Степени свободы (механика) - Degrees of freedom (mechanics)

В физика, то степени свободы (DOF) из механическая система это количество независимых параметры которые определяют его конфигурацию или состояние. Это важно при анализе систем органов в машиностроение, Строительная инженерия, аэрокосмическая техника, робототехника, и другие поля.

Положение отдельного железнодорожного вагона (двигателя), движущегося по рельсовому пути, имеет одну степень свободы, поскольку положение вагона определяется расстоянием по рельсовому пути. Поезд из жестких вагонов, соединенных шарнирами с двигателем, по-прежнему имеет только одну степень свободы, потому что положение вагонов за двигателем ограничивается формой пути.

Автомобиль с очень жесткой подвеской можно рассматривать как твердое тело, движущееся по плоскости (плоскому двухмерному пространству). Это тело имеет три независимые степени свободы, состоящие из двух составляющих поступательного движения и одного угла поворота. Занос или дрейфующий является хорошим примером трех независимых степеней свободы автомобиля.

Положение и ориентация твердого тела в пространстве определяется тремя составляющими перевод и три компонента вращение, что означает, что он имеет шесть степеней свободы.

В точное ограничение Метод механического проектирования управляет степенями свободы, чтобы не ограничивать или чрезмерно ограничивать устройство.^[1]

Движения и размеры

Положение п-размерный жесткое тело определяется жесткая трансформация, [Т] = [А, d], где d является п-мерный перевод и А является п × п матрица вращения, которая имеет п поступательные степени свободы и п(п - 1) / 2 степени свободы вращения. Число степеней свободы вращения зависит от размера группы вращения.Сын).

Нежесткое или деформируемое тело можно рассматривать как набор многих мельчайших частиц (бесконечное количество степеней свободы), это часто аппроксимируется системой конечных степеней свободы. Когда основной целью исследования является движение, связанное с большими смещениями (например, для анализа движения спутников), деформируемое тело можно аппроксимировать как твердое тело (или даже частицу), чтобы упростить анализ.

Степень свободы системы можно рассматривать как минимальное количество координат, необходимых для задания конфигурации. Применяя это определение, мы имеем:

Для одиночной частицы на плоскости две координаты определяют ее местоположение, поэтому она имеет две степени свободы;
Одна частица в космосе требует трех координат, поэтому у нее есть три степени свободы;
Две частицы в космосе имеют в сумме шесть степеней свободы;
Если две частицы в космосе вынуждены поддерживать постоянное расстояние друг от друга, например, в случае двухатомной молекулы, то шесть координат должны удовлетворять одному уравнению связи, определяемому формулой расстояния. Это уменьшает степень свободы системы до пяти, потому что формула расстояния может использоваться для решения оставшейся координаты, когда указаны другие пять.

Шесть степеней свободы (6 степеней свободы)

Шесть степеней свободы движения корабля

Степени свободы отношения для самолета

Мнемоника для запоминания названий углов

Движение корабля в море имеет шесть степеней свободы твердого тела и описывается как:^[2]

Перевод и поворот:

Перемещение вверх и вниз (подъем / подъем);
Движение влево и вправо (раскачивание / покачивание);
Движение вперед и назад (ходьба / помпаж);
Поворачивается влево и вправо (рыскание );
Наклоняется вперед и назад (качка );
Поворачивается из стороны в сторону (прокатка ).

Смотрите также Углы Эйлера

Траектория самолета в полете имеет три степени свободы, а его положение вдоль траектории имеет три степени свободы, в общей сложности шесть степеней свободы.

Формула мобильности

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, которые определяют конфигурацию набора твердых тел, которые ограничены соединениями, соединяющими эти тела.^[3]^[4]

Рассмотрим систему п движущихся в пространстве твердых тел имеет 6п степени свободы, измеренные относительно неподвижной рамы. Чтобы подсчитать степени свободы этой системы, включите неподвижное тело в подсчет тел, чтобы подвижность не зависела от выбора тела, образующего неподвижный каркас. Тогда степень свободы неограниченной системы N = п +1 это

{ Displaystyle М = 6n = 6 (N-1), !}

потому что неподвижное тело имеет нулевые степени свободы относительно самого себя.

