Неравенство Либа – Тирринга - Lieb–Thirring inequality

В математика и физика, Неравенства Либа – Тирринга. оценить сверху суммы степеней отрицательных собственные значения из Оператор Шредингера в терминах интегралов потенциала. Они названы в честь Э. Х. Либ и У. Э. Тирринг.

Неравенства полезны при изучении квантовая механика и дифференциальные уравнения и подразумевают, как следствие, нижнюю оценку кинетическая энергия из ${ displaystyle N}$ квантово-механических частиц, играющих важную роль в доказательстве устойчивости иметь значение.^[1]

Формулировка неравенств

Для оператора Шредингера ${ Displaystyle - Delta + V (x) = - nabla ^ {2} + V (x)}$ на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с реальным потенциалом ${ Displaystyle V (х): mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ , цифры ${ displaystyle lambda _ {1} leq lambda _ {2} leq dots leq 0}$ обозначают (не обязательно конечную) последовательность отрицательных собственных значений. Тогда для ${ displaystyle gamma}$ и ${ displaystyle n}$ удовлетворяющий одному из условий

{ Displaystyle { begin {align} gamma geq { frac {1} {2}} &, , n = 1, gamma> 0 &, , n = 2, gamma geq 0 &, , n geq 3, end {выровнено}}}

существует постоянная ${ displaystyle L _ { gamma, n}}$ , который зависит только от ${ displaystyle gamma}$ и ${ displaystyle n}$ , так что

{ displaystyle sum _ {j geq 1} | lambda _ {j} | ^ { gamma} leq L _ { gamma, n} int _ { mathbb {R} ^ {n}} V ( x) _ {-} ^ { gamma + { frac {n} {2}}} mathrm {d} ^ {n} x}

(1)

куда ${ Displaystyle V (х) _ {-}: = max (-V (x), 0)}$ отрицательная часть потенциала ${ displaystyle V}$ . Случаи ${ displaystyle gamma> 1/2, n = 1}$ а также ${ displaystyle gamma> 0, п geq 2}$ были доказаны Э. Х. Либом и У. Э. Тиррингом в 1976 г. ^[1] и использован в их доказательстве устойчивости материи. В случае ${ Displaystyle гамма = 0, п geq 3}$ левая часть - это просто количество отрицательных собственных значений, и доказательства были предоставлены независимо М. Цвикель.,^[2] Э. Х. Либ ^[3] и Г. В. Розенблюм.^[4] Результирующий ${ displaystyle gamma = 0}$ Таким образом, неравенство также называется границей Цвикеля – Либа – Розенблюма. Оставшийся критический случай ${ Displaystyle гамма = 1/2, п = 1}$ было доказано Т. Вейдлем ^[5]Условия на ${ displaystyle gamma}$ и ${ displaystyle n}$ необходимы и не могут быть расслаблены.

Константы Либа – Тирринга

Квазиклассическое приближение

Неравенства Либа – Тирринга можно сравнить с полуклассическим пределом. Классический фазовое пространство состоит из пар ${ Displaystyle (р, х) в mathbb {R} ^ {2n}}$ . Выявление оператор импульса ${ displaystyle - mathrm {i} nabla}$ с ${ displaystyle p}$ и предполагая, что каждое квантовое состояние содержится в объеме ${ Displaystyle (2 pi) ^ {п}}$ в ${ displaystyle 2n}$ -мерное фазовое пространство, квазиклассическое приближение

{ displaystyle sum _ {j geq 1} | lambda _ {j} | ^ { gamma} приблизительно { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} { big (} p ^ {2} + V (x) { big)} _ {-} ^ { гамма} mathrm {d} ^ {n} p mathrm {d} ^ {n} x = L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}} int _ { mathbb {R} ^ {n }} V (x) _ {-} ^ { gamma + { frac {n} {2}}} mathrm {d} ^ {n} x}

выводится с постоянной

{ Displaystyle L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}} = (4 pi) ^ {- { frac {n} {2}}} { frac { Gamma ( gamma +1) } { Gamma ( gamma +1 + { frac {n} {2}})}} ,.}

В то время как полуклассическое приближение не требует каких-либо предположений относительно ${ displaystyle gamma> 0}$ , неравенства Либа – Тирринга справедливы только для подходящих ${ displaystyle gamma}$ .

