Длина Дебая - Debye length

В плазма и электролиты, то Длина Дебая (также называемый Радиус Дебая), названный в честь Питер Дебай, является мерой носитель заряда чистый электростатический эффект в решение и как долго сохраняется его электростатический эффект.^[1] А Сфера Дебая - объем, радиус которого равен длине Дебая. С каждой длиной Дебая обвинения все больше электрически экранированный. Каждая длина Дебая ${ displaystyle lambda _ { rm {D}}}$, электрический потенциал уменьшится по величине на 1 / e. Длина Дебая - важный параметр в физика плазмы, электролиты, и коллоиды (Теория DLVO ). Соответствующий дебаевский волновой вектор экранирования ${ Displaystyle к _ { rm {D}} = 1 / lambda _ { rm {D}}}$ для частиц плотности ${ displaystyle n}$, обвинять ${ displaystyle q}$ при температуре ${ displaystyle T}$ дан кем-то ${ Displaystyle к _ { rm {D}} ^ {2} = 4 pi nq ^ {2} / (k _ { rm {B}} T)}$ в Гауссовы единицы. Выражения в единицах МКС будут приведены ниже. Аналогичные величины при очень низких температурах (${ displaystyle T to 0}$) известны как Длина Томаса – Ферми и волновой вектор Томаса – Ферми. Они представляют интерес для описания поведения электронов в металлах при комнатной температуре.

Физическое происхождение

Длина Дебая естественным образом возникает при термодинамическом описании больших систем подвижных зарядов. В системе ${ displaystyle N}$ различные виды зарядов, ${ displaystyle j}$-й вид несет заряд ${ displaystyle q_ {j}}$ и имеет концентрация ${ Displaystyle N_ {J} ( mathbf {r})}$ на позиции ${ displaystyle mathbf {r}}$. Согласно так называемой «примитивной модели», эти заряды распределены в сплошной среде, которая характеризуется только своим относительная статическая диэлектрическая проницаемость, ${ displaystyle varepsilon _ {r}}$Такое распределение зарядов в этой среде приводит к электрический потенциал ${ displaystyle Phi ( mathbf {r})}$ это удовлетворяет Уравнение Пуассона:

${ displaystyle varepsilon nabla ^ {2} Phi ( mathbf {r}) = - , sum _ {j = 1} ^ {N} q_ {j} , n_ {j} ( mathbf { r}) - rho _ { rm {ext}} ( mathbf {r})}$,

куда ${ Displaystyle varepsilon Equiv varepsilon _ {r} varepsilon _ {0}}$, ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ это электрическая постоянная, и ${ displaystyle rho _ { rm {ext}}}$ - плотность заряда, внешняя (логически, а не пространственно) по отношению к среде.

Плата за мобильную связь не только способствует установлению ${ displaystyle Phi ( mathbf {r})}$ но также двигаться в ответ на связанный Кулоновская сила, ${ displaystyle -q_ {j} , nabla Phi ( mathbf {r})}$.Если в дальнейшем предположить, что система находится в термодинамическое равновесие с тепловая ванна в абсолютная температура ${ displaystyle T}$, то концентрации дискретных зарядов, ${ Displaystyle N_ {J} ( mathbf {r})}$, можно рассматривать как термодинамические (ансамблевые) средние и связанные электрический потенциал быть термодинамическим среднее поле При этих предположениях концентрация ${ displaystyle j}$-й вид заряда описывается Распределение Больцмана,

${ Displaystyle п_ {j} ( mathbf {r}) = n_ {j} ^ {0} , exp left (- { frac {q_ {j} , Phi ( mathbf {r}) } {k _ { rm {B}} T}} right)}$,

куда ${ Displaystyle к _ { rm {B}}}$ является Постоянная Больцмана и где ${ displaystyle n_ {j} ^ {0}}$ это средняя концентрация зарядов видов ${ displaystyle j}$.

Идентификация мгновенных концентраций и потенциала в уравнении Пуассона с их аналогами для среднего поля в распределении Больцмана дает Уравнение Пуассона – Больцмана.:

${ Displaystyle varepsilon nabla ^ {2} Phi ( mathbf {r}) = - , sum _ {j = 1} ^ {N} q_ {j} n_ {j} ^ {0} , exp left (- { frac {q_ {j} , Phi ( mathbf {r})} {k _ { rm {B}} T}} right) - rho _ { rm {ext }} ( mathbf {r})}$.

