu} ^ {spin}}$ что вводится в массивной гравитации Огиевецкого – Полубаринова, где ${ displaystyle p ~ { text {and}} ~ q}$ подлежат определению.^[39] Нетрудно заметить сходство тензорных ${ Displaystyle mathbb {X}}$ в dRGT и тензор ${ Displaystyle ч _ {(p)} ^ { mu nu} = ( eta ^ { mu nu} -n psi ^ { mu nu}) ^ {1 / n}}$ в Махешвари работать один раз ${ displaystyle n = 2}$ выбран. Также мандаты модели Огиевецкого – Полубаринова ${ Displaystyle п = -1 / р}$, что означает, что в 4D ${ displaystyle p = -1 / n = - { frac {1} {2}}}$, вариация ${ displaystyle delta h _ { mu nu}}$ конформно.

Массивные поля dRGT расщепляются на две спирали-2 ${ displaystyle h _ { mu nu}}$, две спирали-1 ${ displaystyle A _ { mu}}$ и одна спиральность-0 ${ displaystyle pi}$ степеней свободы, как и в теории масс Фирца-Паули. Однако коваритизация вместе с предел развязки, гарантируют, что симметрии этой массивной теории сведены к симметрии линеаризованной общей теории относительности плюс симметрии ${ Displaystyle U (1)}$ массивная теория, а скаляр отделяется. Если ${ displaystyle v _ { mu}}$ выбрано бездивергентным, т.е. ${ displaystyle Box pi = 0}$, предел развязки dRGT дает известную линеаризованную гравитацию.^[40] Чтобы увидеть, как это происходит, разверните термины, содержащие ${ Displaystyle { mathcal {K}} _ { mu nu}}$ в действии во власти ${ displaystyle H _ { mu nu}}$, куда ${ displaystyle H _ { mu nu}}$ выражается в виде ${ Displaystyle phi ^ {а}}$ поля вроде как ${ displaystyle h '_ { mu nu}}$ выражается в виде ${ displaystyle A ^ { mu}}$. Поля ${ Displaystyle ч _ { му ню} , А _ { му} , пи}$ заменяются на: ${ displaystyle { tilde {h}} _ { mu nu} = M _ { text {Pl}} h _ { mu nu} , { tilde {A}} _ { mu} = M_ { text {Pl}} m A _ { mu} , { tilde { pi}} = M _ { text {Pl}} m ^ {2} pi , { hat {h} } _ { mu nu} = { tilde {h}} _ { mu nu} - eta _ { mu nu} { tilde { pi}}}$ . Тогда следует, что в предел развязки, т.е. когда оба ${ displaystyle M _ { text {Pl}} to infty , m to 0 , m ^ {2} M _ { text {Pl}} = { text {const.}}}$, лагранжиан массивной гравитации инвариантен относительно:

1. ${ displaystyle delta h _ { mu nu} = partial _ { mu} xi _ { nu} + partial _ { nu} xi _ { mu}}$ как в линеаризованной общей теории относительности,
2. ${ displaystyle delta A _ { mu} = partial _ { mu} pi}$ как в электромагнитной теории Максвелла,
3. ${ displaystyle delta pi = 0}$.

В принципе, эталонная метрика должна быть указана вручную, и поэтому не существует единой теории массивной гравитации dRGT, поскольку теория с плоской эталонной метрикой отличается от теории с эталонной метрикой. де Ситтер эталонная метрика и т. д. В качестве альтернативы можно подумать о ${ displaystyle f _ { mu nu}}$ как константа теории, как и ${ displaystyle m}$ или же ${ Displaystyle M _ { mathrm {Pl}}}$. Вместо того, чтобы указывать эталонную метрику с самого начала, можно позволить ей иметь собственную динамику. Если кинетический член для ${ displaystyle f _ { mu nu}}$ также является Эйнштейном – Гильбертом, то теория остается свободной от привидений, и мы остаемся с теорией массивная бигравитация,^[12] (или же биметрическая теория относительности, BR), распространяющие две степени свободы безмассового гравитона в дополнение к пяти степеням свободы массивного.

