Неравенство Соболева - Sobolev inequality

В математика, есть в математический анализ класс Соболевские неравенства, относящиеся к нормам, в том числе Соболевские пространства. Они используются для доказательства Теорема вложения Соболева, давая включения между определенными Соболевские пространства, а Теорема Реллиха – Кондрахова. показывающий, что при несколько более сильных условиях некоторые пространства Соболева являются компактно встроенный в других. Они названы в честь Сергей Львович Соболев.

Теорема вложения Соболева

Графическое представление условий вложения. Космос

W 3, стр

, представленный синей точкой в точке

(1 / п, 3)

, встраивается в места, обозначенные красными точками, и все они лежат на линии с уклоном

п

. Белый круг на

(0,0)

указывает на невозможность оптимального вложения в

L \infty

.

Позволять $W k, p (р п)$ обозначим пространство Соболева, состоящее из всех действительных функций на $р п$ чей первый $k$ слабые производные функции в $L п$ . Здесь $k$ является целым неотрицательным числом и $1 \leq п < \infty$ . Первая часть теоремы вложения Соболева утверждает, что если $k > ℓ$ и $1 \leq п < q < \infty$ два вещественных числа такие, что

{displaystyle {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}} = {frac {1} {q}} - {frac {ell} {n}},}

тогда

{displaystyle W ^ {k, p} (mathbf {R} ^ {n}) subteq W ^ {ell, q} (mathbf {R} ^ {n})}

и вложение непрерывно. В частном случае $k = 1$ и $ℓ = 0$ , Вложение Соболева дает

{displaystyle W ^ {1, p} (mathbf {R} ^ {n}) subteq L ^ {p ^ {*}} (mathbf {R} ^ {n})}

куда $п *$ это Соболева конъюгат из $п$ , данный

{displaystyle {frac {1} {p ^ {*}}} = {frac {1} {p}} - {frac {1} {n}}.}

Этот частный случай вложения Соболева является прямым следствием Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева.. Результат следует интерпретировать как указание на то, что если функция ${displaystyle f}$ в ${displaystyle L ^ {p} (mathbb {R} ^ {n})}$ имеет одну производную в ${displaystyle L ^ {p}}$ , тогда ${displaystyle f}$ сам по себе улучшил локальное поведение, что означает, что он принадлежит пространству ${displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$ куда ${displaystyle p ^ {*}> p}$ . (Обратите внимание, что ${displaystyle 1 / p ^ {*} <1 / p}$ , так что ${displaystyle p ^ {*}> p}$ .) Таким образом, любые локальные особенности в ${displaystyle f}$ должен быть более мягким, чем для типичной функции в ${displaystyle L ^ {p}}$ .

Если линия на рисунке выше пересекает ось Y в s = r + α, вложение в пространство Гёльдера

C г, а

(красный) держится. Белые кружки обозначают точки пересечения, в которых оптимальный вложения недействительны.

Вторая часть теоремы вложения Соболева применима к вложениям в Пространства Гёльдера $C г, а (р п)$ . Если $п < pk$ и

{displaystyle {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}} = - {frac {r + alpha} {n}},}

с $α \in (0, 1]$ то есть вложение

{displaystyle W ^ {k, p} (mathbf {R} ^ {n}) подмножество C ^ {r, alpha} (mathbf {R} ^ {n}).}

Эта часть вложения Соболева является прямым следствием Неравенство Морри. Интуитивно это включение выражает тот факт, что существование достаточно большого числа слабых производных влечет некоторую непрерывность классических производных.

В частности, пока ${displaystyle pk> n}$ , критерий вложения будет выполняться с ${displaystyle r = 0}$ и некоторое положительное значение ${displaystyle alpha}$ . То есть для функции ${displaystyle f}$ на ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , если ${displaystyle f}$ имеет ${displaystyle k}$ производные в ${displaystyle L ^ {p}}$ и ${displaystyle pk> n}$ , тогда ${displaystyle f}$ будет непрерывным (и фактически непрерывным по Гёльдеру с некоторым положительным показателем ${displaystyle alpha}$ ).