Асимптотика Вейля и точные константы

Было опубликовано множество результатов о наилучшей возможной постоянной ${ displaystyle L _ { gamma, n}}$ в (1), но эта проблема все еще частично остается открытой. Квазиклассическое приближение становится точным в пределе большой связи, т.е. для потенциалов ${ displaystyle beta V}$ в Weyl асимптотика

{ displaystyle lim _ { beta to infty} { frac {1} { beta ^ { gamma + { frac {n} {2}}}}} mathrm {tr} (- Delta + beta V) _ {-} ^ { gamma} = L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} V (x) _ { -} ^ { gamma + { frac {n} {2}}} mathrm {d} ^ {n} x}

держать. Отсюда следует, что ${ Displaystyle L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}} leq L _ { gamma, n}}$ . Либ и Тирринг^[1] смогли показать, что ${ Displaystyle L _ { gamma, n} = L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}}}$ за ${ Displaystyle гамма geq 3/2, п = 1}$ . М. Айзенман и Э. Х. Либ ^[6] доказал, что для фиксированной размерности ${ displaystyle n}$ Соотношение ${ Displaystyle L _ { gamma, n} / L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}}}$ это монотонный, невозрастающая функция ${ displaystyle gamma}$ . Впоследствии ${ Displaystyle L _ { gamma, n} = L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}}}$ также было показано, что все ${ displaystyle n}$ когда ${ displaystyle gamma geq 3/2}$ к А. Лаптев и Т. Вайдль.^[7] За ${ Displaystyle гамма = 1/2, , п = 1}$ Д. Хундертмарк, Э. Х. Либ и Л. Э. Томас ^[8] доказал, что лучшая константа дается формулой ${ Displaystyle L_ {1 / 2,1} = 2L_ {1 / 2,1} ^ { mathrm {cl}} = 1/2}$ .

С другой стороны, известно, что ${ Displaystyle L _ { gamma, n} ^ { mathrm {cl}}$ за ${ displaystyle 1/2 leq gamma <3/2, n = 1}$ ^[1] и для ${ displaystyle gamma <1, d geq 1}$ .^[9] В первом случае Либ и Тирринг предположили, что точная постоянная дается выражением

{ Displaystyle L _ { gamma, 1} = 2L _ { gamma, 1} ^ { mathrm {cl}} left ({ frac { gamma - { frac {1} {2}}} { gamma + { frac {1} {2}}}} right) ^ { gamma - { frac {1} {2}}}.}

Наиболее известное значение соответствующей физической постоянной ${ displaystyle L_ {1,3}}$ является ${ displaystyle pi L_ {1,3} ^ { mathrm {cl}} / { sqrt {3}}}$ ^[10] а наименьшая известная постоянная в неравенстве Цвикеля – Либа – Розенблюма равна ${ displaystyle 6.869L_ {0, n} ^ { mathrm {cl}}}$ .^[3] Полный обзор наиболее известных в настоящее время значений для ${ displaystyle L _ { gamma, n}}$ можно найти в литературе.^[11]

Неравенства кинетической энергии

Неравенство Либа – Тирринга для ${ displaystyle gamma = 1}$ эквивалентно нижней границе кинетической энергии заданного нормированного ${ displaystyle N}$ -частица волновая функция ${ displaystyle psi in L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {Nn})}$ с точки зрения однотельной плотности. Для антисимметричной волновой функции такой, что

{ displaystyle psi (x_ {1}, dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots, x_ {N}) = - psi (x_ {1}, dots, x_ { j}, dots, x_ {i}, dots, x_ {N})}

для всех ${ Displaystyle 1 Leq я, J Leq N}$ , однотельная плотность определяется как

{ displaystyle rho _ { psi} (x) = N int _ { mathbb {R} ^ {(N-1) n}} | psi (x, x_ {2} dots, x_ {N) }) | ^ {2} mathrm {d} ^ {n} x_ {2} cdots mathrm {d} ^ {n} x_ {N}, , x in mathbb {R} ^ {n} .}

Неравенство Либа – Тирринга (1) за ${ displaystyle gamma = 1}$ эквивалентно утверждению, что

{ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {N} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla _ {i} psi | ^ {2} mathrm {d} ^ { n} x_ {i} geq K_ {n} int _ { mathbb {R} ^ {n}} { rho _ { psi} (x) ^ {1 + { frac {2} {n} }}} mathrm {d} ^ {n} x}

(2)

где точная постоянная ${ displaystyle K_ {n}}$ определяется через

{ displaystyle left ( left (1 + { frac {2} {n}} right) K_ {n} right) ^ {1 + { frac {n} {2}}} left ( left (1 + { frac {n} {2}} right) L_ {1, n} right) ^ {1 + { frac {2} {n}}} = 1 ,.}

Неравенство распространяется на частицы с вращение состояний, заменив однотельную плотность на однотельную плотность с суммой спинов. Постоянная ${ displaystyle K_ {n}}$ то должен быть заменен на ${ Displaystyle К_ {п} / д ^ {2 / п}}$ куда ${ displaystyle q}$ - количество квантовых спиновых состояний, доступных каждой частице ( ${ displaystyle q = 2}$ для электронов). Если волновая функция симметрична, а не антисимметрична, такая, что

