Альтернативы общей теории относительности - Alternatives to general relativity

Эта статья фактическая точность оспаривается. Соответствующее обсуждение можно найти на страница обсуждения. Пожалуйста, помогите убедиться, что оспариваемые утверждения надежный источник. (Февраль 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Альтернативы общей теории относительности находятся физические теории эта попытка описать феномен гравитация в конкуренции с теорией Эйнштейна общая теория относительности. Было много разных попыток построить идеальную теорию сила тяжести.^[1]

Эти попытки можно разделить на четыре большие категории в зависимости от их объема. В этой статье мы обсуждаем простые альтернативы общей теории относительности, которые не связаны с квантовой механикой или объединением сил. Другие теории, которые действительно пытаются построить теорию, используя принципы квантовой механики, известны как теории квантованная гравитация. В-третьих, есть теории, которые пытаются объяснить гравитацию и другие силы одновременно; они известны как классические теории единого поля. Наконец, самые амбициозные теории пытаются как описать гравитацию в терминах квантовой механики, так и объединить силы; они называются теории всего.

Ни одна из этих альтернатив общей теории относительности не получила широкого распространения. Несмотря на многие тесты общей теории относительности, общая теория относительности до сих пор согласовывалась со всеми наблюдениями. Напротив, многие ранние альтернативы были окончательно опровергнуты. Однако некоторые из альтернативных теорий гравитации поддерживаются меньшинством физиков, и эта тема остается предметом интенсивных исследований в теоретическая физика.

История теории гравитации через общую теорию относительности

В то время, когда он был опубликован в 17 веке, Теория гравитации Исаака Ньютона была самой точной теорией гравитации. С тех пор был предложен ряд альтернатив. Теории, предшествовавшие формулированию общая теория относительности в 1915 г. обсуждаются в история теории гравитации.

Общая теория относительности

Эта теория^[2][3] это то, что мы сейчас называем «общей теорией относительности» (включено сюда для сравнения). Полностью отбрасывая метрику Минковского, Эйнштейн получает:

${displaystyle delta int ds = 0,}$

${displaystyle {ds} ^ {2} = g_ {mu u}, dx ^ {mu}, dx ^ {u},}$

${displaystyle R_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} left (T_ {mu u} - {frac {1} {2}} g_ {mu u} Tight),}$

что также может быть написано

${displaystyle T ^ {mu u} = {c ^ {4} более 8pi G} слева (R ^ {mu u} - {frac {1} {2}} g ^ {mu u} справа) ,.}$

За пять дней до того, как Эйнштейн представил последнее уравнение выше, Гильберт представил статью, содержащую почти идентичное уравнение. Видеть спор о приоритете относительности. Гильберт был первым, кто правильно сформулировал Действие Эйнштейна – Гильберта для общей теории относительности:

${displaystyle S = {c ^ {4} больше 16pi G} int R {sqrt {-g}} d ^ {4} x + S_ {m},}$

куда ${displaystyle G,}$ - гравитационная постоянная Ньютона, ${displaystyle R = R_ {mu} ^ {~ mu},}$ это Кривизна Риччи пространства, ${displaystyle g = det (g_ {mu u}),}$ и ${displaystyle S_ {m},}$ это действие из-за массы.

Общая теория относительности - это тензорная теория, все уравнения содержат тензоры. С другой стороны, теории Нордстрема являются скалярными, потому что гравитационное поле является скаляром. Позже в этой статье вы увидите скалярно-тензорные теории, которые содержат скалярное поле в дополнение к тензорам общей теории относительности, а также недавно были разработаны другие варианты, содержащие векторные поля.

Мотивации

После общей теории относительности были предприняты попытки либо улучшить теории, разработанные до общей теории относительности, либо улучшить саму общую теорию относительности. Было предпринято множество различных попыток, например, добавление спина к общей теории относительности, объединение метрики, подобной общей теории относительности, с пространством-временем, которое статично по отношению к расширению Вселенной, получение дополнительной свободы путем добавления еще одного параметра. По крайней мере, одна теория была мотивирована желанием разработать альтернативу общей теории относительности, свободную от сингулярностей.

Экспериментальные испытания улучшились вместе с теориями. Многие из различных стратегий, которые были разработаны вскоре после отказа от общей теории относительности, и был толчок к разработке более общих форм сохранившихся теорий, чтобы теория была готова, когда любой тест покажет несогласие с общей теорией относительности.

К 1980-м годам все возрастающая точность экспериментальных тестов подтвердила общую теорию относительности; не осталось конкурентов, кроме тех, которые включали общую теорию относительности как частный случай. Кроме того, вскоре после этого теоретики переключились на теорию струн, которая начинала казаться многообещающей, но с тех пор потеряла популярность. В середине 1980-х годов несколько экспериментов предполагали, что гравитация была изменена добавлением пятой силы (или, в одном случае, пятой, шестой и седьмой сил), действующих в диапазоне нескольких метров. Последующие эксперименты устранили их.

Мотивы для более поздних альтернативных теорий почти все космологические, связанные с такими конструкциями, как "инфляция ", "темная материя " и "темная энергия ". Исследование Пионерская аномалия вызвала возобновление общественного интереса к альтернативам общей теории относительности.

Обозначения в этой статье

${displaystyle c;}$ это скорость света, ${displaystyle G;}$ это гравитационная постоянная. "Геометрические переменные "не используются.

Латинские индексы идут от 1 до 3, греческие - от 0 до 3. Соглашение о суммировании Эйнштейна используется.

${displaystyle eta _ {mu u};}$ это Метрика Минковского. ${displaystyle g_ {mu u};}$ - тензор, обычно метрический тензор. У них есть подпись (−,+,+,+).

Частичная дифференциация написано ${displaystyle partial _ {mu} varphi;}$ или же ${displaystyle varphi _ {, mu};}$. Ковариантная дифференциация написано ${displaystyle abla _ {mu} varphi;}$ или же ${displaystyle varphi _ {; mu};}$.

Классификация теорий

Теории гравитации можно условно разделить на несколько категорий. Большинство описанных здесь теорий:

• ан 'действие '(см. принцип наименьшего действия, а вариационный принцип основанный на концепции действия)
• а Плотность лагранжиана
• а метрика

Если теория имеет лагранжеву плотность для гравитации, скажем, ${displaystyle L,}$, то гравитационная часть действия ${displaystyle S,}$ является интегралом этого:

${displaystyle S = int L {sqrt {-g}}, mathrm {d} ^ {4} x}$.

В этом уравнении обычно, но не обязательно, чтобы ${displaystyle g = -1,}$ на пространственной бесконечности при использовании декартовых координат. Например, Действие Эйнштейна – Гильберта использует

${displaystyle L, propto, R}$

куда р это скалярная кривизна, мера кривизны пространства.

Почти каждая теория, описанная в этой статье, имеет действие. Это наиболее эффективный из известных способов гарантировать автоматическое включение необходимых законов сохранения энергии, импульса и углового момента; хотя легко построить действие, в котором эти законы сохранения нарушаются. Канонические методы предоставляют другой способ построения систем с требуемыми законами сохранения, но этот подход более громоздок в реализации.^[4] Оригинальная версия 1983 года MOND не было действия.

Некоторые теории имеют действие, но не имеют лагранжевой плотности. Хороший пример - Уайтхед,^[5] действие там называется нелокальным.

Теория гравитации является «метрической теорией» тогда и только тогда, когда ей можно дать математическое представление, в котором выполняются два условия:
Состояние 1: Существует симметричная метрический тензор ${displaystyle g_ {mu u},}$ из подпись (-, +, +, +), который управляет измерениями собственной длины и собственного времени обычным способом специальной и общей теории относительности:

${displaystyle {d au} ^ {2} = - g_ {mu u}, dx ^ {mu}, dx ^ {u},}$

где есть суммирование по индексам ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$.
Условие 2: Напряженное вещество и поля, на которые действует сила тяжести, реагируют в соответствии с уравнением:

${displaystyle 0 = abla _ {u} T ^ {mu u} = {T ^ {mu u}} _ {, u} + Gamma _ {sigma u} ^ {mu} T ^ {sigma u} + Gamma _ { сигма u} ^ {u} T ^ {mu sigma},}$

куда ${displaystyle T ^ {mu u},}$ это тензор энергии-импульса для всего вещества и негравитационных полей, и где ${displaystyle abla _ {u}}$ это ковариантная производная относительно метрики и ${displaystyle Gamma _ {sigma u} ^ {alpha},}$ это Символ Кристоффеля. Тензор энергии-импульса также должен удовлетворять состояние энергии.