На практике нет необходимости вычислять собственные значения ${ Displaystyle mathbb {X}}$ (или же ${ Displaystyle mathbb {K}}$), чтобы получить ${ displaystyle e_ {n}}$. Их можно записать прямо в терминах ${ Displaystyle mathbb {X}}$ в качестве

${ displaystyle { begin {align} e_ {0} ( mathbb {X}) & = 1, e_ {1} ( mathbb {X}) & = [ mathbb {X}], e_ {2} ( mathbb {X}) & = { frac {1} {2}} left ([ mathbb {X}] ^ {2} - [ mathbb {X} ^ {2}] right ), e_ {3} ( mathbb {X}) & = { frac {1} {6}} left ([ mathbb {X}] ^ {3} -3 [ mathbb {X}] [ mathbb {X} ^ {2}] + 2 [ mathbb {X} ^ {3}] right), e_ {4} ( mathbb {X}) & = operatorname {det} mathbb {X}, end {align}}}$

где скобки обозначают след, ${ Displaystyle [ mathbb {X}] Equiv X ^ { mu} {} _ { mu}}$. Это особая антисимметричная комбинация терминов в каждом из ${ displaystyle e_ {n}}$ который отвечает за нединамику призрака Boulware – Deser.

Выбор использования ${ Displaystyle mathbb {X}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {K} = mathbb {I} - mathbb {X}}$, с ${ displaystyle mathbb {I}}$ в единичная матрица, является соглашением, так как в обоих случаях безобидный массовый член представляет собой линейную комбинацию элементарных симметричных многочленов выбранной матрицы. Можно переходить от одного базиса к другому, и в этом случае коэффициенты удовлетворяют соотношению^[29]

${ displaystyle beta _ {n} = (4-n)! displaystyle sum _ {i = n} ^ {4} { frac {(-1) ^ {i + n}} {(4-i )! (in)!}} alpha _ {i}.}$

Коэффициенты имеют характеристический многочлен это в форме Определитель Фредгольма. Их также можно получить, используя Алгоритм Фаддеева – Леверье.

Массивная гравитация на языке вербейна

В четырехмерной ортонормированной тетрадной системе есть основания:

${ displaystyle { begin {align} e_ {~ mu} ^ {0} & = (- 1,0,0,0), e _ { mu} ^ {I} & = (0, e_ { i} ^ {I}), end {выравнивается}}}$

где индекс ${ displaystyle i}$ для трехмерной пространственной составляющей ${ displaystyle mu}$-неортормальные координаты, а индекс ${ displaystyle I}$ для трехмерных пространственных компонентов ${ displaystyle a}$-ортонормальные. Параллельный транспорт требует спин-соединение ${ displaystyle e ^ {0 nu} nabla _ {e ^ {0 nu}} e_ {~ mu} ^ {I} = 0}$. Следовательно внешняя кривизна, что соответствует ${ Displaystyle { mathcal {K}} _ { mu nu}}$ в метрическом формализме становится

${ displaystyle K_ {j} ^ {i} Equiv { frac {1} {2}} gamma ^ {ik} partial _ {t} ( gamma _ {kj}) = e_ {I} ^ { i} partial _ {t} (e_ {j} ^ {I})}$ ,куда ${ displaystyle gamma _ {ij}}$ - пространственная метрика, как в Формализм ADM и формулировка начального значения.

