Сингулярный интеграл - Singular integral

В математика, сингулярные интегралы занимают центральное место в гармонический анализ и тесно связаны с изучением уравнений в частных производных. Вообще говоря, сингулярный интеграл - это интегральный оператор

${displaystyle T (f) (x) = int K (x, y) f (y), dy,}$

чья функция ядра K : р^п×р^п → р является единственное число по диагонали Икс = у. В частности, особенность такова, что |K(Икс, у) | имеет размер |Икс − у|^−п асимптотически при |Икс − у| → 0. Так как такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по |у − Икс| > ε при ε → 0, но на практике это техническая сторона вопроса. Обычно для получения результатов требуются дополнительные предположения, например их ограниченность на L^п(р^п).

Преобразование Гильберта

Архетипическим сингулярным интегральным оператором является Преобразование Гильберта ЧАС. Дается сверткой против ядра K(Икс) = 1 / (πИкс) за Икс в р. Точнее,

${displaystyle H (f) (x) = {frac {1} {pi}} lim _ {varepsilon o 0} int _ {| xy |> varepsilon} {frac {1} {xy}} f (y), dy .}$

Самыми простыми аналогами этих высших измерений являются Преобразования Рисса, которые заменяют K(Икс) = 1/Икс с

${displaystyle K_ {i} (x) = {гидроразрыв {x_ {i}} {| x | ^ {n + 1}}}}$

куда я = 1, …, п и ${displaystyle x_ {i}}$ это я-й компонент Икс в р^п. Все эти операторы ограничены на L^п и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1).^[1]

Сингулярные интегралы типа свертки

Особый интеграл типа свертки - это оператор Т определяется сверткой с ядром K то есть локально интегрируемый на р^п{0} в том смысле, что

${displaystyle T (f) (x) = lim _ {varepsilon o 0} int _ {| y-x |> varepsilon} K (x-y) f (y), dy.}$

(1)

Предположим, что ядро ​​удовлетворяет:

1. В размер условие на преобразование Фурье из K

${displaystyle {hat {K}} в L ^ {infty} (mathbf {R} ^ {n})}$

2. Программа гладкость состояние: для некоторых C > 0,

${displaystyle sup _ {yeq 0} int _ {| x |> 2 | y |} | K (x-y) -K (x) |, dxleq C.}$

Тогда можно показать, что Т ограничен L^п(р^п) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).

Свойство 1. необходимо, чтобы свертка (1) с умеренное распределение p.v.K предоставленный интеграл главного значения

${displaystyle operatorname {p.v.} ,, K [phi] = lim _ {epsilon o 0 ^ {+}} int _ {| x |> epsilon} phi (x) K (x), dx}$

является четко определенным Множитель Фурье на L². Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях есть отмена условие

${displaystyle int _ {R_ {1} <| x | 0}$

что довольно легко проверить. Это автоматически, например, если K является нечетная функция. Если, кроме того, предполагается 2. и следующее условие размера

${displaystyle sup _ {R> 0} int _ {R <| x | <2R} | K (x) |, dxleq C,}$

тогда можно показать, что 1. следует.

Условие гладкости 2. также часто трудно проверить в принципе, следующее достаточное условие ядра K может быть использован:

• ${displaystyle Kin C ^ {1} (mathbf {R} ^ {n} setminus {0})}$
• ${displaystyle | abla K (x) | leq {гидроразрыв {C} {| x | ^ {n + 1}}}}$

Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата.^[2]

Сингулярные интегралы несверточного типа

Это еще более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабые, это не обязательно так, что эти операторы ограничены на L^п.