Метрические теории включают (от самых простых до самых сложных):

• Теории скалярного поля (включает конформно плоские теории и стратифицированные теории с конформно плоскими пространственными срезами)
  • Бергман
  • Коулман
  • Эйнштейн (1912)
  • Теория Эйнштейна – Фоккера
  • Ли –Светлый человек –Ni
  • Littlewood
  • Ni
  • Теория гравитации Нордстрёма (первая разработанная метрическая теория гравитации)
  • Пейдж – Таппер
  • Папапетру
  • Розен (1971)
  • Уитроу-Мордух
  • Йылмаз теория гравитации (попытался устранить горизонты событий из теории.)
• Квазилинейные теории (включает линейный фиксированный калибр)
  • Боллини – Джамбиаджи – Тиомно
  • Дезер – Лоран
  • Теория гравитации Уайтхеда (предназначен только для использования запаздывающие потенциалы )
• Тензорные теории
  • Общая теория относительности Эйнштейна
  • Гравитация четвертого порядка (позволяет лагранжиану зависеть от сжатий второго порядка тензора кривизны Римана)
  • f (R) гравитация (позволяет лагранжиану зависеть от старших степеней скаляра Риччи)
  • Гаусс-Бонне гравитация
  • Теория гравитации Лавлока (позволяет лагранжиану зависеть от сжатия тензора кривизны Римана высших порядков)
  • Теорема о бесконечной производной гравитации
• Скалярно-тензорные теории
  • Бекенштейн
  • Бергманн – Ваггонер
  • Теория Бранса – Дике (наиболее известная альтернатива общей теории относительности, предназначенная для лучшего применения принципа Маха)
  • Иордания
  • Нордтведт
  • Тридцать
  • Хамелеон
  • Pressuron
• Векторно-тензорные теории
  • Hellings–Нордтведт
  • Будем –Нордтведт
• Биметрические теории
  • Светлый человек –Ли
  • Расталл
  • Розен (1975)
• Другие метрические теории

(см. раздел Современные теории ниже)

Неметрические теории включают

• Белинфанте – Свихарт
• Теория Эйнштейна – Картана (предназначен для обработки спин-орбитального обмена угловым моментом)
• Кустаанхеймо (1967)
• Телепараллелизм
• Калибровочная теория гравитации

Несколько слов о Принцип маха уместно, потому что некоторые из этих теорий основаны на принципе Маха (например, Уайтхед^[5]), и многие упоминают об этом мимоходом (например, Эйнштейн – Гроссманн,^[6] Бранс-Дике^[7]). Принцип Маха можно представить себе на полпути между Ньютоном и Эйнштейном. Это происходит так:^[8]

• Ньютон: Абсолютное пространство и время.
• Мах: Система отсчета исходит из распределения материи во Вселенной.
• Эйнштейн: Нет системы отсчета.

Пока все экспериментальные свидетельства указывают на неправильность принципа Маха, но это не исключено полностью.^{[нужна цитата ]}

Теории с 1917 по 1980 годы

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после общей теории относительности, но до наблюдений за вращением галактик, которые привели к гипотезе "темная материя ". К числу рассмотренных здесь относятся (см.^[9][10] Lang^[11][12]):

Эти теории представлены здесь без космологической постоянной или добавленного скалярного или векторного потенциала, если специально не указано иное, по той простой причине, что необходимость в одном или обоих из них не была признана до наблюдений сверхновых. Проект космологии сверхновой и Команда поиска сверхновой High-Z. Как добавить космологическая постоянная или квинтэссенция теории обсуждается в разделе "Современные теории" (см. также Действие Эйнштейна – Гильберта ).

Теории скалярного поля

Теории скалярного поля Нордстрёма^[48][49] уже обсуждались. Те из Литтлвуда,^[21] Бергман,^[23] Йылмаз,^[26] Уитроу и Мордух^[28][29] и Пейдж и Таппер^[33] следуйте общей формуле, данной Пейджем и Таппером.

По словам Пейджа и Таппера,^[33] которые обсуждают все это, кроме Нордстрёма,^[49] общая скалярная теория поля исходит из принципа наименьшего действия:

${displaystyle delta int fleft ({frac {varphi} {c ^ {2}}} ight), ds = 0}$

где скалярное поле,

${displaystyle varphi = {frac {GM} {r}}}$

и c может или не может зависеть от ${displaystyle varphi}$.

В Нордстрём,^[48]

${displaystyle f (varphi / c ^ {2}) = exp (-varphi / c ^ {2}), qquad c = c_ {infty}}$

В Литтлвуде^[21] и Бергманн,^[23]

${displaystyle fleft ({frac {varphi} {c ^ {2}}} ight) = exp left (- {frac {varphi} {c ^ {2}}} - {frac {(c / varphi ^ {2}) ^ {2}} {2}} ight) qquad c = c_ {infty},}$

В Уитроу и Мордухе^[28]

${displaystyle fleft ({frac {varphi} {c ^ {2}}} ight) = 1, qquad c ^ {2} = c_ {infty} ^ {2} -2varphi,}$

В Уитроу и Мордухе^[29]

${displaystyle fleft ({frac {varphi} {c ^ {2}}} ight) = exp left (- {frac {varphi} {c ^ {2}}} ight), qquad c ^ {2} = c_ {infty } ^ {2} -2varphi,}$

В Пейдж и Таппер,^[33]

${displaystyle fleft ({frac {varphi} {c ^ {2}}} ight) = {frac {varphi} {c ^ {2}}} + альфа влево ({frac {varphi} {c ^ {2}}} ight) ^ {2}, qquad {frac {c_ {infty} ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1 + 4left ({frac {varphi} {c_ {infty} ^ {2}}} ight ) + (15 + 2alpha) влево ({frac {varphi} {c_ {infty} ^ {2}}} ight) ^ {2}}$

Пейдж и Таппер^[33] совпадения Теория Йылмаза^[26] ко второму порядку, когда ${displaystyle alpha = -7 / 2}$.

Гравитационное отклонение света должно быть нулевым, когда c постоянно. Учитывая, что переменная c и нулевое отклонение света противоречат эксперименту, перспективы успешной скалярной теории гравитации выглядят очень маловероятными. Кроме того, если параметры скалярной теории настроены так, чтобы отклонение света было правильным, то гравитационное красное смещение, вероятно, будет неправильным.

Ni^[10] обобщил некоторые теории, а также создал еще две. В первом случае ранее существовавшие координаты пространства-времени и универсального времени специальной теории относительности взаимодействуют с веществом и негравитационными полями, создавая скалярное поле. Это скалярное поле действует вместе со всеми остальными, создавая метрику.

Действие:

${displaystyle S = {1 больше 16pi G} int d ^ {4} x {sqrt {-g}} L_ {varphi} + S_ {m}}$

${displaystyle L_ {varphi} = varphi R-2g ^ {mu u}, частично _ {mu} varphi, частично _ {u} varphi}$

Misner et al.^[50] дает это без ${displaystyle varphi R}$ срок. ${displaystyle S_ {m}}$ это дело действия.

${displaystyle Box varphi = 4pi T ^ {mu u} left [eta _ {mu u} e ^ {- 2varphi} + left (e ^ {2varphi} + e ^ {- 2varphi} ight), частично _ {mu} t , частично _ {u} плотно]}$

т - всемирная координата времени. Эта теория непротиворечива и полна. Но движение Солнечной системы через Вселенную приводит к серьезным расхождениям с экспериментом.

Во второй теории Ni^[10] есть две произвольные функции ${displaystyle f (varphi)}$ и ${displaystyle k (varphi)}$ которые связаны с метрикой:

${displaystyle ds ^ {2} = e ^ {- 2f (varphi)} dt ^ {2} -e ^ {2f (varphi)} left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} ight]}$

${displaystyle eta ^ {mu u} partial _ {mu} partial _ {u} varphi = 4pi ho ^ {*} k (varphi)}$

Ni^[10] цитаты Розена^[38] как имеющий два скалярных поля ${displaystyle varphi}$ и ${displaystyle psi}$ которые связаны с метрикой:

${displaystyle ds ^ {2} = varphi ^ {2}, dt ^ {2} -psi ^ {2} left [dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} ight]}$

В Папапетру^[19] гравитационная часть лагранжиана:

${displaystyle L_ {varphi} = e ^ {varphi} left ({frac {1} {2}} e ^ {- varphi}, частично _ {alpha} varphi, частично _ {alpha} varphi + {frac {3} { 2}} e ^ {varphi}, частично _ {0} varphi, частично _ {0} varphi ight)}$

В Папапетру^[20] есть второе скалярное поле ${displaystyle chi}$. Гравитационная часть лагранжиана теперь:

${displaystyle L_ {varphi} = e ^ {{frac {1} {2}} (3varphi + chi)} left (- {frac {1} {2}} e ^ {- varphi}, частично _ {alpha} varphi , частичное _ {alpha} varphi -e ^ {- varphi}, частичное _ {alpha} varphi, частичное _ {chi} varphi + {frac {3} {2}} e ^ {- chi}, частичное _ {0} varphi, partial _ {0} varphi ight),}$

Биметрические теории

Биметрические теории содержат как нормальную тензорную метрику, так и метрику Минковского (или метрику постоянной кривизны), а также могут содержать другие скалярные или векторные поля.