Если тетрада конформно преобразуется как ${ displaystyle e_ {i} ^ {I} to {e '} _ {i} ^ {I} Equiv a (t) ~ e_ {i} ^ {I}}$ , внешняя кривизна становится ${ displaystyle {K '} _ {j} ^ {i} = { frac {a} { dot {a}}} K_ {j} ^ {i} = delta _ {j} ^ {i} - { frac {a} { dot {a}}} e_ {I} ^ {i} partial _ {t} (e_ {j} ^ {I})}$ , откуда Уравнения Фридмана ${ displaystyle { frac {a} { dot {a}}} = { frac {a} { partial _ {t} a}} sim { frac {1} { sqrt { Lambda}} }}$, и ${ displaystyle m sim 1 / { sqrt { Lambda}}}$ (Несмотря на то, что является спорным^[41]), т.е. внешняя кривизна преобразуется как ${ displaystyle K_ {j} ^ {i} to mK_ {j} ^ {i} = delta _ {j} ^ {i} -m ~ e_ {I} ^ {i} { dot {e}} _ {j} ^ {I}}$. Это очень похоже на матрицу ${ Displaystyle mathbb {K}}$ или тензор ${ displaystyle { mathcal {K}} _ {j} ^ {i}}$.

DRGT был разработан на основе применения предыдущей техники к 5D. DGP модель после рассмотрения деконструкция более высокого измерения Калуца-Клейн теории гравитации,^[42] в котором дополнительное измерение (я) заменяется серией из N решетка такие сайты, что метрика более высокого измерения заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от компонентов 4D.^[37]

Наличие матрицы квадратного корня несколько неудобно и указывает на альтернативную, более простую формулировку с точки зрения Vierbeins. Разделение показателей на вирбейны как

${ displaystyle { begin {align} g _ { mu nu} = eta _ {ab} e ^ {a} {} _ { mu} e ^ {b} {} _ { nu}, f _ { mu nu} = eta _ {ab} f ^ {a} {} _ { mu} f ^ {b} {} _ { nu}, end {align}}}$,

а затем определение одной формы

${ displaystyle { begin {align} mathbf {e} ^ {a} & = e ^ {a} {} _ { mu} dx ^ { mu}, mathbf {f} ^ {a} & = f ^ {a} {} _ { mu} dx ^ { mu}, mathbf {i} ^ {a} & = delta ^ {a} {} _ { mu} dx ^ { mu}, end {выровнены}}}$

члены теории бигравитации Хассана-Розена без привидений могут быть записаны просто как (с точностью до числовых множителей)^[43]

${ displaystyle { begin {align} e_ {0} ( mathbb {X}) propto epsilon _ {abcd} mathbf {e} ^ {a} wedge mathbf {e} ^ {b} wedge mathbf {e} ^ {c} wedge mathbf {e} ^ {d} e_ {1} ( mathbb {X}) propto epsilon _ {abcd} mathbf {e} ^ {a} wedge mathbf {e} ^ {b} wedge mathbf {e} ^ {c} wedge mathbf {f} ^ {d} e_ {2} ( mathbb {X}) propto epsilon _ {abcd} mathbf {e} ^ {a} wedge mathbf {e} ^ {b} wedge mathbf {f} ^ {c} wedge mathbf {f} ^ {d} e_ { 3} ( mathbb {X}) propto epsilon _ {abcd} mathbf {e} ^ {a} wedge mathbf {f} ^ {b} wedge mathbf {f} ^ {c} wedge mathbf {f} ^ {d} e_ {4} ( mathbb {X}) propto epsilon _ {abcd} mathbf {f} ^ {a} wedge mathbf {f} ^ {b} wedge mathbf {f} ^ {c} wedge mathbf {f} ^ {d} конец {выровнено}}}$

Таким образом, с точки зрения вирбейнов, а не метрик, мы можем довольно четко увидеть физическое значение потенциальных терминов dRGT без привидений: они просто представляют собой все возможные комбинации клиновые изделия vierbeins двух показателей.

