Распределительное свойство - Distributive property

Визуализация закона распределения для положительных чисел

В математика, то распределительное свойство из бинарные операции обобщает распределительный закон от Булева алгебра и элементарная алгебра. В логика высказываний, распространение относится к двум действительный правила замены. Правила позволяют переформулировать союзы и дизъюнкции в пределах логические доказательства.

Например, в арифметика:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), но 2 / (1 + 3) ≠ (2/1) + (2/3).

В левой части первого уравнения 2 умножает сумму 1 и 3; справа он умножает 1 и 3 по отдельности с последующим добавлением произведений. Поскольку они дают одинаковый окончательный ответ (8), умножение на 2 означает раздавать над сложением 1 и 3, так как можно было положить любое действительные числа вместо 2, 1 и 3 выше, и все еще получили истинное уравнение, умножение реальных чисел распределяет над дополнение реальных чисел.

Определение

Учитывая набор $S$ и два бинарные операторы ∗ и + на $S$ , операция ∗:

является лево-распределительный больше + если, учитывая любые элементы $Икс, у$ и $z$ из $S$ ,

{ Displaystyle х * (у + z) = (х * у) + (х * г),}

является право-распределительный над + если, учитывая любые элементы $Икс, у$ , и $z$ из $S$ ,

{ Displaystyle (у + Z) * ​​х = (у * х) + (г * х),}

и

является распределительный над +, если он распределяется слева и справа.^[1]

Обратите внимание, что когда ∗ равно коммутативный, три вышеуказанных условия логически эквивалентный.

Смысл

Операторы, используемые в примерах в этом разделе, являются операторами обычных дополнение ( ${ displaystyle +}$ ) и умножение ( ${ displaystyle cdot}$ ).

Если операция обозначена ${ displaystyle cdot}$ не коммутативна, существует различие между левой и правой дистрибутивностью:

{ displaystyle a cdot left (b pm c right) = a cdot b pm a cdot c}

(лево-распределительный)

{ Displaystyle (а pm b) cdot c = a cdot c pm b cdot c}

(право-распределительный)

В любом случае, распределительное свойство можно описать словами:

Чтобы умножить сумма (или разница ) множителем каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое ) умножается на этот коэффициент, и полученные результаты складываются (или вычитаются).

Если операция вне скобок (в данном случае умножение) коммутативна, то леводистрибутивность влечет правую дистрибутивность и наоборот, и говорят просто о распределенность.

Одним из примеров операции, которая является "только" право-распределительной, является деление, которое не является коммутативным:

{ displaystyle (a pm b) div c = a div c pm b div c}

В этом случае леводистрибутивность не применяется:

{ displaystyle a div (b pm c) neq a div b pm a div c}

Законы распределения входят в число аксиом для кольца (как кольцо целые числа ) и поля (как поле рациональное число ). Здесь умножение является распределительным по сравнению с сложением, но сложение не является распределительным по сравнению с умножением. Примеры структур с двумя операциями, каждая из которых является распределительной по отношению к другой: Булевы алгебры такой как алгебра множеств или алгебра переключения.

Умножение сумм можно выразить словами следующим образом: когда сумма умножается на сумму, умножьте каждое слагаемое суммы на каждое слагаемое другой суммы (отслеживая знаки), затем сложите все полученные результаты.

Примеры

Действительные числа

В следующих примерах использование закона распределения на множестве действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R}}$ проиллюстрировано. Когда в элементарной математике упоминается умножение, это обычно относится к такому виду умножения. С точки зрения алгебры действительные числа образуют поле, что обеспечивает выполнение закона распределения.

Первый пример (умножение в уме и письме)

Во время ментальной арифметики распределенность часто используется неосознанно:

{ Displaystyle 6 cdot 16 = 6 cdot (10 + 6) = 6 cdot 10 + 6 cdot 6 = 60 + 36 = 96}

Таким образом, для расчета 6 ⋅ 16 в голове сначала умножается 6 ⋅ 10 и 6 ⋅ 6 и добавляем промежуточные результаты. Письменное умножение также основано на распределительном законе.