Розен^[51] (1975) биметрическая теория Действие:

${displaystyle S = {1 over 64pi G} int d ^ {4} x, {sqrt {-eta}} eta ^ {mu u} g ^ {alpha eta} g ^ {gamma delta} (g_ {alpha gamma | mu } g_ {alpha delta | u} - extstyle {frac {1} {2}} g_ {alpha eta | mu} g_ {gamma delta | u}) + S_ {m}}$

${displaystyle Box _ {eta} g_ {mu u} -g ^ {alpha eta} eta ^ {gamma delta} g_ {mu alpha | gamma} g_ {u eta | delta} = - 16pi G {sqrt {g / eta} } (T_ {mu u} - extstyle {frac {1} {2}} g_ {mu u} T),}$

Лайтман – Ли^[43] разработал метрическую теорию, основанную на неметрической теории Белинфанте и Свихарта.^[24][25] Результат известен как теория BSLL. Учитывая тензорное поле ${displaystyle B_ {mu u},}$, ${displaystyle B = B_ {mu u} eta ^ {mu u},}$, и две константы ${displaystyle a,}$ и ${displaystyle f,}$ действие:

${displaystyle S = {1 более 16pi G} int d ^ {4} x {sqrt {-eta}} (aB ^ {mu u | alpha} B_ {mu u | alpha} + fB _ {, alpha} B ^ {, альфа}) + S_ {m}}$

а тензор энергии-импульса получается из:

${displaystyle aBox _ {eta} B ^ {mu u} + feta ^ {mu u} Box _ {eta} B = -4pi G {sqrt {g / eta}}, T ^ {alpha eta} влево ({frac { частичный g_ {alpha eta}} {частичный B_ {mu} u}} ight)}$

В Растале,^[47] метрика является алгебраической функцией метрики Минковского и векторного поля.^[52] Действие:

${displaystyle S = {1 больше 16pi G} int d ^ {4} x, {sqrt {-g}} F (N) K ^ {mu; u} K_ {mu; u} + S_ {m}}$

куда

${displaystyle F (N) = - {гидроразрыв {N} {2 + N}}}$ и ${displaystyle N = g ^ {mu u} K_ {mu} K_ {u};}$

(см. Уилл^[9] для уравнения поля для ${displaystyle T ^ {mu u};}$ и ${displaystyle K_ {mu};}$).

Квазилинейные теории

В Уайтхед,^[5] физическая метрика ${displaystyle g;}$ построен (по Synge ) алгебраически из метрики Минковского ${displaystyle eta;}$ и материальные переменные, поэтому у него даже нет скалярного поля. Конструкция:

${displaystyle g_ {mu u} (x ^ {alpha}) = eta _ {mu u} -2int _ {Sigma ^ {-}} {y_ {mu} ^ {-} y_ {u} ^ {-} над ( w ^ {-}) ^ {3}} left [{sqrt {-g}} ho u ^ {alpha}, dSigma _ {alpha} ight] ^ {-}}$

где верхний индекс (-) указывает количества, оцененные в прошлом ${displaystyle eta;}$ световой конус полевой точки ${displaystyle x ^ {alpha};}$ и

${displaystyle {egin {align} (y ^ {mu}) ^ {-} & = x ^ {mu} - (x ^ {mu}) ^ {-}, qquad (y ^ {mu}) ^ {-} (y_ {mu}) ^ {-} = 0, [5pt] w ^ {-} & = (y ^ {mu}) ^ {-} (u_ {mu}) ^ {-}, qquad (u_ { mu}) = {frac {dx ^ {mu}} {dsigma}}, [5pt] dsigma ^ {2} & = eta _ {mu u}, dx ^ {mu}, dx ^ {u} end {выровнено }}}$

Тем не менее, метрическая конструкция (из неметрической теории) с использованием анзаца «стягивания длины» подвергается критике.^[53]

Дезер и Лоран^[32] и Боллини – Джамбиаджи – Тиомно^[35] являются линейными теориями с фиксированной калибровкой. Используя подход, основанный на квантовой теории поля, объедините пространство-время Минковского с калибровочно-инвариантным действием тензорного поля спина два (т. Е. Гравитона) ${displaystyle h_ {mu u};}$ определять

${displaystyle g_ {mu u} = eta _ {mu u} + h_ {mu u};}$

Действие:

${displaystyle S = {1 over 16pi G} int d ^ {4} x {sqrt {-eta}} left [2h_ {| u} ^ {mu u} h_ {mu lambda} ^ {| lambda} -2h_ {| u} ^ {mu u} h_ {lambda | mu} ^ {lambda} + h_ {u | mu} ^ {u} h_ {lambda} ^ {lambda | mu} -h ^ {mu u | lambda} h_ {mu u | лямбда} ight] + S_ {m};}$

В Бьянки идентичность связана с этой частичной калибровочной инвариантностью. Теории линейной фиксированной калибровки стремятся исправить это, нарушив калибровочную инвариантность гравитационного действия путем введения дополнительных гравитационных полей, которые связаны с ${displaystyle h_ {mu u};}$.

А космологическая постоянная может быть введена в квазилинейную теорию простым приемом замены фона Минковского на де Ситтер или же пространство-время анти-де Ситтера, как это было предложено Дж. Темплом в 1923 году. Предложения Храма о том, как это сделать, были раскритикованы К. Б. Рейнером в 1955 году.^[54]

Тензорные теории

Эйнштейна общая теория относительности - простейшая правдоподобная теория гравитации, которая может быть основана только на одном симметричном тензорном поле ( метрический тензор ). К другим относятся: гравитация Старобинского (R + R ^ 2), Гаусс-Бонне гравитация, f (R) гравитация, и Теория гравитации Лавлока.

Старобинский

Старобинская гравитация, предложенная Алексей Старобинский имеет лагранжиан

${displaystyle {mathcal {L}} = {sqrt {-g}} left [R + {frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}} ight]}$

и использовался для объяснения инфляции в виде Старобинская инфляция.

Гаусс – Бонне

Гаусс-Бонне гравитация имеет действие

${displaystyle {mathcal {L}} = {sqrt {-g}} left [R + R ^ {2} -4R ^ {mu u} R_ {mu u} + R ^ {mu u ho sigma} R_ {mu u ho sigma} ight].}$

где коэффициенты при дополнительных членах выбраны так, что действие сводится к общей теории относительности в четырех измерениях пространства-времени, а дополнительные члены становятся нетривиальными только тогда, когда вводятся дополнительные измерения.

4-я производная гравитации Стелла

Четвертая производная гравитации Стелля, которая является обобщением гравитации Гаусса – Бонне, имеет действие

${displaystyle {mathcal {L}} = {sqrt {-g}} слева [R + f_ {1} R ^ {2} + f_ {2} R ^ {mu u} R_ {mu u} + f_ {3} R ^ {mu u ho sigma} R_ {mu u ho sigma} ight].}$

f (R)

f (R) гравитация имеет действие

${displaystyle {mathcal {L}} = {sqrt {-g}} f (R)}$

и представляет собой семейство теорий, каждая из которых определяется отдельной функцией скаляра Риччи. Старобинская гравитация на самом деле ${displaystyle f (R)}$ теория.

Бесконечная производная гравитация

Бесконечная производная гравитация - ковариантная теория гравитации, квадратичная по кривизне, без кручения и инвариантная по четности,^[55]

${displaystyle {mathcal {L}} = {sqrt {-g}} left [M_ {p} ^ {2} R + Rf_ {1} left ({frac {Box} {M_ {s} ^ {2}}}) ight) R + R ^ {mu u} f_ {2} влево ({frac {Box} {M_ {s} ^ {2}}} ight) R_ {mu u} + R ^ {mu u ho sigma} f_ { 3} left ({frac {Box} {M_ {s} ^ {2}}} ight) R_ {mu u ho sigma} ight].}$

и

${displaystyle 2f_ {1} left ({frac {Box} {M_ {s} ^ {2}}} ight) + f_ {2} left ({frac {Box} {M_ {s} ^ {2}}} ight) ) + 2f_ {3} влево ({frac {Box} {M_ {s} ^ {2}}} ight) = 0,}$

чтобы убедиться, что в пропагаторе гравитона вокруг фона Минковского распространяются только безмассовые компоненты со спином −2 и спином −0. Действие становится нелокальным за масштаб ${displaystyle M_ {s}}$, и возвращается к ОТО в инфракрасном диапазоне для энергий ниже нелокального масштаба ${displaystyle M_ {s}}$. В ультрафиолетовом режиме на расстояниях и временных масштабах ниже нелокальных масштабов ${displaystyle M_ {s} ^ {- 1}}$, гравитационное взаимодействие ослабевает достаточно, чтобы разрешить точечную сингулярность, что означает, что сингулярность Шварцшильда потенциально может быть разрешена в бесконечные производные теории гравитации.