Обобщения

Теорема вложения Соболева верна для пространств Соболева. $W k, p (M)$ на других подходящих доменах $M$ . Особенно (Обен 1982, Глава 2; Обен 1976 ) обе части вложения Соболева выполняются, когда

$M$ это ограниченный открытый набор в $р п$ с Липшиц граница (или граница которой удовлетворяет состояние конуса; Адамс 1975, Теорема 5.4)
$M$ это компактный Риманово многообразие
$M$ компактный риманов многообразие с краем и граница липшицева (это означает, что граница может быть локально представлена как график липшицевой функции).
$M$ это полный Риманово многообразие с радиус приемистости $δ > 0$ и ограниченный секционная кривизна.

Если $M$ ограниченное открытое множество в $р п$ с непрерывной границей, то $W 1,2 (M)$ компактно встроен в $L 2 (M)$ (Nečas 2012, Раздел 1.1.5, теорема 1.4).

Теорема вложения Кондрахова

На компактном многообразии $M$ с $C 1$ граница, Теорема вложения Кондрахова заявляет, что если $k > ℓ$ и

{displaystyle {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}} <{frac {1} {q}} - {frac {ell} {n}}}

то вложение Соболева

{displaystyle W ^ {k, p} (M) подмножество W ^ {ell, q} (M)}

является полностью непрерывный (компактный). Обратите внимание, что условие такое же, как и в первой части теоремы вложения Соболева, с заменой равенства на неравенство, что требует более регулярного пространства $W k, p (M)$ .

Неравенство Гальярдо – Ниренберга – Соболева.

Предположить, что $ты$ - непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция на $р п$ с компактная опора. Тогда для $1 \leq п < п$ есть постоянный $C$ в зависимости только от $п$ и $п$ такой, что

{displaystyle | u | _ {L ^ {p ^ {*}} (mathbf {R} ^ {n})} leq C | Du | _ {L ^ {p} (mathbf {R} ^ {n})} .}

с 1 / p * = 1 / p - 1 / n. Случай ${displaystyle 1$ принадлежит Соболеву, ${displaystyle p = 1}$ Гальярдо и Ниренбергу независимо друг от друга. Из неравенства Гальярдо – Ниренберга – Соболева непосредственно следует вложение Соболева

{displaystyle W ^ {1, p} (mathbf {R} ^ {n}) подмножество L ^ {p ^ {*}} (mathbf {R} ^ {n}).}

Вложения в другие заказы на $р п$ затем получаются подходящей итерацией.

Лемма Харди – Литтлвуда – Соболева.

Оригинальное доказательство Соболева теоремы вложения опиралось на следующее, иногда известное как Харди – Литтлвуд – Соболева. дробное интегрирование теорема. Эквивалентное утверждение известно как Лемма соболева в (Обен 1982, Глава 2). Доказательство есть в (Stein, Глава V, §1.3).

Позволять $0 < α < п$ и $1 < п < q < \infty$ . Позволять $я α = (-Δ) - α /2$ быть Потенциал Рисса на $р п$ . Тогда для $q$ определяется

{displaystyle {frac {1} {q}} = {frac {1} {p}} - {frac {alpha} {n}}}

существует постоянная $C$ в зависимости только от $п$ такой, что

{displaystyle left | I_ {alpha} fight | _ {q} leq C | f | _ {p}.}

Если $п = 1$ , то есть две возможные оценки замены. Первая - это более классическая оценка слабого типа:

{displaystyle mleft {x: left | I_ {alpha} f (x) ight |> lambda ight} leq Cleft ({frac {| f | _ {1}} {lambda}} ight) ^ {q},}

куда $1/ q = 1 - α / п$ . В качестве альтернативы можно получить оценку

{displaystyle left | I_ {alpha} fight | _ {q} leq C | Rf | _ {1},}

куда

{displaystyle Rf}

векторнозначный Преобразование Рисса, ср. (Шикорра, Спектор и Ван Шафтинген ). Ограниченность Преобразование Рисса означает, что последнее неравенство дает единый способ записать семейство неравенств для потенциала Рисса.

Из леммы Харди – Литтлвуда – Соболева вложение Соболева по существу следует из соотношения между Преобразование Рисса и потенциалы Рисса.