Обратите внимание, что массивная гравитация в формулировках метрики и Вербейна эквивалентна только в том случае, если условие симметрии

${ displaystyle (e ^ {- 1}) _ {a} {} ^ { mu} f_ {b nu} = (e ^ {- 1}) _ {b} {} ^ { mu} f_ { а ню}}$

доволен. Хотя это верно для большинства физических ситуаций, могут быть случаи, например, когда материя соединяется с обеими метриками или в мультиметрических теориях с циклами взаимодействия, в которых это не так. В этих случаях формулировки метрики и вирбейна представляют собой разные физические теории, хотя каждая из них распространяет здоровый массивный гравитон.

Новизна в dRGT массивной гравитации состоит в том, что это теория калибровочной инвариантности относительно обоих локальных преобразований Лоренца, начиная с допущения эталонной метрики ${ displaystyle f _ { mu nu}}$ равна метрике Минковского ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$, и инвариантность диффеоморфизма, от существования активного искривленного пространства-времени ${ displaystyle g _ { mu nu}}$. Это показано путем переписывания ранее обсуждавшегося формализма Штюкельберга на языке vierbein следующим образом.^[44]

4D версия уравнений поля Эйнштейна в 5D читается ${ displaystyle G _ { mu nu} n ^ { mu} n ^ { nu} = { frac {1} {2}} (RK ^ { mu nu} K _ { mu nu} + (К_ {~ mu} ^ { mu}) ^ {2})}$ , куда ${ Displaystyle п ^ { му}}$ - вектор, нормальный к 4-мерному срезу. Используя определение массивной внешней кривизны ${ displaystyle mK_ {j} ^ {i} = delta _ {j} ^ {i} -m ~ e_ {I} ^ {i} { dot {e}} _ {j} ^ {I}}$, несложно увидеть, что члены, содержащие внешние кривизны, принимают функциональную форму${ displaystyle (е ^ {a} -e ^ {a}) клин (f ^ {b} -e ^ {b}) клин e ^ {c} клин e ^ {d}}$ в тетрадном действии.

Следовательно, с точностью до числовых коэффициентов полное действие dRGT в тензорной форме имеет вид

${ displaystyle S = { frac {M _ { text {Pl}} ^ {2}} {2}} int dx ^ {4} { sqrt {g}} { Big (} R + 2m ^ { 2} [e_ {2} ({ mathcal {K}}) + e_ {3} ({ mathcal {K}}) + e_ {4} ({ mathcal {K}})] { Big)} }$,

где функции ${ Displaystyle е_ {я} ({ mathcal {K}})}$ принимать формы, аналогичные форме ${ Displaystyle е_ {я} ( mathbb {X})}$. Тогда с точностью до некоторых числовых коэффициентов действие принимает интегральный вид

${ displaystyle S = { frac {M _ { text {Pl}} ^ {2}} {2}} epsilon _ {abcd} int { Big (} mathbf {e} ^ {a} land mathbf {e} ^ {b} land R ^ {cd} -m ^ {2} [ mathbf {e} ^ {a} land mathbf {e} ^ {b} land mathbf {e} ^ {c} land mathbf {e} ^ {d} + mathbf {i} ^ {a} land mathbf {e} ^ {b} land mathbf {e} ^ {c} land mathbf {e} ^ {d} + mathbf {i} ^ {a} land mathbf {i} ^ {b} land mathbf {e} ^ {c} land mathbf {e} ^ {d } + mathbf {i} ^ {a} land mathbf {i} ^ {b} land mathbf {i} ^ {c} land mathbf {e} ^ {d}] { Big)} }$,

где первый член - это Эйнштейн-Гильберт часть тетрадное действие Палатини и ${ displaystyle epsilon _ {abcd}}$ это Символ Леви-Чивита.