Суставы, соединяющие тела в этой системе, устраняют степени свободы и уменьшают подвижность. В частности, петли и ползунки накладывают пять ограничений и, следовательно, устраняют пять степеней свободы. Количество ограничений удобно определить c что сустав навязывает с точки зрения свободы сустава ж, где c = 6 − ж. В случае шарнира или каретки, которые являются шарнирами с одной степенью свободы, имеют ж = 1 и, следовательно, c = 6 − 1 = 5.

В результате подвижность системы, сформированной из п движущиеся ссылки и j соединяет каждый со свободой ж_я, я = 1, ..., j, определяется выражением

{ displaystyle M = 6n- sum _ {i = 1} ^ {j} (6-f_ {i}) = 6 (N-1-j) + sum _ {i = 1} ^ {j} f_ {i}}

Напомним, что N включает фиксированную ссылку.

Есть два важных частных случая: (i) простая открытая цепь и (ii) простая замкнутая цепь. Одна открытая цепочка состоит из п движущиеся ссылки соединены встык п соединения, с одним концом, соединенным с заземляющим звеном. Таким образом, в этом случае N = j + 1 и подвижность цепи равна

{ Displaystyle М = сумма _ {я = 1} ^ {j} f_ {я}}

Для простой замкнутой цепи п движущиеся звенья связаны между собой п + 1 стыков, так что два конца соединены с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае мы имеем N = j а подвижность цепи равна

{ Displaystyle М = сумма _ {я = 1} ^ {j} f_ {я} -6}

Примером простой открытой цепи является серийный робот-манипулятор. Эти роботизированные системы состоят из ряда звеньев, соединенных шестью поворотными или призматическими соединениями с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь RSSR. Сумма свободы этих сочленений равна восьми, поэтому подвижность рычажного механизма равна двум, где одна из степеней свободы - это вращение муфты вокруг линии, соединяющей два S-сочленения.

Плоское и сферическое движение

Распространенной практикой является проектирование система связи так что движение всех тел ограничено лежать в параллельных плоскостях, чтобы сформировать то, что известно как планарная связь. Также возможно сконструировать систему сцепления, чтобы все тела двигались по концентрическим сферам, образуя сферическая связь. В обоих случаях степени свободы звеньев в каждой системе теперь равны трем, а не шести, и ограничения, накладываемые суставами, теперь c = 3 − ж.

В этом случае формула подвижности имеет вид

{ Displaystyle M = 3 (N-1-j) + sum _ {i = 1} ^ {j} f_ {i},}

и особые случаи становятся

плоская или сферическая простая открытая цепь,

{ Displaystyle М = сумма _ {я = 1} ^ {j} f_ {я},}

плоская или сферическая простая замкнутая цепь,

{ displaystyle M = sum _ {i = 1} ^ {j} f_ {i} -3.}

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоская четырехзвенная навеска, который представляет собой четырехстержневую петлю с четырьмя шарнирами с одной степенью свободы и поэтому обладает подвижностьюM = 1.

Системы тел

An шарнирный робот с шестью степенями свободы в кинематической цепочке.

Система с несколькими телами будет иметь комбинированную степень свободы, которая является суммой степеней свободы тел без внутренних ограничений, которые они могут иметь на относительное движение. А механизм или связь содержащий несколько связанных твердых тел, может иметь больше степеней свободы, чем одно твердое тело. Здесь термин степени свободы используется для описания количества параметров, необходимых для определения пространственной позиции связи. Он также определяется в контексте пространства конфигурации, пространства задач и рабочего пространства робота.