Второй пример (с переменными)

{ displaystyle 3a ^ {2} b cdot (4a-5b) = 3a ^ {2} b cdot 4a-3a ^ {2} b cdot 5b = 12a ^ {3} b-15a ^ {2} b ^ {2}}

Третий пример (с двумя суммами)

{ displaystyle { begin {align} (a + b) cdot (ab) & = a cdot (ab) + b cdot (ab) = a ^ {2} -ab + ba-b ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} & = (a + b) cdot a- (a + b) cdot b = a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2} = а ^ {2} -b ^ {2} end {выровнено}}}

Здесь дважды применялся закон распределения, и не имеет значения, какая скобка умножается первой.

Четвертый пример

Здесь закон распределения применяется наоборот по сравнению с предыдущими примерами. Рассматривать

{ displaystyle 12a ^ {3} b ^ {2} -30a ^ {4} bc + 18a ^ {2} b ^ {3} c ^ {2} ,.}

Поскольку фактор

{ displaystyle 6a ^ {2} b}

встречается во всех слагаемых, его можно вынести за скобки. То есть в силу закона распределения получаем

{ displaystyle 12a ^ {3} b ^ {2} -30a ^ {4} bc + 18a ^ {2} b ^ {3} c ^ {2} = 6a ^ {2} b (2ab-5a ^ {2 } c + 3b ^ {2} c ^ {2}) ,.}

Матрицы

Распределительный закон действует для матричное умножение. Точнее,

{ Displaystyle (A + B) cdot C = A cdot C + B cdot C}

для всех ${ displaystyle l times m}$ -матрицы ${ displaystyle A, B}$ и ${ Displaystyle м раз п}$ -матрицы ${ displaystyle C}$ , а также

{ Displaystyle A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C}

для всех ${ displaystyle l times m}$ -матрицы ${ displaystyle A}$ и ${ Displaystyle м раз п}$ -матрицы ${ displaystyle B, C}$ . Поскольку свойство коммутативности не выполняется для матричного умножения, второй закон не следует из первого закона. В данном случае это два разных закона.

Другие примеры

Умножение из порядковые номера, напротив, только лево-распределительный, а не правый-распределительный.
В перекрестное произведение является лево- и право-распределительным над векторное сложение, хотя и не коммутативный.
В союз комплектов распространяется на пересечение, а пересечение дистрибутивно над объединением.
Логическая дизъюнкция ("или") распространяется на логическое соединение ("и"), и наоборот.
Для действительные числа (и для любого полностью заказанный набор ) максимальная операция распределяется по минимальной операции, и наоборот: $Максимум(а, мин (б, c)) = мин (макс (а, б), Макс(а, c))$ и $мин (а, Макс(б, c)) = макс (мин (а, б), мин (а, c))$ .
Для целые числа, то наибольший общий делитель распределяется по наименьший общий множитель, и наоборот: $gcd (а, lcm (б, c)) = lcm (gcd (а, б), НОД (а, c))$ и $lcm (а, gcd (б, c)) = gcd (lcm (а, б), lcm (а, c))$ .
Для действительных чисел сложение распределяется по максимальной операции, а также по минимальной операции: $а + макс (б, c) = макс (а + б, а + c)$ и $а + мин (б, c) = мин (а + б, а + c)$ .
Для биномиальный умножение, распределение иногда называют методом FOIL^[2] (Первые триместры ac, Внешний объявление, Внутренний до н.э, и последний bd) такие как: $(а + б) \cdot (c + d) = ac + объявление + до н.э + bd$ .
Полиномиальный умножение дистрибутивно по сравнению с полиномиальным сложением.
Комплексное число умножение распределительное: ${ Displaystyle и (v + w) = uv + uw, (u + v) w = uw + vw}$

Логика высказываний

Правило замены

В стандартной логике высказываний с функциональной истинностью распространение^[3]^[4] в логических доказательствах используется два действительных правила замены расширить отдельные случаи появления определенных логические связки, в некоторых формула, на отдельные применения этих связок между подформулами данной формулы. Правила

{ Displaystyle (P земля (Q lor R)) Leftrightarrow ((P land Q) lor (P land R))}

и

{ Displaystyle (P lor (Q земля R)) Leftrightarrow ((P lor Q) land (P lor R))}

где " ${ displaystyle Leftrightarrow}$ ", также написано ≡, это металогический символ представление "можно заменить в доказательстве на" или " логически эквивалентный к ".