{ displaystyle psi (x_ {1}, dots, x_ {i}, dots, x_ {j}, dots, x_ {n}) = psi (x_ {1}, dots, x_ {j) }, dots, x_ {i}, dots, x_ {n})}

для всех ${ Displaystyle 1 Leq я, J Leq N}$ , постоянная ${ displaystyle K_ {n}}$ должен быть заменен на ${ displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$ . Неравенство (2) описывает минимальную кинетическую энергию, необходимую для достижения заданной плотности ${ displaystyle rho _ { psi}}$ с ${ displaystyle N}$ частицы в ${ displaystyle n}$ размеры. Если ${ Displaystyle L_ {1,3} = L_ {1,3} ^ { mathrm {cl}}}$ было доказано, что правая часть (2) за ${ displaystyle n = 3}$ будет в точности членом кинетической энергии в Томас – Ферми теория.

Неравенство можно сравнить с Неравенство Соболева. М. Рюмин^[12] получили неравенство кинетической энергии (2) (с меньшей постоянной) непосредственно без использования неравенства Либа – Тирринга.

Устойчивость материи

Неравенство кинетической энергии играет важную роль в доказательстве устойчивости материи, представленной Либом и Тиррингом.^[1] В Гамильтониан рассматриваемая система описывает систему ${ displaystyle N}$ частицы с ${ displaystyle q}$ спиновые состояния и ${ displaystyle M}$ фиксированный ядра в местах ${ displaystyle R_ {j} in mathbb {R} ^ {3}}$ с обвинения ${ displaystyle Z_ {j}> 0}$ . Частицы и ядра взаимодействуют друг с другом посредством электростатического Кулоновская сила и произвольный магнитное поле может быть введен. Если рассматриваемые частицы фермионы (т.е. волновая функция ${ displaystyle psi}$ антисимметрична), то неравенство кинетической энергии (2) выполняется с постоянной ${ Displaystyle К_ {п} / д ^ {2 / п}}$ (нет ${ displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$ ). Это важнейший ингредиент в доказательстве устойчивости вещества для системы фермионов. Это гарантирует, что основное состояние энергия ${ displaystyle E_ {N, M} (Z_ {1}, dots, Z_ {M})}$ системы можно ограничить снизу константой, зависящей только от максимума зарядов ядер, ${ displaystyle Z _ { max}}$ , умноженное на количество частиц,

{ Displaystyle E_ {N, M} (Z_ {1}, точки, Z_ {M}) geq -C (Z _ { max}) (M + N) ,.}

Тогда система является стабильной первого рода, так как энергия основного состояния ограничена снизу, а также стабильна второго рода, то есть энергия уменьшается линейно с числом частиц и ядер. Для сравнения, если предположить, что частицы бозоны (т.е. волновая функция ${ displaystyle psi}$ симметрично), то неравенство кинетической энергии (2) выполняется только с постоянной ${ displaystyle K_ {n} / N ^ {2 / n}}$ а для энергии основного состояния только оценка вида ${ displaystyle -CN ^ {5/3}}$ держит. Поскольку власть ${ displaystyle 5/3}$ можно показать как оптимальную, система бозонов устойчива первого рода, но неустойчива - второго.

Обобщения

Если лапласиан ${ displaystyle - Delta = - nabla ^ {2}}$ заменяется на ${ Displaystyle ( mathrm {я} набла + А (х)) ^ {2}}$ , куда ${ Displaystyle А (х)}$ - векторный потенциал магнитного поля в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , неравенство Либа – Тирринга (1) остается верным. Доказательство этого утверждения использует диамагнитное неравенство. Хотя все известные на данный момент константы ${ displaystyle L _ { gamma, n}}$ остаются неизменными, неизвестно, верно ли это в целом для наилучшей возможной постоянной.

Лапласиан также можно заменить другими степенями ${ displaystyle - Delta}$ . В частности для оператора ${ displaystyle { sqrt {- Delta}}}$ , неравенство Либа – Тирринга, аналогичное (1) выполняется с другой постоянной ${ displaystyle L _ { gamma, n}}$ и с заменой питания на правой стороне на ${ displaystyle gamma + n}$ . Аналогично кинетическое неравенство, подобное (2) выполняется, причем ${ displaystyle 1 + 2 / n}$ заменен на ${ displaystyle 1 + 1 / n}$ , который может быть использован для доказательства устойчивости вещества для релятивистского оператора Шредингера при дополнительных предположениях о зарядах ${ displaystyle Z_ {k}}$ .^[13]

