Преобразование Рисса - Riesz transform

в математический теория гармонический анализ, то Преобразования Рисса являются семейством обобщений Преобразование Гильберта к Евклидовы пространства измерения d > 1. Они являются разновидностью сингулярный интеграл оператор, что означает, что они заданы свертка одной функции с другой функцией, имеющей особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплекснозначной функции на р^d определены

{displaystyle R_ {j} f (x) = c_ {d} lim _ {epsilon o 0} int _ {mathbf {R} ^ {d} ackslash B_ {epsilon} (x)} {frac {(x_ {j}) -t_ {j}) f (t)} {| xt | ^ {d + 1}}}, dt}

(1)

за j = 1,2,...,d. Постоянная c_d является размерной нормализацией, задаваемой

{displaystyle c_ {d} = {frac {1} {pi omega _ {d-1}}} = {frac {Gamma [(d + 1) / 2]} {pi ^ {(d + 1) / 2} }}.}

где ω_d−1 это объем агрегата (d - 1) -бол. Предел записывается по-разному, часто в виде основная стоимость, или как свертка с умеренное распределение

{displaystyle K (x) = {frac {1} {pi omega _ {d-1}}}, p.v. {frac {x_ {j}} {| x | ^ {d + 1}}}.}.

Преобразование Рисса возникает при исследовании свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теория потенциала и гармонический анализ. В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда (Гилбарг и Трудингер, 1983 г., §9.4).

Свойства множителя

Преобразования Рисса задаются Множитель Фурье. Действительно, преобразование Фурье из р_jƒ дается

{displaystyle {mathcal {F}} (R_ {j} f) (x) = - i {frac {x_ {j}} {| x |}} ({mathcal {F}} f) (x).}

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения Преобразование Гильберта. Ядро - это распределение который однородный нулевой степени. Частным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L²(р^d) себе.^[1]

Это свойство однородности можно также выразить более прямо без помощи преобразования Фурье. Если σ_s это расширение на р^d скалярным s, то есть σ_sИкс = sx, то σ_s определяет действие над функциями через откат:

{displaystyle sigma _ {s} ^ {*} f = fcirc sigma _ {s}.}

Преобразования Рисса коммутируют с σ_s:

{displaystyle sigma _ {s} ^ {*} (R_ {j} f) = R_ {j} (sigma _ {x} ^ {*} f).}

Точно так же преобразования Рисса коммутируют с переводами. Пусть τ_а быть переводом на р^d по вектору а; то есть τ_а(Икс) = Икс + а. потом

{displaystyle au _ {a} ^ {*} (R_ {j} f) = R_ {j} (au _ ​​{a} ^ {*} f).}

В качестве последнего свойства удобно рассматривать преобразования Рисса как единый векторный юридическое лицо рƒ = (р₁ƒ, ...,р_dƒ). Рассмотрим вращение ρ в р^d. Вращение действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через откат. Но он также может воздействовать на пространственный вектор рƒ. Последнее свойство преобразования утверждает, что преобразование Рисса эквивариантный в отношении этих двух действий; то есть,

{displaystyle ho ^ {*} R_ {j} [(ho ^ {- 1}) ^ {*} f] = sum _ {k = 1} ^ {d} ho _ {jk} R_ {k} f.}

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Позволять Т=(Т₁,...,Т_d) быть d-набор линейных ограниченных операторов из L²(р^d) к L²(р^d) такие, что

Т коммутирует со всеми расширениями и переводами.
Т эквивариантна относительно поворотов.

Тогда для некоторой постоянной c, Т = cR.

Связь с лапласианом

Несколько неточно преобразование Рисса ${displaystyle f}$ дать первый частные производные решения уравнения

{displaystyle {(-Delta) ^ {гидроразрыв {1} {2}} u = f},}

где Δ - лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса ${displaystyle f}$ можно записать как:

{displaystyle {Rf = abla (-Delta) ^ {- {гидроразрыв {1} {2}}} f}}

В частности, нужно также иметь

{displaystyle R_ {i} R_ {j} Delta u = - {frac {partial ^ {2} u} {partial x_ {i} partial x_ {j}}},}

так что преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем Гессен функции от знания только ее лапласиана.

Теперь это уточнено. Предположим, что ${displaystyle u}$ это Функция Шварца. Тогда действительно, благодаря явному виду множителя Фурье, мы имеем

{displaystyle R_ {i} R_ {j} (Delta u) = - {frac {partial ^ {2} u} {partial x_ {i} partial x_ {j}}}.}

Идентичность обычно неверна в смысле распределения. Например, если ${displaystyle u}$ это умеренное распределение такой, что ${displaystyle Delta uin L ^ {2} (mathbb {R} ^ {d})}$ , то можно только заключить, что

{displaystyle {frac {partial ^ {2} u} {partial x_ {i} partial x_ {j}}} = - R_ {i} R_ {j} Delta u + P_ {ij} (x)}

для некоторого полинома ${displaystyle P_ {ij}}$ .

Преобразование Рисса - Riesz transform

Содержание

Свойства множителя

Связь с лапласианом

Смотрите также

Рекомендации