Неравенство Морри

Предполагать $п < п \leq \infty$ . Тогда существует постоянная $C$ , в зависимости только от $п$ и $п$ , так что

{displaystyle | u | _ {C ^ {0, gamma} (mathbf {R} ^ {n})} leq C | u | _ {W ^ {1, p} (mathbf {R} ^ {n})} }

для всех $ты \in C 1 (р п) \cap L п (р п)$ , куда

{displaystyle gamma = 1- {frac {n} {p}}.}

Таким образом, если $ты \in W 1, п (р п)$ , тогда $ты$ на самом деле Гёльдер непрерывный экспоненты $γ$ , после возможного переопределения на наборе меры 0.

Аналогичный результат верен в ограниченной области $U$ с $C 1$ граница. В этом случае,

{displaystyle | u | _ {C ^ {0, gamma} (U)} leq C | u | _ {W ^ {1, p} (U)}}

где постоянная $C$ теперь зависит от $п, п$ и $U$ . Эта версия неравенства следует из предыдущей с применением сохраняющего норму расширения $W 1, п (U)$ к $W 1, п (р п)$ .

Общие соболевские неравенства

Позволять $U$ - ограниченное открытое подмножество $р п$ , с $C 1$ граница. ( $U$ также может быть неограниченным, но в этом случае его граница, если она существует, должна быть достаточно хорошей.)

Предполагать $ты \in W k, p (U)$ . Затем мы рассматриваем два случая:

$k < п / п$

В этом случае заключаем, что $ты \in L q (U)$ , куда

{displaystyle {frac {1} {q}} = {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}}.}

У нас есть дополнительно оценка

{displaystyle | u | _ {L ^ {q} (U)} leq C | u | _ {W ^ {k, p} (U)}}

,

постоянная $C$ в зависимости только от $k, п, п$ , и $U$ .

$k > п / п$

Здесь мы заключаем, что $ты$ принадлежит Пространство Гёльдера, точнее:

{displaystyle uin C ^ {k-left [{frac {n} {p}} ight] -1, gamma} (U),}

куда

{displaystyle gamma = {egin {case} left [{frac {n} {p}} ight] + 1- {frac {n} {p}} & {frac {n} {p}} otin mathbf {Z} {ext {любой элемент в}} (0,1) & {frac {n} {p}} в mathbf {Z} end {case}}}

У нас есть дополнительно оценка

{displaystyle | u | _ {C ^ {k-left [{frac {n} {p}} ight] -1, gamma} (U)} leq C | u | _ {W ^ {k, p} (U )},}

постоянная $C$ в зависимости только от $k, п, п, γ$ , и $U$ . В частности, условие ${displaystyle k> n / p}$ гарантирует, что ${displaystyle u}$ непрерывно (и фактически непрерывно по Гёльдеру с некоторым положительным показателем).

Дело ${displaystyle p = n, k = 1}$

Если ${displaystyle uin W ^ {1, n} (mathbf {R} ^ {n})}$ , тогда $ты$ является функцией ограниченное среднее колебание и

{displaystyle | u | _ {BMO} leq C | Du | _ {L ^ {n} (mathbf {R} ^ {n})},}

для некоторой постоянной $C$ в зависимости только от $п$ . Эта оценка является следствием Неравенство Пуанкаре.

Неравенство Нэша

Неравенство Нэша, введенное Джон Нэш (1958 ), утверждает, что существует постоянная $C > 0$ , так что для всех $ты \in L 1 (р п) \cap W 1,2 (р п)$ ,

{displaystyle | u | _ {L ^ {2} (mathbf {R} ^ {n})} ^ {1 + 2 / n} leq C | u | _ {L ^ {1} (mathbf {R} ^ { n})} ^ {2 / n} | Du | _ {L ^ {2} (mathbf {R} ^ {n})}.}

Неравенство следует из основных свойств преобразование Фурье. Действительно, интегрируя по дополнению к шару радиуса $ρ$ ,

{displaystyle int _ {| x | geq ho} left | {hat {u}} (x) ight | ^ {2}, dxleq int _ {| x | geq ho} {frac {| x | ^ {2}} {ho ^ {2}}} left | {hat {u}} (x) ight | ^ {2}, dxleq ho ^ {- 2} int _ {mathbf {R} ^ {n}} | Du | ^ { 2}, dx}

(1)