Лавлок

Гравитация Лавлока имеет действие

${displaystyle {mathcal {L}} = {sqrt {-g}} (alpha _ {0} + alpha _ {1} R + alpha _ {2} left (R ^ {2} + R_ {alpha eta mu u}) R ^ {alpha eta mu u} -4R_ {mu u} R ^ {mu u} ight) + alpha _ {3} {mathcal {O}} (R ^ {3})),}$

и может рассматриваться как обобщение общей теории относительности.

Скалярно-тензорные теории

Все они содержат по крайней мере один свободный параметр, в отличие от общей теории относительности, в которой нет свободных параметров.

Хотя обычно это не считается скалярно-тензорной теорией гравитации, метрика 5 на 5 Калуца ​​– Кляйн сводится к метрике 4 на 4 и единственному скаляру. Итак, если 5-й элемент рассматривается как скалярное гравитационное поле вместо электромагнитного поля, тогда Калуца ​​– Кляйн можно считать прародителем скалярно-тензорных теорий гравитации. Это признал Тири.^[18]

Скалярно-тензорные теории включают Тири,^[18] Иордания,^[22] Бранс и Дике,^[7] Бергман,^[34] Нордтвельдт (1970), Ваггонер,^[37] Бекенштейн^[45] и Баркер.^[46]

Действие ${displaystyle S;}$ основан на интеграле лагранжиана ${displaystyle L_ {varphi};}$.

${displaystyle S = {1 больше 16pi G} int d ^ {4} x {sqrt {-g}} L_ {varphi} + S_ {m};}$

${displaystyle L_ {varphi} = varphi R- {omega (varphi) over varphi} g ^ {mu u}, частичное _ {mu} varphi, частичное _ {u} varphi + 2varphi lambda (varphi);}$

${displaystyle S_ {m} = int d ^ {4} x, {sqrt {g}}, G_ {N} L_ {m};}$

${displaystyle T ^ {mu u} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {2 over {sqrt {g}}} {delta S_ {m} over delta g_ {mu u}}}$

куда ${displaystyle omega (varphi);}$ является отдельной безразмерной функцией для каждой теории скалярного тензора. Функция ${displaystyle lambda (varphi);}$ играет ту же роль, что и космологическая постоянная в общей теории относительности. ${displaystyle G_ {N};}$ - безразмерная нормировочная константа, фиксирующая текущее значение ${displaystyle G;}$. К скаляру можно добавить произвольный потенциал.

Полная версия сохраняется в Бергмане.^[34] и Ваггонер.^[37] Особые случаи:

Нордтведт,^[36] ${displaystyle lambda = 0;}$

С ${displaystyle lambda}$ в то время все равно считалось равным нулю, это не считалось бы существенной разницей. Роль космологической постоянной в более современных работах обсуждается в разделе Космологическая постоянная.

Бранс – Дике,^[7] ${displaystyle omega;}$ постоянно

Бекенштейн^[45] теория переменных масс, начиная с параметров ${displaystyle r;}$ и ${displaystyle q;}$, найденная из космологического решения,${displaystyle varphi = [1-qf (varphi)] f (varphi) ^ {- r};}$ определяет функцию ${displaystyle f;}$ тогда

${displaystyle omega (varphi) = - extstyle {frac {3} {2}} - extstyle {frac {1} {4}} f (varphi) [(1-6q) qf (varphi) -1] [r + (1 -r) qf (varphi)] ^ {- 2};}$

Баркер^[46] теория постоянной G

${displaystyle omega (varphi) = {frac {4-3varphi} {2varphi -2}}}$

Регулировка ${displaystyle omega (varphi);}$ позволяет скалярным тензорным теориям стремиться к общей теории относительности в пределе ${displaystyle omega ightarrow infty;}$ в нынешнюю эпоху. Однако в ранней Вселенной могли быть значительные отличия от общей теории относительности.

Пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, общие скалярно-тензорные теории (включая Бранса – Дике^[7]) никогда нельзя исключить полностью, но по мере того, как эксперименты продолжают более точно подтверждать общую теорию относительности, необходимо точно настроить параметры, чтобы предсказания более точно соответствовали предсказаниям общей теории относительности.

Приведенные выше примеры являются частными случаями Теория Хорндески,^[56][57] наиболее общий лагранжиан, построенный из метрического тензора и скалярного поля, приводящий к уравнениям движения второго порядка в 4-мерном пространстве. Было показано, что жизнеспособные теории помимо Хорндески (с уравнениями движения более высокого порядка) существуют.^[58][59][60]

Векторно-тензорные теории

Прежде чем мы начнем, Уилл (2001) сказал: «Многие альтернативные метрические теории, разработанные в 1970-х и 1980-х годах, можно рассматривать как теории« соломенного человека », изобретенные для доказательства существования таких теорий или для иллюстрации конкретных свойств. Лишь немногие из них могли можно рассматривать как хорошо мотивированные теории с точки зрения, скажем, теории поля или физики элементарных частиц. Примерами являются векторные тензорные теории, изученные Уиллом, Нордтведтом и Хеллингсом ».

Хеллингс и Нордтведт^[42] и Уилл и Нордтведт^[41] обе являются векторно-тензорными теориями. Помимо метрического тензора существует времяподобное векторное поле ${displaystyle K_ {mu}.}$ Гравитационное действие:

${displaystyle S = {frac {1} {16pi G}} int d ^ {4} x {sqrt {-g}} left [R + omega K_ {mu} K ^ {mu} R + eta K ^ {mu} K ^ {u} R_ {mu u} -эпсилон F_ {mu u} F ^ {mu u} + au K_ {mu; u} K ^ {mu; u} ight] + S_ {m}}$

куда ${displaystyle omega, eta, epsilon, au}$ константы и

${displaystyle F_ {mu u} = K_ {u; mu} -K_ {mu; u}.}$ (См. Уилл^[9] для уравнений поля для ${displaystyle T ^ {mu u}}$ и ${displaystyle K_ {mu}.}$)

Уилл и Нордтведт^[41] это частный случай, когда

${displaystyle omega = eta = epsilon = 0; quad au = 1}$

Хеллингс и Нордтведт^[42] это частный случай, когда

${displaystyle au = 0; quad epsilon = 1; quad eta = -2omega}$

Эти векторно-тензорные теории являются полуконсервативными, что означает, что они удовлетворяют законам сохранения импульса и углового момента, но могут иметь эффекты предпочтительной системы отсчета. Когда ${displaystyle omega = eta = epsilon = au = 0}$ они сводятся к общей теории относительности, поэтому, пока общая теория относительности подтверждается экспериментом, нельзя исключать общие векторно-тензорные теории.

Другие метрические теории

Были предложены и другие метрические теории; что из Бекенштейн ^[61] обсуждается в разделе «Современные теории».

Неметрические теории

Теория Картана особенно интересна как потому, что это неметрическая теория, так и потому, что она очень старая. Статус теории Картана неясен. Будем^[9] утверждает, что все неметрические теории устраняются принципом эквивалентности Эйнштейна. Уилл (2001) смягчает это, объясняя экспериментальные критерии проверки неметрических теорий против принципа эквивалентности Эйнштейна. Misner et al.^[50] утверждает, что теория Картана является единственной неметрической теорией, выдержавшей все экспериментальные испытания до того времени, а Турышев^[62] перечисляет теорию Картана среди немногих, которые выдержали все экспериментальные испытания до того времени. Ниже приводится краткий набросок теории Картана, изложенной Траутманом.^[63]

Картан^[13][14] предложил простое обобщение теории гравитации Эйнштейна. Он предложил модель пространства-времени с метрическим тензором и линейной «связью», совместимую с метрикой, но не обязательно симметричную. Тензор кручения связи связан с плотностью собственного углового момента. Независимо от Картана аналогичные идеи были выдвинуты Скиамой, Кибблом в период с 1958 по 1966 год, кульминацией которых стал обзор Хел и др. За 1976 год.