Функциональные связки истины

Распределительность является свойством некоторых логических связок функционала истинности логика высказываний. Следующие логические эквивалентности демонстрируют, что дистрибутивность - это свойство определенных связок. Следующие ниже функциональные тавтологии.

Распределение соединения по соединению: ${ Displaystyle (P земля (Q земля R)) Leftrightarrow ((P земля Q) земля (P земля R))}$

Распределение соединения по дизъюнкции: ${ Displaystyle (P земля (Q lor R)) Leftrightarrow ((P land Q) lor (P land R))}$

Распределение дизъюнкции по конъюнкции: ${ Displaystyle (П лор (Q земля R)) Leftrightarrow ((P лор Q) земля (P лор R))}$

Распределение дизъюнкции по дизъюнкции: ${ Displaystyle (п лор (Q лор R)) Leftrightarrow ((п лор Q) лор (п лор R))}$

Распространение импликации: ${ Displaystyle (п к (Q к R)) Leftrightarrow ((P к Q) к (P к R))}$

Распределение импликации по эквивалентности: ${ Displaystyle (P к (Q leftrightarrow R)) Leftrightarrow ((P to Q) leftrightarrow (P to R))}$ :

Распределение импликации по союзу: ${ Displaystyle (P к (Q земля R)) Leftrightarrow ((P to Q) land (P to R))}$

Распределение дизъюнкции по эквивалентности
${ Displaystyle (P lor (Q leftrightarrow R)) Leftrightarrow ((P lor Q) leftrightarrow (P lor R))}$

Двойное распределение: ${ Displaystyle { begin {align} ((P land Q) lor (R land S)) & Leftrightarrow (((P lor R) land (P lor S)) land ((Q lor R) land (Q lor S))) ((P lor Q) land (R lor S)) & Leftrightarrow (((P land R) lor (P land S) )) lor ((Q land R) lor (Q land S))) end {align}}}$

Распределимость и округление

На практике может показаться, что распределительное свойство умножения (и деления) над сложением нарушено или потеряно из-за ограничений арифметическая точность. Например, личность ⅓ + ⅓ + ⅓ = (1 + 1 + 1) / 3 кажется неудачным, если добавление проводится в десятичная арифметика; однако, если многие значащие цифры используются, расчет приведет к более близкому приближению к правильным результатам. Например, если арифметический расчет принимает вид: 0.33333 + 0.33333 + 0.33333 = 0.99999 ≠ 1, этот результат является более приближенным, чем при использовании меньшего количества значащих цифр. Даже когда дробные числа могут быть представлены точно в арифметической форме, будут возникать ошибки, если эти арифметические значения округлены или усечены. Например, покупка двух книг по цене 14,99 фунтов стерлингов перед каждой налог 17,5% в двух отдельных транзакциях фактически сэкономит 0,01 фунта стерлингов по сравнению с их совместной покупкой: £14.99 × 1.175 = £17.61 с точностью до 0,01 фунта стерлингов, что дает общие расходы 35,22 фунта стерлингов, но £29.98 × 1.175 = £35.23. Такие методы как банковское округление в некоторых случаях может помочь, поскольку может повысить используемую точность, но в конечном итоге некоторые ошибки в расчетах неизбежны.

В кольцах и других конструкциях

Распределительность чаще всего встречается в кольца и распределительные решетки.

В кольце есть две бинарные операции, обычно обозначаемые + и ∗, и одно из требований кольца состоит в том, что ∗ должно распределяться по +. Большинство чисел образуют кольца.

А решетка это другой вид алгебраическая структура с двумя бинарными операциями, ∧ и. Если одна из этих операций (скажем, ∧) распределяется по другой (∨), то ∨ также должна распределяться по ∧, и решетка называется распределительной. Смотрите также Дистрибутивность (теория порядка).

А Булева алгебра можно интерпретировать либо как особый вид кольца (a Логическое кольцо ) или специальный вид дистрибутивной решетки (a Логическая решетка ). Каждая интерпретация отвечает за различные законы распределения в булевой алгебре.

Несоблюдение одного из двух законов распределения приводит к близкие к кольцу и ближние поля вместо колец и делительные кольца соответственно. Операции обычно настраиваются так, чтобы распределитель ближнего или ближнего поля располагался справа, но не слева.