Поскольку предел развязки гарантирует, что ${ displaystyle Box pi = 0}$ и ${ displaystyle A _ { mu} to x _ { mu}}$ сравнивая ${ Displaystyle X ^ { mu}}$ к ${ displaystyle phi ^ { mu}}$, можно думать о тензоре ${ displaystyle partial _ { mu} phi ^ {a} = delta _ {~ mu} ^ {a}}$. Сравнивая это с определением 1-формы ${ Displaystyle mathbf {я} ^ {а}}$, можно определить ковариантные компоненты поле кадра ${ displaystyle f_ {~ mu} ^ {a} = partial _ { mu} phi ^ { nu} delta _ {~ nu} ^ {a}}$ , т.е. ${ displaystyle e_ {~ mu} ^ {a} = { frac { partial x ^ { nu}} { partial phi ^ { mu}}} Lambda _ {~ b} ^ {a} е_ {~ nu} ^ {b}}$, чтобы заменить ${ Displaystyle mathbf {я} ^ {а}}$ так что последние три члена взаимодействия в действии vierbein становятся

${ displaystyle S = - { frac {M _ { text {Pl}} ^ {2}} {2}} m ^ {2} epsilon _ {abcd} int { Big [} mathbf {f} ^ {a} land ( Lambda _ {b '} ^ {b} mathbf {e} ^ {b'}) land ( Lambda _ {c '} ^ {c} mathbf {e} ^ { c '}) land ( Lambda _ {d'} ^ {d} mathbf {e} ^ {d '}) + mathbf {f} ^ {a} land mathbf {f} ^ {b} land ( Lambda _ {c '} ^ {c} mathbf {e} ^ {c'}) land ( Lambda _ {d '} ^ {d} mathbf {e} ^ {d'}) + mathbf {f} ^ {a} land mathbf {f} ^ {b} land mathbf {f} ^ {c} land ( Lambda _ {d '} ^ {d} mathbf {e } ^ {d '}) { Big]}}$.

Это можно сделать, потому что можно свободно перемещать преобразования диффеоморфизма ${ displaystyle partial _ { nu} phi ^ { mu}}$ на эталонный вербейн с помощью преобразований Лоренца ${ displaystyle Lambda _ {~ b} ^ {a}}$. Что еще более важно, преобразования диффеоморфизма помогают проявить динамику мод спиральности-0 и спиральности-1, следовательно, их легко измерить, когда теория сравнивается с ее версией с единственным ${ Displaystyle U (1)}$ калибровочные преобразования при выключенных полях Штюкельберга.

Можно задаться вопросом, почему отбрасываются коэффициенты и как гарантировать, что они являются числовыми без явной зависимости полей. Фактически это допустимо, потому что вариация действия Вирбейна относительно локально преобразованных по Лоренцеву полей Штюкельберга дает этот хороший результат.^[44] Более того, мы можем явно решить для лоренц-инвариантных полей Штюкельберга, и, подставляя обратно в действие Вирбейна, мы можем показать полную эквивалентность тензорной форме массивной гравитации dRGT.^[45]

Космология

Если масса гравитона ${ displaystyle m}$ сопоставимо с Тариф Хаббла ${ displaystyle H_ {0}}$, то на космологических расстояниях массовый член может вызывать отталкивающий гравитационный эффект, который приводит к космическому ускорению. Поскольку, грубо говоря, симметрия усиленного диффеоморфизма в пределе ${ displaystyle m = 0}$ защищает малую массу гравитона от больших квантовых поправок, выбор ${ displaystyle m sim H_ {0}}$ на самом деле технически естественно.^[46] Таким образом, массивная гравитация может решить проблему космологическая постоянная проблема: почему квантовые поправки не вызывают ускорение Вселенной в очень ранние времена?