Первоначальное описание дано в терминах дифференциальных форм, но в настоящей статье оно заменено более привычным языком тензоров (риск потери точности). Как и в общей теории относительности, лагранжиан состоит из безмассовой и массовой частей. Лагранжиан для безмассовой части:

${displaystyle {egin {align} L & = {1 over 32pi G} Omega _ {u} ^ {mu} g ^ {u xi} x ^ {eta} x ^ {zeta} varepsilon _ {xi mu eta zeta} [ 5pt] Omega _ {u} ^ {mu} & = Domega _ {u} ^ {mu} + omega _ {xi} ^ {eta} [5pt] abla x ^ {mu} & = - omega _ {u} ^ {mu} x ^ {u} конец {выровнено}}}$

В ${displaystyle omega _ {u} ^ {mu};}$ - линейная связь. ${displaystyle varepsilon _ {xi mu eta zeta};}$ - полностью антисимметричный псевдотензор (Символ Леви-Чивита ) с ${displaystyle varepsilon _ {0123} = {sqrt {-g}};}$, и ${displaystyle g ^ {u xi},}$ - как обычно, метрический тензор. Предполагая, что линейная связь является метрической, можно устранить нежелательную свободу, присущую неметрической теории. Тензор энергии-импульса рассчитывается по формуле:

${displaystyle T ^ {mu u} = {1 больше 16pi G} (g ^ {mu u} eta _ {eta} ^ {xi} -g ^ {xi mu} eta _ {eta} ^ {u} -g ^ {xi u} eta _ {eta} ^ {mu}) Omega _ {xi} ^ {eta};}$

Кривизна пространства не является римановой, но в римановом пространстве-времени лагранжиан сводится к лагранжиану общей теории относительности.

Некоторые уравнения неметрической теории Белинфанте и Свихарта^[24][25] уже обсуждались в разделе о биметрические теории.

Отчетливо неметрическая теория дается калибровочная теория гравитации, который заменяет метрику в своих полевых уравнениях парой калибровочных полей в плоском пространстве-времени. С одной стороны, теория достаточно консервативна, поскольку она по существу эквивалентна теории Эйнштейна – Картана (или общей теории относительности в пределе исчезающего спина), отличаясь в основном природой ее глобальных решений. С другой стороны, он радикален, поскольку заменяет дифференциальную геометрию на геометрическая алгебра.

Современные теории с 1980-х годов по настоящее время

В этот раздел включены альтернативы общей теории относительности, опубликованные после наблюдений за вращением галактик, которые привели к гипотезе «темной материи». Нет известного надежного списка для сравнения этих теорий. Здесь рассматриваются: Бекенштейн,^[61] Моффат,^[64] Моффат,^[65] Моффат.^[66][67] Эти теории представлены с космологической постоянной или добавленным скалярным или векторным потенциалом.

Мотивации

Мотивы для более поздних альтернатив общей теории относительности почти все космологические, связанные или заменяющие такие конструкции, как «инфляция», «темная материя» и «темная энергия». Основная идея состоит в том, что гравитация согласуется с общей теорией относительности в нынешнюю эпоху, но, возможно, была совершенно иной в ранней Вселенной.

В 1980-х годах в мире физики постепенно начиналось осознание того, что нынешнему сценарию Большого взрыва присущи несколько проблем, включая проблема горизонта и наблюдение, что в ранние времена, когда кварки только формировались, во Вселенной не было достаточно места, чтобы вместить хотя бы один кварк. Теория инфляции была разработана для преодоления этих трудностей. Другой альтернативой было построение альтернативы общей теории относительности, в которой скорость света была выше в ранней Вселенной. Открытие неожиданных кривых вращения галактик застало всех врасплох. Может ли во Вселенной быть больше массы, чем мы думаем, или сама теория гравитации неверна? Сейчас консенсус состоит в том, что недостающая масса - это «холодная темная материя», но этот консенсус был достигнут только после попытки альтернативы общей теории относительности, и некоторые физики все еще считают, что альтернативные модели гравитации могут дать ответ.

В 1990-х годах обзоры сверхновых обнаружили ускоренное расширение Вселенной, которое теперь обычно приписывают темная энергия. Это привело к быстрому восстановлению космологической постоянной Эйнштейна, и квинтэссенция появилась как альтернатива космологической постоянной. По крайней мере, одна новая альтернатива общей теории относительности попыталась совершенно иначе объяснить результаты исследований сверхновых. Измерение скорости гравитации с помощью гравитационно-волнового события GW170817 исключил многие альтернативные теории гравитации в качестве объяснения ускоренного расширения.^[68][69][70] Еще одно наблюдение, которое вызвало в последнее время интерес к альтернативам общей теории относительности, - это Пионерская аномалия. Вскоре было обнаружено, что эту аномалию можно объяснить альтернативами общей теории относительности. В настоящее время считается, что это объясняется неоднородным тепловым излучением.

Космологическая постоянная и квинтэссенция

Космологическая постоянная ${displaystyle Lambda;}$ Это очень старая идея, восходящая к Эйнштейну в 1917 году.^[3] Успех модели Вселенной Фридмана, в которой ${displaystyle Lambda = 0;}$ привело к всеобщему признанию, что оно равно нулю, но использование ненулевого значения вернулось с удвоенной силой, когда данные сверхновых показали, что расширение Вселенной ускоряется.

Во-первых, давайте посмотрим, как это влияет на уравнения ньютоновской гравитации и общей теории относительности. В ньютоновской гравитации добавление космологической постоянной изменяет уравнение Ньютона – Пуассона:

${displaystyle abla ^ {2} varphi = 4pi ho G;}$

к

${displaystyle abla ^ {2} varphi + {frac {1} {2}} Lambda c ^ {2} = 4pi ho G;}$

В общей теории относительности он изменяет действие Эйнштейна – Гильберта с

${displaystyle S = {1 больше 16pi G} int R {sqrt {-g}}, d ^ {4} x, + S_ {m};}$

к

${displaystyle S = {1 больше 16pi G} int (R-2Lambda) {sqrt {-g}}, d ^ {4} x, + S_ {m};}$

что меняет уравнение поля

${displaystyle T ^ {mu u} = {1 больше 8pi G} слева (R ^ {mu u} - {frac {1} {2}} g ^ {mu u} справа);}$

к

${displaystyle T ^ {mu u} = {1 больше 8pi G} слева (R ^ {mu u} - {frac {1} {2}} g ^ {mu u} R + g ^ {mu u} Lambda ight) ;}$

В альтернативных теориях гравитации космологическая постоянная может быть добавлена ​​к действию точно таким же образом.

Космологическая постоянная - не единственный способ получить ускоренное расширение Вселенной в альтернативе общей теории относительности. Мы уже видели, как скалярный потенциал ${displaystyle lambda (varphi);}$ могут быть добавлены к скалярным тензорным теориям. Это также может быть сделано в любой альтернативе общей теории относительности, содержащей скалярное поле ${displaystyle varphi;}$ добавив термин ${displaystyle lambda (varphi);}$ внутри лагранжиана для гравитационной части действия ${displaystyle L_ {varphi};}$ часть

${displaystyle S = {1 больше 16pi G} int d ^ {4} x, {sqrt {-g}}, L_ {varphi} + S_ {m};}$

Потому что ${displaystyle lambda (varphi);}$ является произвольной функцией скалярного поля, ее можно настроить так, чтобы она давала ускорение, которое велико в ранней Вселенной и мало в настоящее время. Это известно как квинтэссенция.

Подобный метод может быть использован в качестве альтернативы общей теории относительности, использующей векторные поля, включая Расталла.^[47] и векторно-тензорные теории. Срок, пропорциональный

${displaystyle K ^ {mu} K ^ {u} g_ {mu u};}$

добавляется к лагранжиану для гравитационной части действия.

Теории Фарнса

В декабре 2018 года астрофизик Джейми Фарнс от Оксфордский университет предложил темная жидкость теория, связанная с представлениями о гравитационно отталкивающих отрицательных массах, которые ранее были представлены Альберт Эйнштейн. Теория может помочь лучше понять значительное количество неизвестного темная материя и темная энергия в вселенная.^[71]

Теория опирается на концепцию отрицательная масса и вновь вводит Фред Хойл тензор создания, чтобы позволить создание материи только для частиц с отрицательной массой. Таким образом, частицы с отрицательной массой окружают галактики и оказывают на них давление, напоминая темную материю. Поскольку эти предполагаемые частицы взаимно отталкиваются друг от друга, они раздвигают Вселенную, напоминая темную энергию. Создание материи позволяет плотности экзотических частиц с отрицательной массой оставаться постоянной как функция времени, и поэтому выглядит как космологическая постоянная. Полевые уравнения Эйнштейна видоизменяются:

${displaystyle R_ {mu u} - {frac {1} {2}} Rg_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} влево (T_ {mu u} ^ {+} + T_ {mu u} ^ {-} + C_ {mu u} ight)}$

Согласно бритве Оккама, теория Фарнса является более простой альтернативой традиционной модели LambdaCDM, поскольку и темная энергия, и темная материя (две гипотезы) решаются с использованием одной жидкости с отрицательной массой (одна гипотеза). Теорию можно будет напрямую проверить с помощью крупнейшего в мире радиотелескопа. Массив квадратных километров который должен появиться в сети в 2022 году.^[72]

Релятивистский MOND

Первоначальная теория MOND была разработана Милгромом в 1983 году как альтернатива «темной материи». Отклонения от закона всемирного тяготения Ньютона регулируются шкалой ускорения, а не шкалой расстояний. MOND успешно объясняет наблюдение Талли-Фишера о том, что светимость галактики должна масштабироваться как четвертая степень скорости вращения. Это также объясняет, почему разница вращения в карликовых галактиках особенно велика.