По сути, неравенство Либа – Тирринга (1) дает оценку сверху расстояний собственных значений ${ displaystyle lambda _ {j}}$ к существенный спектр ${ displaystyle [0, infty)}$ с точки зрения возмущения ${ displaystyle V}$ . Аналогичные неравенства можно доказать для Операторы Якоби.^[14]

Литература

Lieb, E.H .; Сейрингер, Р. (2010). Устойчивость материи в квантовой механике (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521191180.
Хундертмарк, Д. (2007). «Некоторые проблемы связанного состояния в квантовой механике». У Фрица Гестези; Перси Дейфт; Чери Гальвез; Питер Перри; Вильгельм Шлаг (ред.). Спектральная теория и математическая физика: конкурс в честь 60-летия Барри Саймона. Труды симпозиумов по чистой математике. 76. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 463–496. Bibcode:2007stmp.conf..463H. ISBN 978-0-8218-3783-2.

[LT1976-1] а ^б ^c ^d ^е Lieb, Elliott H .; Тирринг, Уолтер Э. (1991). «Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева». В Тирринге, Уолтер Э. (ред.). Стабильность материи: от атомов к звездам. Издательство Принстонского университета. С. 135–169. Дои:10.1007/978-3-662-02725-7_13. ISBN 978-3-662-02727-1.

[2] Cwikel, Майкл (1977). «Оценки слабого типа для сингулярных значений и числа связанных состояний операторов Шредингера». Анналы математики. 106 (1): 93–100. Дои:10.2307/1971160. JSTOR 1971160.

[L1976-3] а ^б Либ, Эллиотт (1 августа 1976 г.). «Оценки собственных значений операторов Лапласа и Шредингера». Бюллетень Американского математического общества. 82 (5): 751–754. Дои:10.1090 / с0002-9904-1976-14149-3.

[4] Розенблюм, Г. В. (1976). «Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов». Известия Высших Учебных Заведений Математика (1): 75–86. МИСТЕР 0430557. Zbl 0342.35045.

[5] Вайдл, Тимо (1996). "О константах Либа-Тирринга ${ displaystyle L _ { gamma, 1}}$ для γ ≧ 1/2 ". Коммуникации по математической физике. 178 (1): 135–146. arXiv:Quant-ph / 9504013. Дои:10.1007 / bf02104912.

[6] Айзенман, Майкл; Либ, Эллиотт Х. (1978). «О полуклассических оценках собственных значений операторов Шредингера». Письма о физике A. 66 (6): 427–429. Bibcode:1978ФЛА ... 66..427А. Дои:10.1016/0375-9601(78)90385-7.

[7] Лаптев, Ари; Вайдл, Тимо (2000). «Острые неравенства Либа-Тирринга в больших размерностях». Acta Mathematica. 184 (1): 87–111. Дои:10.1007 / bf02392782.

[8] Хундертмарк, Дирк; Lieb, Elliott H .; Томас, Лоуренс Э. (1998). «Точная оценка момента собственного значения одномерного оператора Шредингера». Успехи теоретической и математической физики. 2 (4): 719–731. Дои:10.4310 / atmp.1998.v2.n4.a2.

[9] Helffer, B .; Роберт, Д. (1990). «Средние Рисса ограниченных состояний и полуклассический предел, связанный с гипотезой Либа – Тирринга. II». Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 53 (2): 139–147. МИСТЕР 1079775. Zbl 0728.35078.

[10] Дольбо, Жан; Лаптев, Ари; Потеря, Майкл (2008). «Неравенства Либа – Тирринга с улучшенными константами». Журнал Европейского математического общества. 10 (4): 1121–1126. Дои:10,4171 / jems / 142.

[11] Лаптев, Ари. «Спектральные неравенства для уравнений с частными производными и их приложения». Исследования AMS / IP по высшей математике. 51: 629–643.

[12] Рюмин, Мишель (2011). «Сбалансированные неравенства распределения энергии и связанные с ними оценки энтропии». Математический журнал герцога. 160 (3): 567–597. arXiv:1008.1674. Дои:10.1215/00127094-1444305. МИСТЕР 2852369.

[13] Франк, Руперт Л .; Lieb, Elliott H .; Сейринджер, Роберт (10 октября 2007 г.). "Неравенства Харди-Либа-Тирринга для дробных операторов Шредингера". Журнал Американского математического общества. 21 (4): 925–950. Дои:10.1090 / s0894-0347-07-00582-6.

[14] Хундертмарк, Дирк; Саймон, Барри (2002). "Неравенства Либа – Тирринга для матриц Якоби". Журнал теории приближений. 118 (1): 106–130. Дои:10.1006 / jath.2002.3704.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]