потому что ${displaystyle 1leq | x | ^ {2} / ho ^ {2}}$ . С другой стороны, есть

{displaystyle | {hat {u}} | leq | u | _ {L ^ {1}}}

который при интегрировании по шару радиуса $ρ$ дает

{displaystyle int _ {| x | leq ho} | {hat {u}} (x) | ^ {2}, dxleq ho ^ {n} omega _ {n} | u | _ {L ^ {1}} ^ {2}}

(2)

куда $ω п$ объем $п$ -мяч. Выбор $ρ$ чтобы минимизировать сумму (1) и (2) и применяя теорему Парсеваля:

{displaystyle | {hat {u}} | _ {L ^ {2}} = | u | _ {L ^ {2}}}

дает неравенство.

В частном случае $п = 1$ , неравенство Нэша распространяется на $L п$ случай, и в этом случае это обобщение неравенства Гальярдо-Ниренберга-Соболева (Брезис 2011, Комментарии к главе 8). Фактически, если $я$ является ограниченным интервалом, то для всех $1 \leq р < \infty$ и все $1 \leq q \leq п < \infty$ выполняется следующее неравенство

{displaystyle | u | _ {L ^ {p} (I)} leq C | u | _ {L ^ {q} (I)} ^ {1-a} | u | _ {W ^ {1, r} (I)} ^ {a},}

куда:

{displaystyle aleft ({frac {1} {q}} - {frac {1} {r}} + 1ight) = {frac {1} {q}} - {frac {1} {p}}.}

Логарифмическое неравенство Соболева

Простейшая из теорем вложения Соболева, описанная выше, утверждает, что если функция ${displaystyle f}$ в ${displaystyle L ^ {p} (mathbb {R} ^ {n})}$ имеет одну производную в ${displaystyle L ^ {p}}$ , тогда ${displaystyle f}$ сам находится в ${displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$ , куда

{displaystyle 1 / p ^ {*} = 1 / p-1 / n.}

Мы можем видеть это как ${displaystyle n}$ стремится к бесконечности, ${displaystyle p ^ {*}}$ подходы ${displaystyle p}$ . Таким образом, если размерность ${displaystyle n}$ пространства, на котором ${displaystyle f}$ определяется большим, улучшение локального поведения ${displaystyle f}$ от наличия производной в ${displaystyle L ^ {p}}$ маленький ( ${displaystyle p ^ {*}}$ лишь немного больше, чем ${displaystyle p}$ ). В частности, для функций в бесконечномерном пространстве нельзя ожидать прямого аналога классических теорем вложения Соболева.

Однако существует разновидность неравенства Соболева, установленная Леонард Гросс (Валовой 1975 ) и известный как логарифмическое неравенство Соболева, который имеет не зависящие от размерности константы и, следовательно, продолжает выполняться в бесконечномерном окружении. Логарифмическое неравенство Соболева примерно говорит, что если функция находится в ${displaystyle L ^ {p}}$ относительно гауссовской меры и имеет одну производную, которая также находится в ${displaystyle L ^ {p}}$ , тогда ${displaystyle f}$ в " ${displaystyle L ^ {p}}$ -log ", что означает, что интеграл ${displaystyle | f | ^ {p} журнал | f |}$ конечно. Неравенство, выражающее этот факт, имеет константы, которые не включают размерность пространства, и, таким образом, неравенство выполняется в случае гауссовской меры на бесконечномерном пространстве. Теперь известно, что логарифмические неравенства Соболева справедливы для многих различных типов мер, а не только для гауссовских мер.

Хотя может показаться, что ${displaystyle L ^ {p}}$ -состояние журнала - очень небольшое улучшение по сравнению с ${displaystyle L ^ {p}}$ , этого улучшения достаточно для получения важного результата, а именно гиперсжимаемости связанного Форма Дирихле оператор. Этот результат означает, что если функция находится в диапазоне экспоненты оператора формы Дирихле - это означает, что функция имеет в некотором смысле бесконечно много производных в ${displaystyle L ^ {p}}$ - тогда функция принадлежит ${displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$ для некоторых ${displaystyle p ^ {*}> p}$ (Валовой 1975 Теорема 6).

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Неравенство Соболева - Sobolev inequality

Содержание