Вначале с MOND было несколько проблем.

1. Он не включал релятивистские эффекты
2. Это нарушило закон сохранения энергии, импульса и момента количества движения.
3. Это было непоследовательно, поскольку дает разные галактические орбиты для газа и звезд.
4. В нем не указано, как рассчитать гравитационное линзирование от скоплений галактик.

К 1984 г. задачи 2 и 3 были решены введением лагранжиана (AQUAL ). Релятивистская версия этого, основанная на теории скалярного тензора, была отвергнута, поскольку она позволяла волнам в скалярном поле распространяться быстрее света. Лагранжиан нерелятивистской формы:

${displaystyle L = - {a_ {0} ^ {2} over 8pi G} fleftlbrack {frac {| abla varphi | ^ {2}} {a_ {0} ^ {2}}} ightbrack -ho varphi}$

В релятивистской версии этого есть:

${displaystyle L = - {a_ {0} ^ {2} больше 8pi G} {ilde {f}} слева (ell _ {0} ^ {2} g ^ {mu u}, частично _ {mu} varphi, частично _ {u} varphi ight)}$

с нестандартным массовым действием. Здесь ${displaystyle f}$ и ${displaystyle {ilde {f}}}$ - произвольные функции, выбранные для придания ньютоновскому и MOND поведения в правильных пределах, и ${displaystyle l_ {0} = c ^ {2} / a_ {0};}$ - масштаб длины MOND. К 1988 году второе скалярное поле (PCC) устранило проблемы с более ранней версией скалярного тензора, но вступило в конфликт с прецессией перигелия Меркурия и гравитационным линзированием галактиками и скоплениями. К 1997 году MOND был успешно включен в стратифицированную релятивистскую теорию [Сандерс], но, поскольку это предпочтительная фрейм-теория, у нее есть свои проблемы. Бекенштейн^[61] представил тензор-вектор-скаляр модель (TeVeS). У этого есть два скалярных поля ${displaystyle varphi}$ и ${displaystyle sigma;}$ и векторное поле ${displaystyle U_ {alpha}}$. Действие разделено на части для гравитации, скаляров, вектора и массы.

${displaystyle S = S_ {g} + S_ {s} + S_ {v} + S_ {m}}$

Гравитационная часть такая же, как и в общей теории относительности.

${displaystyle {egin {align} S_ {s} & = - {frac {1} {2}} int left [sigma ^ {2} h ^ {alpha eta} varphi _ {, alpha} varphi _ {, eta} + {frac {1} {2}} Gell _ {0} ^ {- 2} sigma ^ {4} F (kGsigma ^ {2}) ight] {sqrt {-g}}, d ^ {4} x [ 5pt] S_ {v} & = - {frac {K} {32pi G}} int left [g ^ {alpha eta} g ^ {mu u} U _ {[alpha, mu]} U _ {[eta, u]} - {frac {2lambda} {K}} left (g ^ {mu u} U_ {mu} U_ {u} + 1ight) ight] {sqrt {-g}}, d ^ {4} x [5pt] S_ {m} & = int Lleft ({ilde {g}} _ {mu u}, f ^ {alpha}, f_ {| mu} ^ {alpha}, ldots ight) {sqrt {-g}}, d ^ { 4} xend {выровнено}}}$

куда

${displaystyle h ^ {alpha eta} = g ^ {alpha eta} -U ^ {alpha} U ^ {eta}}$

${displaystyle {ilde {g}} ^ {alpha eta} = e ^ {2varphi} g ^ {alpha eta} + 2U ^ {alpha} U ^ {eta} sinh (2varphi)}$

${displaystyle k, K}$ - константы, квадратные скобки в индексах ${displaystyle U _ {[alpha, mu]}}$ представляют собой антисимметризацию, ${displaystyle lambda}$ множитель Лагранжа (вычисленный в другом месте), и L является лагранжианом, переведенным с плоского пространства-времени на метрику ${displaystyle {ilde {g}} ^ {alpha eta}}$. Обратите внимание, что грамм не обязательно равняться наблюдаемой гравитационной постоянной ${displaystyle G_ {Ньютон}}$. F - произвольная функция, а

${displaystyle F (mu) = {frac {3} {4}} {mu ^ {2} (mu -2) ^ {2} более 1-mu}}$

приводится в качестве примера с правильной асимптотикой; обратите внимание, как он становится неопределенным, когда ${displaystyle mu = 1}$

Параметрические постньютоновские параметры этой теории вычисляются в^[73] что показывает, что все ее параметры равны общей теории относительности, за исключением

${displaystyle {egin {align} alpha _ {1} & = {frac {4G} {K}} left ((2K-1) e ^ {- 4varphi _ {0}} - e ^ {4varphi _ {0}} + 8ight) -8 [5pt] alpha _ {2} & = {frac {6G} {2-K}} - {frac {2G (K + 4) e ^ {4varphi _ {0}}} {(2 -K) ^ {2}}} - 1 конец {выровнено}}}$

оба из которых выражены в геометрические единицы куда ${displaystyle c = G_ {Newtonian} = 1}$; так

${displaystyle G ^ {- 1} = {frac {2} {2-K}} + {frac {k} {4pi}}.}$

Теории Моффата

Дж. В. Моффат^[64] разработал несимметричная теория гравитации. Это не метрическая теория. Сначала было заявлено, что он не содержит горизонта черной дыры, но Бурко и Ори^[74] обнаружили, что несимметричная теория гравитации может содержать черные дыры. Позже Моффат утверждал, что его также применяли для объяснения кривых вращения галактик без обращения к «темной материи». Дамур, Дезер и Макарти^[75] раскритиковали несимметричную теорию гравитации, заявив, что она имеет неприемлемое асимптотическое поведение.

Математика не сложна, но взаимосвязана, поэтому ниже приводится лишь краткий набросок. Начиная с несимметричного тензора ${displaystyle g_ {mu u};}$, плотность лагранжиана разбивается на

${displaystyle L = L_ {R} + L_ {M};}$

куда ${displaystyle L_ {M};}$ то же, что и для материи в общей теории относительности.

${displaystyle L_ {R} = {sqrt {-g}} left [R (W) -2lambda - {frac {1} {4}} mu ^ {2} g ^ {mu u} g _ {[mu u]} ight] - {frac {1} {6}} g ^ {mu u} W_ {mu} W_ {u};}$

куда ${displaystyle R (W);}$ является кривизной, аналогичной кривизне Риччи в общей теории относительности, но не равной ей, ${displaystyle lambda;}$ и ${displaystyle mu ^ {2};}$ космологические постоянные, ${displaystyle g _ {[u mu]};}$ антисимметричная часть ${displaystyle g_ {u mu};}$.${displaystyle W_ {mu};}$ - это соединение, и его немного сложно объяснить, потому что оно определено рекурсивно. Тем не мение, ${displaystyle W_ {mu} около -2g _ {[mu u]} ^ {, u};}$

Хауган и Кауфманн^[76] использовали поляризационные измерения света, излучаемого галактиками, чтобы наложить резкие ограничения на величину некоторых параметров несимметричной теории гравитации. Они также использовали эксперименты Хьюза-Древера, чтобы ограничить оставшиеся степени свободы. Их ограничение на восемь порядков острее, чем предыдущие оценки.

Моффата^[66] Теория метрической косо-тензорной гравитации (MSTG) способна предсказывать кривые вращения для галактик без темной материи или MOND, и утверждает, что она также может объяснить гравитационное линзирование скоплений галактик без темной материи. Имеет переменную ${displaystyle G;}$, увеличиваясь до окончательного постоянного значения примерно через миллион лет после большого взрыва.