Особым типом связи является открытый кинематическая цепь, где набор жестких звеньев соединен в суставы; соединение может иметь одну степень свободы (шарнир / скольжение) или две (цилиндрические). Такие цепочки обычно встречаются в робототехника, биомеханика, и для спутники и другие космические конструкции. Считается, что человеческая рука имеет семь степеней свободы. Плечо обеспечивает тангаж, рыскание и крен, локоть - тангаж, а запястье - тангаж, рыскание и крен. Чтобы переместить руку в любую точку пространства, потребуется всего 3 из этих движений, но у людей не будет возможности хватать предметы под разными углами или направлениями. Робот (или объект), у которого есть механизмы для управления всеми 6 физическими степенями свободы, называется голономный. Объект с меньшим количеством контролируемых степеней свободы, чем общее количество степеней свободы, называется неголономным, а объект с более контролируемыми степенями свободы, чем общая глубина резкости (например, человеческая рука), считается избыточным. Хотя имейте в виду, что в руке человека это не является лишним, потому что две степени свободы; запястье и плечо, представляющие одно и то же движение; Roll, снабжают друг друга, поскольку они не могут сделать все 360. Степень свободы подобна различным движениям, которые можно совершить.

В мобильной робототехнике робот, похожий на автомобиль, может достигать любого положения и ориентации в двухмерном пространстве, поэтому для описания его позы требуется 3 степени свободы, но в любой момент вы можете перемещать его только путем движения вперед и угла поворота. Таким образом, он имеет две контрольные степени свободы и три репрезентативной степени свободы; т.е. неголономный. Самолет с неподвижным крылом с 3–4 управляющими степенями свободы (движение вперед, крен, тангаж и, в некоторой степени, рыскание) в трехмерном пространстве также неголономен, поскольку он не может двигаться прямо вверх / вниз или лево право.

Краткое изложение формул и методов вычисления степеней свободы механических систем было дано Пеннестри, Кавасче и Вита.^[5]

Электротехника

В электротехника степени свободы часто используется для описания количества направлений, в которых фазированная решетка антенна может образовывать либо балки или нули. Он равен на единицу меньше, чем количество элементов, содержащихся в массиве, поскольку один элемент используется в качестве эталона, к которому могут применяться конструктивные или деструктивные помехи с использованием каждого из оставшихся антенных элементов. Радар Практика и практика линии связи, при этом управление лучом более распространено для радиолокационных приложений, а нулевое управление более распространено для подавления помех в линиях связи.

Смотрите также

использованная литература

^ Хейл, Лейтон С. (1999). Принципы и приемы проектирования прецизионных машин (PDF) (Кандидат наук). Массачусетский Институт Технологий.
^ Сводка движения корабля В архиве 25 ноября 2011 г. Wayback Machine
^ Дж. Дж. Уикер, Г. Р. Пеннок и Дж. Э. Шигли, 2003 г., Теория машин и механизмов, Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк.
^ Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer 2010 г.
^ Pennestrı, E .; Cavacece, M .; Вита, Л. (2005). О вычислении степеней свободы: дидактическая точка зрения. 2005 Международные технические конференции по проектированию и проектированию ASME и Конференция "Компьютеры и информация в машиностроении". Калифорния, США. Дои:10.1115 / DETC2005-84109.

[1] Хейл, Лейтон С. (1999). Принципы и приемы проектирования прецизионных машин (PDF) (Кандидат наук). Массачусетский Институт Технологий.

[2] Сводка движения корабля В архиве 25 ноября 2011 г. Wayback Machine

[Uicker2003-3] Дж. Дж. Уикер, Г. Р. Пеннок и Дж. Э. Шигли, 2003 г., Теория машин и механизмов, Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк.

[4] Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer 2010 г.

[5] Pennestrı, E .; Cavacece, M .; Вита, Л. (2005). О вычислении степеней свободы: дидактическая точка зрения. 2005 Международные технические конференции по проектированию и проектированию ASME и Конференция "Компьютеры и информация в машиностроении". Калифорния, США. Дои:10.1115 / DETC2005-84109.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]