Решения этого нелинейного уравнения известны для некоторых простых систем. Решения для более общих систем могут быть получены в пределе высоких температур (слабой связи), ${ displaystyle q_ {j} , Phi ( mathbf {r}) ll k _ { rm {B}} T}$, к Тейлор расширяется экспонента:

${ displaystyle exp left (- { frac {q_ {j} , Phi ( mathbf {r})} {k _ { rm {B}} T}} right) приблизительно 1 - { гидроразрыв {q_ {j} , Phi ( mathbf {r})} {k _ { rm {B}} T}}}$.

Это приближение дает линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана

${ Displaystyle varepsilon nabla ^ {2} Phi ( mathbf {r}) = left ( sum _ {j = 1} ^ {N} { frac {n_ {j} ^ {0} , q_ {j} ^ {2}} {k _ { rm {B}} T}} right) , Phi ( mathbf {r}) - , sum _ {j = 1} ^ {N} n_ {j} ^ {0} q_ {j} - rho _ { rm {ext}} ( mathbf {r})}$

который также известен как Уравнение Дебая – Хюккеля:^{[2][3][4][5][6]}Второй член в правой части обращается в нуль для электрически нейтральных систем. Термин в скобках, разделенный на ${ displaystyle varepsilon}$, имеет единицы обратной длины в квадрате и наразмерный анализ приводит к определению характерного масштаба длины

${ displaystyle lambda _ { rm {D}} = left ({ frac { varepsilon , k _ { rm {B}} T} { sum _ {j = 1} ^ {N} n_ { j} ^ {0} , q_ {j} ^ {2}}} right) ^ {1/2}}$

это обычно называют длиной Дебая – Хюккеля. Как единственный характерный масштаб длины в уравнении Дебая – Хюккеля, ${ displaystyle lambda _ {D}}$ устанавливает шкалу для вариаций потенциала и концентраций заряженных частиц. Все заряженные частицы вносят вклад в длину Дебая – Хюккеля одинаково, независимо от знака их зарядов. Для электрически нейтральной системы уравнение Пуассона принимает вид

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi ( mathbf {r}) = lambda _ { rm {D}} ^ {- 2} Phi ( mathbf {r}) - { frac { rho _ { rm {ext}} ( mathbf {r})} { varepsilon}}}$

Чтобы проиллюстрировать экранирование Дебая, потенциал, создаваемый внешним точечным зарядом ${ displaystyle rho _ { rm {ext}} = Q delta ( mathbf {r})}$ является

${ displaystyle Phi ( mathbf {r}) = { frac {Q} {4 pi varepsilon r}} e ^ {- r / lambda _ { rm {D}}}}$

Затравочный кулоновский потенциал экспоненциально экранируется средой на расстоянии длины Дебая.

Длина Дебая – Хюккеля может быть выражена через Длина Бьеррума ${ displaystyle lambda _ { rm {B}}}$ в качестве

${ displaystyle lambda _ { rm {D}} = left (4 pi , lambda _ { rm {B}} , sum _ {j = 1} ^ {N} n_ {j} ^ {0} , z_ {j} ^ {2} right) ^ {- 1/2}}$,

куда ${ displaystyle z_ {j} = q_ {j} / e}$ это целое число номер заряда что касается обвинения в ${ displaystyle j}$-й ионный вид элементарный заряд ${ displaystyle e}$.

В плазме

В неизотермической плазме температуры для электронов и тяжелых частиц могут различаться, в то время как фоновая среда может рассматриваться как вакуум (${ displaystyle varepsilon _ {r} = 1}$), а длина Дебая равна

${ displaystyle lambda _ { rm {D}} = { sqrt { frac { varepsilon _ {0} k _ { rm {B}} / q_ {e} ^ {2}} {n_ {e} / T_ {e} + sum _ {j} z_ {j} ^ {2} n_ {j} / T_ {i}}}}}$