Похоже, что теория содержит асимметричный тензор ${displaystyle A_ {mu u};}$ поле и ток источника ${displaystyle J_ {mu};}$ вектор. Действие разделено на:

${displaystyle S = S_ {G} + S_ {F} + S_ {FM} + S_ {M};}$

И гравитация, и масса совпадают с членами общей теории относительности с космологической постоянной. Действие телесного поля и взаимодействие материи телесного поля:

${displaystyle S_ {F} = int d ^ {4} x, {sqrt {-g}} left ({frac {1} {12}} F_ {mu u ho} F ^ {mu u ho} - {frac { 1} {4}} mu ^ {2} A_ {mu u} A ^ {mu u} ight);}$

${displaystyle S_ {FM} = int d ^ {4} x, epsilon ^ {alpha eta mu u} A_ {alpha eta} частично _ {mu} J_ {u};}$

куда

${displaystyle F_ {mu u ho} = частично _ {mu} A_ {u ho} + частично _ {ho} A_ {mu u}}$

и ${displaystyle epsilon ^ {alpha eta mu u};}$ это символ Леви-Чивиты. Связь с телом - это связь Паули, она калибровочно инвариантна для любого тока источника. Источник тока выглядит как фермионное поле материи, связанное с барионным и лептонным числами.

Скалярно-тензорно-векторная гравитация

Моффата Скалярно-тензорно-векторная гравитация^[67] содержит тензорное, векторное и три скалярных поля. Но уравнения довольно просты. Действие разделено на: ${Displaystyle S = S_ {G} + S_ {K} + S_ {S} + S_ {M}}$ с элементами гравитации, векторное поле ${displaystyle K_ {mu},}$ скалярные поля ${displaystyle G, omega, mu}$ и масса. ${displaystyle S_ {G}}$ является стандартным термином гравитации за исключением того, что ${displaystyle G}$ перемещается внутрь интеграла.

${displaystyle S_ {K} = - int d ^ {4} x, {sqrt {-g}} omega left ({frac {1} {4}} B_ {mu u} B ^ {mu u} + V (K ) ight), qquad {ext {где}} quad B_ {mu u} = partial _ {mu} K_ {u} -partial _ {u} K_ {mu}.}$

${displaystyle S_ {S} = - int d ^ {4} x, {sqrt {-g}} {frac {1} {G ^ {3}}} left ({frac {1} {2}} g ^ { mu u}, abla _ {mu} G, abla _ {u} GV (G) ight) + {frac {1} {G}} left ({frac {1} {2}} g ^ {mu u}, abla _ {mu} omega, abla _ {u} omega -V (omega) ight) + {1 over mu ^ {2} G} влево ({frac {1} {2}} g ^ {mu u}, abla _ {mu} mu, abla _ {u} mu -V (mu) ight).}$

Потенциальная функция для векторного поля выбрана следующей:

${displaystyle V (K) = - {frac {1} {2}} mu ^ {2} varphi ^ {mu} varphi _ {mu} - {frac {1} {4}} gleft (varphi ^ {mu} varphi _ {mu} ight) ^ {2}}$

куда ${displaystyle g}$ - константа связи. Предполагаемые функции для скалярных потенциалов не указаны.

Бесконечная производная гравитация

Чтобы удалить призраков в модифицированном пропагаторе, а также получить асимптотическую свободу, Бисвас, Мазумдар и Сигель (2005) рассмотрел бесконечный набор высших производных членов, вдохновленный струнами.

${displaystyle S = int mathrm {d} ^ {4} x {sqrt {-g}} left ({frac {R} {2}} + RF (Box) Right)}$

куда ${displaystyle F (Box)}$ является экспонентой от целой функции Оператор Даламбера.^[77][78] Это позволяет избежать сингулярности черной дыры вблизи начала координат, одновременно восстанавливая падение 1 / r потенциала общей теории относительности на больших расстояниях.^[79] Lousto и Маццителли (1997) нашли точное решение этой теории, представляющей гравитационную ударную волну.^[80]

Проверка альтернатив общей теории относительности

Любая предполагаемая альтернатива общей теории относительности должна пройти множество тестов, чтобы стать приемлемой. Для более подробного описания этих тестов см. Misner et al.^[50] Глава 39, Воля ^[9] Таблица 2.1, а Ni.^[10] Большинство таких тестов можно разделить на следующие подразделы.

Самосогласованность

Самосогласованность среди неметрических теорий включает устранение теорий, позволяющих тахионы, призрачные полюса и полюса более высокого порядка, а также те, у которых есть проблемы с поведением на бесконечности. Среди метрических теорий самосогласованность лучше всего иллюстрируется описанием нескольких теорий, не прошедших этот тест. Классическим примером является теория поля спин-два Фирца и Паули;^[15] уравнения поля подразумевают, что гравитирующие тела движутся по прямой линии, тогда как уравнения движения утверждают, что гравитация отклоняет тела от движения по прямой. Йылмаз (1971)^[27] содержит тензорное гравитационное поле, используемое для построения метрики; это математически непоследовательно, потому что функциональная зависимость метрики от тензорного поля не определена четко.

Полнота

Чтобы быть законченной, теория гравитации должна быть способна анализировать результаты каждого интересующего эксперимента. Следовательно, он должен быть связан с электромагнетизмом и всей другой физикой. Например, любая теория, которая не может предсказать из первых принципов движение планет или поведение атомных часов, является неполной.

Многие ранние теории неполны в том, что неясно, ${displaystyle ho}$ используемый теорией, следует вычислять из тензора энергии-импульса ${displaystyle T}$ в качестве ${displaystyle ho = T_ {mu u} u ^ {mu} u ^ {u}}$ или как ${displaystyle ho = T_ {mu u} delta ^ {mu u}}$, куда ${displaystyle u}$ это четырехскоростной, и ${displaystyle delta}$ это Дельта Кронекера. Теории Тирри (1948) и Джордана^[22] являются неполными, если параметр Джордана ${displaystyle eta;}$ установлен в -1, и в этом случае они соответствуют теории Бранса – Дике^[7] и поэтому заслуживают дальнейшего рассмотрения. Milne^[17] является неполным, потому что он не дает предсказания гравитационного красного смещения. Теории Уитроу и Мордуха,^[28][29] Kustaanheimo^[30] и Кустаанхеймо и Нуотио^[31] либо неполны, либо непоследовательны. Включение уравнений Максвелла является неполным, если не предполагается, что они наложены на плоский фон пространства-времени, и когда это сделано, они несовместимы, потому что они предсказывают нулевое гравитационное красное смещение, когда используется волновая версия света (теория Максвелла). , и ненулевое красное смещение, когда используется версия частицы (фотон). Другой более очевидный пример - ньютоновская гравитация с уравнениями Максвелла; свет как фотоны отклоняется гравитационными полями (вдвое меньше общей теории относительности), а свет как волны - нет.

Классические тесты

Существует три «классических» теста (датируемых 1910-ми или ранее) способности теорий гравитации справляться с релятивистскими эффектами; они есть гравитационное красное смещение, гравитационное линзирование (обычно проверяется вокруг Солнца) и аномальное продвижение перигелия планет. Каждая теория должна воспроизводить наблюдаемые результаты в этих областях, которые до настоящего времени всегда согласовывались с предсказаниями общей теории относительности. В 1964 г. Ирвин И. Шапиро нашел четвертый тест, названный Задержка Шапиро. Обычно его тоже считают «классическим».

Согласие с ньютоновой механикой и специальной теорией относительности

В качестве примера несогласия с экспериментами Ньютона Биркгоф^[16] Теория довольно надежно предсказывает релятивистские эффекты, но требует, чтобы звуковые волны распространялись со скоростью света. Это было следствием предположения, сделанного для упрощения обработки столкновения масс.^{[нужна цитата ]}

Принцип эквивалентности Эйнштейна

Принцип эквивалентности Эйнштейна состоит из трех компонентов. Первый - это уникальность свободного падения, также известная как принцип слабой эквивалентности. Это выполняется, если инертная масса равна гравитационной массе. η - параметр, используемый для проверки максимально допустимого нарушения принципа слабой эквивалентности. Первые испытания принципа слабой эквивалентности были проведены Этвешем до 1900 г. η до менее 5×10⁻⁹. Современные тесты сократили это количество до менее 5×10⁻¹³. Второй - лоренц-инвариантность. В отсутствие гравитационных эффектов скорость света постоянна. Параметр теста для этого: δ. Первые тесты на лоренц-инвариантность были выполнены Майкельсоном и Морли до 1890 г. и ограничены. δ до менее 5×10⁻³. Современные тесты уменьшили это число до менее 1×10⁻²¹. Третий - это локальная позиционная инвариантность, которая включает пространственную и временную инвариантность. Результат любого локального негравитационного эксперимента не зависит от того, где и когда он проводится. Инвариантность пространственного локального положения проверяется с помощью измерений гравитационного красного смещения. Параметр теста для этого: α. Верхние пределы этого, установленные Паундом и Ребкой в ​​1960 г., ограничены. α до менее 0,1. Современные тесты уменьшили это число до менее 1×10⁻⁴.