Однако оказывается, что плоские и закрытые Фридман – Лемэтр – Робертсон – Уокер космологических решений не существует в массивной гравитации dRGT с плоской эталонной метрикой.^[13] Открытые решения и решения с общими эталонными метриками страдают нестабильностью.^[47] Следовательно, жизнеспособные космологии могут быть найдены только в массивной гравитации, если отказаться от космологический принцип что Вселенная однородна в больших масштабах, или иначе обобщает dRGT. Например, космологические решения лучше ведут себя в тяжеловесность,^[14] теория, которая расширяет dRGT, давая ${ displaystyle f _ { mu nu}}$ динамика. Хотя они также обладают нестабильностью,^[48][49] эти нестабильности могут найти решение в нелинейной динамике (с помощью механизма, подобного Вайнштейну) или в продвижении эры нестабильности к очень ранней Вселенной.^[15]

3D массивная гравитация

Частный случай существует в трех измерениях, когда безмассовый гравитон не распространяет никаких степеней свободы. Здесь можно сформулировать несколько теорий отсутствия привидений для массивного гравитона, распространяющего две степени свободы. В случае топологически массивная гравитация^[1] у одного есть действие

${ displaystyle S = { frac {M_ {3}} {2}} int d ^ {3} x { sqrt {-g}} (R-2 Lambda) + { frac {1} {4 mu}} epsilon ^ { lambda mu nu} Gamma _ { lambda sigma} ^ { rho} left ( partial _ { mu} Gamma _ { rho nu} ^ { sigma} + { frac {2} {3}} Gamma _ { mu alpha} ^ { sigma} Gamma _ { nu rho} ^ { alpha} right),}$

с ${ displaystyle M_ {3}}$ трехмерная планковская масса. Это трехмерная общая теория относительности, дополненная Черн-Симонс -подобный термин, построенный из Символы Кристоффеля.

Совсем недавно теория, получившая название новая массивная гравитация была разработана,^[2] который описывается действием

${ displaystyle S = M_ {3} int d ^ {3} x { sqrt {-g}} left [ pm R + { frac {1} {m ^ {2}}} left (R_ { mu nu} R ^ { mu nu} - { frac {3} {8}} R ^ {2} right) right].}$

Отношение к гравитационным волнам

Открытие 2016 г. гравитационные волны^[50] и последующие наблюдения дали ограничения на максимальную массу гравитонов, если они вообще массивны. После GW170104 событие, гравитон Комптоновская длина волны был найден как минимум 1.6×10¹⁶ м, или около 1,6 световых лет, что соответствует массе гравитона не более 7.7×10⁻²³ эВ /c².^[16] Это соотношение между длиной волны и энергией рассчитывается по той же формуле ( Соотношение Планка – Эйнштейна ) что касается электромагнитный длина волны к энергия фотона. Тем не мение, фотоны, которые имеют только энергию и не имеют массы, принципиально отличаются от массивных гравитонов в этом отношении, поскольку комптоновская длина волны гравитона не равна длине гравитационной волны. Вместо этого нижняя граница длины волны Комптона гравитона составляет около 9×10⁹ раз больше, чем длина гравитационной волны для события GW170104, которая составила ~ 1700 км. Это связано с тем, что длина волны Комптона определяется массой покоя гравитона и является инвариантной скалярной величиной.

Смотрите также

• Ускоряющееся расширение Вселенной
• Альтернативы общей теории относительности - Предлагаемые теории гравитации
• Теория Хорндески
• Биметрическая гравитация - Предлагаемые теории гравитации
• Модель DGP
• Скалярно-тензорная теория - Теория в физике со скалярами и тензорами, описывающими силу или взаимодействие
• Двойной гравитон

дальнейшее чтение

Обзорные статьи

• де Рам, Клаудиа (2014), «Массивная гравитация», Живые обзоры в теории относительности, 17 (1): 7, arXiv:1401.4173, Bibcode:2014LRR .... 17 .... 7D, Дои:10.12942 / lrr-2014-7, ЧВК  5256007, PMID  28179850
• Хинтербихлер, Курт (2012), «Теоретические аспекты массивной гравитации», Обзоры современной физики, 84 (2): 671–710, arXiv:1105.3735, Bibcode:2012RvMP ... 84..671H, Дои:10.1103 / RevModPhys.84.671, S2CID  119279950

Рекомендации