куда

λ_D - длина Дебая,

ε₀ это диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

k_B это Постоянная Больцмана,

q_е это заряд электрона,

Т_е и Т_я - температуры электронов и ионов соответственно,

п_е - плотность электронов,

п_j это плотность атомных частиц j, с положительным ионный обвинять z_jq_е

Даже в квазинейтральной холодной плазме, где вклад ионов фактически кажется больше из-за более низкой ионной температуры, ионный член на самом деле часто опускается, давая

${ displaystyle lambda _ { rm {D}} = { sqrt { frac { varepsilon _ {0} k _ { rm {B}} T_ {e}} {n_ {e} q_ {e} ^ {2}}}}}$

хотя это справедливо только в том случае, если подвижность ионов ничтожна по сравнению с масштабом времени процесса.^[7]

Типичные значения

В космической плазме, где электронная плотность относительно мала, длина Дебая может достигать макроскопических значений, например, в магнитосфере, солнечном ветре, межзвездной среде и межгалактической среде. См. Таблицу:^[8]

В растворе электролита

В электролит или коллоидная суспензия, длина Дебая^[9][10][11] для одновалентного электролита обычно обозначается символом κ⁻¹

${ displaystyle kappa ^ {- 1} = { sqrt { frac { varepsilon _ { rm {r}} varepsilon _ {0} k _ { rm {B}} T} {2 times 10 ^ {3} N _ { rm {A}} e ^ {2} I}}}}$

куда

я это ионная сила электролита в коренной зуб единицы (М или моль / л),

ε₀ это диэлектрическая проницаемость свободного пространства,

ε_р это диэлектрическая постоянная,

k_B это Постоянная Больцмана,

Т это абсолютная температура в кельвины,

N_А это Число Авогадро.

${ displaystyle e}$ это элементарный заряд,

или, для симметричного одновалентного электролита,

${ displaystyle kappa ^ {- 1} = { sqrt { frac { varepsilon _ { rm {r}} varepsilon _ {0} RT} {2 times 10 ^ {3} F ^ {2} C_ {0}}}}}$

куда

р это газовая постоянная,

F это Постоянная Фарадея,

C₀ это концентрация электролита в коренной зуб единиц (М или моль / л).

В качестве альтернативы,

${ displaystyle kappa ^ {- 1} = { frac {1} { sqrt {8 pi lambda _ { rm {B}} N _ { rm {A}} times 10 ^ {3} I }}}}$

куда

${ displaystyle lambda _ { rm {B}}}$ это Длина Бьеррума среды.

Для воды комнатной температуры λ_B ≈ 0,7 нм.

При комнатной температуре (20 ° C или 70 ° F) в воде можно учитывать соотношение:^[12]

${ displaystyle kappa ^ {- 1} ( mathrm {nm}) = { frac {0.304} { sqrt {I ( mathrm {M})}}}}$

куда

κ⁻¹ выражается в нанометры (нм)

я это ионная сила выражено в коренной зуб (М или моль / л)

Существует метод оценки приблизительного значения длины Дебая в жидкостях с использованием проводимости, который описан в стандарте ISO,^[9] и книгу.^[10]

В полупроводниках

Длина Дебая становится все более важной при моделировании твердотельных устройств, поскольку усовершенствования литографических технологий позволили уменьшить геометрию.^[13][14][15]

Дебаевская длина полупроводники дано:

${ displaystyle L _ { rm {D}} = { sqrt { frac { varepsilon k _ { rm {B}} T} {q ^ {2} N _ { rm {dop}}}}}}$

куда

ε диэлектрическая проницаемость,

k_B - постоянная Больцмана,

Т абсолютная температура в кельвинах,

q - элементарный заряд, а

N_допинг - чистая плотность примесей (доноров или акцепторов).

Когда профили легирования превышают длину Дебая, основные носители больше не ведут себя в соответствии с распределением допантов. Вместо этого измерение профиля градиентов легирования обеспечивает «эффективный» профиль, который лучше соответствует профилю основной плотности носителей.

В контексте твердых тел длину Дебая также называют Длина экранирования Томаса – Ферми.

Смотрите также

• Эффект Дебая – Фалькенхагена
• Плазменные колебания

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Голдстон и Резерфорд (1997). Введение в физику плазмы. Филадельфия: Издательство Института Физики.
• Ликлема (1993). Основы интерфейсной и коллоидной науки. Нью-Йорк: Академическая пресса.