Кольца и распределительные решетки - особые виды буровые установки, которые являются обобщениями колец, обладающих свойством дистрибутивности. Например, натуральные числа сформировать буровую установку.

Обобщения

В нескольких областях математики рассматриваются обобщенные законы распределенности. Это может включать в себя ослабление вышеуказанных условий или распространение на бесконечные операции. Особенно в теория порядка можно найти множество важных вариантов распределительности, некоторые из которых включают бесконечные операции, такие как бесконечный закон распределения; другие определяются в присутствии только один бинарные операции, такие как соответствующие определения и их отношения, приведены в статье дистрибутивность (теория порядка). Это также включает понятие полностью распределительная решетка.

При наличии отношения порядка можно также ослабить указанные выше равенства, заменив = на ≤ или ≥. Естественно, только в некоторых ситуациях это приведет к осмысленным концепциям. Применение этого принципа - понятие субдистрибутивность как объяснено в статье о интервальная арифметика.

В теория категорий, если (S, μ, η) и (S′, μ′, η′) находятся монады на категория C, а распределительный закон S.S′ → S′.S это естественная трансформация λ : S.S′ → S′.S такой, что (S′, λ) это слабая карта монад S → S и (S, λ) это колакс карта монад S′ → S′. Это как раз те данные, которые необходимы для определения структуры монады на S′.S: карта умножения S′μ.μ′S².S′λS и единичная карта η′S.η. Увидеть: закон распределения между монадами.

А обобщенный закон распределения также был предложен в области теория информации.

Антидистрибутивность

Вездесущий идентичность что связывает инверсию с бинарной операцией в любом группа, а именно (ху)⁻¹ = у⁻¹Икс⁻¹, которая принимается как аксиома в более общем контексте полугруппа с инволюцией, иногда называли антираспределительное свойство (инверсии как унарная операция ).^[5]

В контексте близкий к кольцу, который снимает коммутативность аддитивно записанной группы и предполагает только одностороннюю дистрибутивность, можно говорить о (двусторонней) распределительные элементы но также антираспределительные элементы. Последние меняют порядок (некоммутативного) сложения; предполагая левое приближение (то есть такое, которое все элементы распределяют при умножении слева), тогда антираспределительный элемент а при умножении вправо меняет порядок сложения: (Икс + у)а = я + ха.^[6]

При изучении логика высказываний и Булева алгебра, период, термин антираспределительный закон иногда используется для обозначения взаимообмена между соединением и дизъюнкцией, когда над ними действуют факторы импликации:^[7]

(а ∨ б) ⇒ c ≡ (а ⇒ c) ∧ (б ⇒ c)
(а ∧ б) ⇒ c ≡ (а ⇒ c) ∨ (б ⇒ c)

Эти двое тавтологии являются прямым следствием двойственности в Законы де Моргана.

Заметки

^ Распределенность двоичных операций из Mathonline
^ Ким Стюард (2011) Умножение многочленов из виртуальной математической лаборатории на Западный Техасский университет A&M
^ Эллиотт Мендельсон (1964) Введение в математическую логику, стр. 21, Компания D. Van Nostrand
^ Альфред Тарский (1941) Введение в логику, стр. 52, Oxford University Press
^ Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике. Springer. п.4. ISBN 978-3-211-82971-4.
^ Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Барирингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами. Kluwer Academic Publishers. С. 62 и 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.
^ Эрик К.Р. Хенер (1993). Практическая теория программирования. Springer Science & Business Media. п. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.

внешние ссылки

Демонстрация закона распределения для целочисленной арифметики (от завязать узел )

[1] Распределенность двоичных операций из Mathonline

[2] Ким Стюард (2011) Умножение многочленов из виртуальной математической лаборатории на Западный Техасский университет A&M

[3] Эллиотт Мендельсон (1964) Введение в математическую логику, стр. 21, Компания D. Van Nostrand

[4] Альфред Тарский (1941) Введение в логику, стр. 52, Oxford University Press

[BrinkKahl1997-5] Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике. Springer. п.4. ISBN 978-3-211-82971-4.

[6] Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Барирингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами. Kluwer Academic Publishers. С. 62 и 67. ISBN 978-1-4613-0267-4.

[Hehner1993-7] Эрик К.Р. Хенер (1993). Практическая теория программирования. Springer Science & Business Media. п. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]