Шифф Гипотеза утверждает, что любая полная самосогласованная теория гравитации, которая воплощает принцип слабой эквивалентности, обязательно воплощает принцип эквивалентности Эйнштейна. Это, вероятно, будет правдой, если в теории есть полное сохранение энергии. Метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. Этому удовлетворяет очень мало неметрических теорий. Например, неметрическая теория Белинфанте и Свихарта^[24][25] устраняется THεμ формализм для проверки принципа эквивалентности Эйнштейна. Калибровочная теория гравитации - заметное исключение, где строгий принцип эквивалентности по сути минимальное сцепление из калибровочная ковариантная производная.

Параметрический постньютоновский формализм

Смотрите также Тесты общей теории относительности, Misner et al.^[50] и воля^[9] для дополнительной информации.

Работа над разработкой стандартизированного, а не специального набора тестов для оценки альтернативных моделей гравитации началась с Эддингтона в 1922 году и привела к стандартному набору параметрических постньютоновских чисел в Нордтведте и Уилле.^[81] и Уилл и Нордтведт.^[41] Каждый параметр измеряет разные аспекты того, насколько теория отклоняется от ньютоновской гравитации. Поскольку здесь мы говорим об отклонении от теории Ньютона, они измеряют только эффекты слабого поля. Эффекты сильных гравитационных полей будут рассмотрены позже.

Вот эти десять: ${displaystyle gamma, eta, eta, alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3}, zeta _ {1}, zeta _ {2}, zeta _ {3}, zeta _ {4}. }$

• ${displaystyle gamma}$ является мерой кривизны пространства, равной нулю для ньютоновской гравитации и единице для общей теории относительности.
• ${displaystyle eta}$ - мера нелинейности в добавлении гравитационных полей, единица для общей теории относительности.
• ${displaystyle eta}$ - проверка на наличие эффектов предпочтительного местоположения.
• ${displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}, alpha _ {3}}$ измерить степень и характер «эффектов предпочтительного кадра». Любая теория гравитации, в которой хотя бы один из трех отличен от нуля, называется теорией предпочтительной системы отсчета.
• ${displaystyle zeta _ {1}, zeta _ {2}, zeta _ {3}, zeta _ {4}, alpha _ {3}}$ измерить степень и характер нарушений в глобальных законах сохранения. Теория гравитации обладает четырьмя законами сохранения энергии-импульса и шестью законами сохранения момента количества движения, только если все пять равны нулю.

Сильная гравитация и гравитационные волны

Параметрический постньютоновский - это только мера слабых полевых эффектов. Эффекты сильной гравитации можно увидеть в компактных объектах, таких как белые карлики, нейтронные звезды и черные дыры. Экспериментальные тесты, такие как стабильность белых карликов, скорость замедления вращения пульсаров, орбиты двойных пульсаров и существование горизонта черной дыры, могут быть использованы в качестве альтернативных тестов общей теории относительности. Общая теория относительности предсказывает, что гравитационные волны распространяются со скоростью света. Многие альтернативы общей теории относительности говорят, что гравитационные волны распространяются быстрее света, что, возможно, нарушает причинно-следственную связь. После обнаружения слияния нейтронных звезд GW170817 с помощью нескольких сообщений, когда световые и гравитационные волны двигались с одинаковой скоростью с погрешностью 1/10¹⁵многие из этих модифицированных теорий гравитации были исключены.

Космологические тесты

Многие из них были разработаны недавно. Для тех теорий, которые стремятся заменить темная материя, то кривая вращения галактики, то Соотношение Талли-Фишера, более высокая скорость вращения карликовых галактик и гравитационное линзирование из-за галактических скоплений действуют как ограничения. Для тех теорий, которые стремятся заменить инфляция, размер ряби в спектре космическое микроволновое фоновое излучение это самый строгий тест. Для тех теорий, которые включают или стремятся заменить темная энергия, результаты яркости сверхновой и возраст Вселенной могут быть использованы в качестве тестов. Еще одно испытание - плоскостность Вселенной. В общей теории относительности комбинация барионной материи, темной материи и темной энергии в сумме делает Вселенную абсолютно плоской. По мере повышения точности экспериментальных тестов альтернативы общей теории относительности, призванные заменить темную материю или темную энергию, должны будут объяснить, почему.

Результаты проверки теорий

Параметрические постньютоновские параметры для ряда теорий

(См. Уилл^[9] и Ni^[10] Больше подробностей. Misner et al.^[50] дает таблицу для перевода параметров из записи Ni в запись Will)

Общей теории относительности уже более 100 лет, и за это время одна альтернативная теория гравитации не соответствовала все более точным наблюдениям. Один наглядный пример: Параметризованный постньютоновский формализм. В следующей таблице перечислены параметрические постньютоновские значения для большого количества теорий. Если значение в ячейке совпадает со значением в заголовке столбца, то полная формула слишком сложна для включения в нее.

	${displaystyle gamma}$	${displaystyle eta}$	${displaystyle xi}$	${displaystyle alpha _ {1}}$	${displaystyle alpha _ {2}}$	${displaystyle alpha _ {3}}$	${displaystyle zeta _ {1}}$	${displaystyle zeta _ {2}}$	${displaystyle zeta _ {3}}$	${displaystyle zeta _ {4}}$
Общая теория относительности Эйнштейна[2]	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Скалярно-тензорные теории
Бергманн,[34] Вагонер[37]	${displaystyle extstyle {frac {1 + omega} {2 + omega}}}$	${displaystyle eta}$	0	0	0	0	0	0	0	0
Нордтведт,[36] Бекенштейн[45]	${displaystyle extstyle {frac {1 + omega} {2 + omega}}}$	${displaystyle eta}$	0	0	0	0	0	0	0	0
Бранс-Дике[7]	${displaystyle extstyle {frac {1 + omega} {2 + omega}}}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Векторно-тензорные теории
Hellings-Nordtvedt[42]	${displaystyle gamma}$	${displaystyle eta}$	0	${displaystyle alpha _ {1}}$	${displaystyle alpha _ {2}}$	0	0	0	0	0
Will-Nordtvedt[41]	1	1	0	0	${displaystyle alpha _ {2}}$	0	0	0	0	0
Биметрические теории
Розен[39]	1	1	0	0	${displaystyle c_ {0} / c_ {1} -1}$	0	0	0	0	0
Расталл[47]	1	1	0	0	${displaystyle alpha _ {2}}$	0	0	0	0	0
Лайтман – Ли[43]	${displaystyle gamma}$	${displaystyle eta}$	0	${displaystyle alpha _ {1}}$	${displaystyle alpha _ {2}}$	0	0	0	0	0
Стратифицированные теории
Ли-Лайтман-Ни[44]	${displaystyle ac_ {0} / c_ {1}}$	${displaystyle eta}$	${displaystyle xi}$	${displaystyle alpha _ {1}}$	${displaystyle alpha _ {2}}$	0	0	0	0	0
Ni[40]	${displaystyle ac_ {0} / c_ {1}}$	${displaystyle bc_ {0}}$	0	${displaystyle alpha _ {1}}$	${displaystyle alpha _ {2}}$	0	0	0	0	0
Теории скалярного поля
Эйнштейн (1912)[82][83] {Не общая теория относительности}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0†
Уитроу-Мордух[29]	0	-1		-4	0	0	0	−3	0	0†
Розен[38]	${displaystyle lambda}$	${displaystyle extstyle {frac {3} {4}} + extstyle {frac {lambda} {4}}}$		${displaystyle -4-4lambda}$	0	-4	0	-1	0	0
Папетру[19][20]	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
Ni[10] (стратифицированный)	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Йылмаз[26] (1962)	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1†
Пейдж-Таппер[33]	${displaystyle gamma}$	${displaystyle eta}$		${displaystyle -4-4gamma}$	0	${displaystyle -2-2gamma}$	0	${displaystyle zeta _ {2}}$	0	${displaystyle zeta _ {4}}$
Nordström[48]	${displaystyle -1}$	${displaystyle extstyle {frac {1} {2}}}$		0	0	0	0	0	0	0†
Нордстрём,[49] Эйнштейн-Фоккер[84]	${displaystyle -1}$	${displaystyle extstyle {frac {1} {2}}}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni[10] (плоский)	${displaystyle -1}$	${displaystyle 1-q}$		0	0	0	0	${displaystyle zeta _ {2}}$	0	0†
Уитроу-Мордух[28]	${displaystyle -1}$	${displaystyle 1-q}$		0	0	0	0	q	0	0†
Литтлвуд,[21] Бергман[23]	${displaystyle -1}$	${displaystyle extstyle {frac {1} {2}}}$		0	0	0	0	-1	0	0†