Ядра Кальдерона – Зигмунда

Функция K : р^п×р^п → р считается Кальдерон –Зигмунд ядро если он удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C > 0 и δ> 0.^[2]

${displaystyle (a) qquad | K (x, y) | leq {frac {C} {| x-y | ^ {n}}}}$

${displaystyle (b) qquad | K (x, y) -K (x ', y) | leq {frac {C | x-x' | ^ {delta}} {{igl (} | xy | + | x ' -y | {igr)} ^ {n + delta}}} {ext {when}} | x-x '| leq {frac {1} {2}} max {igl (} | xy |, | x'- у | {игр)}}$

${displaystyle (c) qquad | K (x, y) -K (x, y ') | leq {frac {C | y-y' | ^ {delta}} {{igl (} | xy | + | x- y '| {igr)} ^ {n + delta}}} {ext {when}} | y-y' | leq {frac {1} {2}} max {igl (} | x-y '|, |, | ху | {игр)}}$

Сингулярные интегралы несверточного типа

Т считается сингулярный интегральный оператор несверточного типа связанная с ядром Кальдерона – Зигмунда K если

${displaystyle int g (x) T (f) (x), dx = iint g (x) K (x, y) f (y), dy, dx,}$

в любое время ж и грамм гладкие и имеют непересекающиеся опоры.^[2] Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L^п

Операторы Кальдерона – Зигмунда

Особый интеграл несверточного типа Т связан с ядром Кальдерона – Зигмунда K называется Оператор Кальдерона – Зигмунда когда это ограничено L², то есть есть C > 0 такой, что

${displaystyle | T (f) | _ {L ^ {2}} leq C | f | _ {L ^ {2}},}$

для всех гладких с компактным носителем.

Можно доказать, что такие операторы на самом деле также ограничены на всех L^п с 1 <п < ∞.

В Т(б) теорема

В Т(б) теорема дает достаточные условия для того, чтобы сингулярный интегральный оператор был оператором Кальдерона – Зигмунда, то есть для того, чтобы сингулярный интегральный оператор, связанный с ядром Кальдерона – Зигмунда, был ограничен на L². Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.

А нормализованная шишка - гладкая функция φ на р^п опирается на шар радиуса 10 и центрируется в начале координат так, что | ∂^α φ (Икс) | ≤ 1 для всех мультииндексов | α | ≤п + 2. Обозначим через τ^Икс(φ) (у) = φ (у − Икс) и φ_р(Икс) = р^−пφ (Икс/р) для всех Икс в р^п и р > 0. Оператор называется слабо ограниченный если есть постоянная C такой, что

${displaystyle left | int T {igl (} au ^ {x} (varphi _ {r}) {igr)} (y) au ^ {x} (psi _ {r}) (y), dyight | leq Cr ^ {-n}}$

для всех нормированных выступов φ и ψ. Функция называется аккретивный если есть постоянная c > 0 такое, что Re (б)(Икс) ≥ c для всех Икс в р. Обозначим через M_б оператор, заданный умножением на функцию б.

В Т(б) теорема утверждает, что сингулярный интегральный оператор Т связанная с ядром Кальдерона – Зигмунда, ограничена на L² если он удовлетворяет всем следующим трем условиям для некоторых ограниченных аккретивных функций б₁ и б₂:^[3]

(а) ${displaystyle M_ {b_ {2}} TM_ {b_ {1}}}$ слабо ограничен;

(б) ${displaystyle T (b_ {1})}$ в BMO;

(c) ${displaystyle T ^ {t} (b_ {2}),}$ в BMO, куда Т^т является оператором транспонированияТ.

Смотрите также

• Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых

Примечания

Рекомендации

• Кальдерон, А.; Зигмунд, А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Mathematica, 88 (1): 85–139, Дои:10.1007 / BF02392130, ISSN  0001-5962, МИСТЕР  0052553, Zbl  0047.10201.
• Кальдерон, А.; Зигмунд, А. (1956), «О сингулярных интегралах», Американский журнал математики, Издательство Университета Джона Хопкинса, 78 (2): 289–309, Дои:10.2307/2372517, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372517, МИСТЕР  0084633, Zbl  0072.11501.
• Койфман, Рональд; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерона-Зигмунда и полилинейные операторы, Кембриджские исследования по высшей математике, 48, Cambridge University Press, стр. Xx + 315, ISBN  0-521-42001-6, МИСТЕР  1456993, Zbl  0916.42023.
• Михлин, Соломон Г. (1948), «Сингулярные интегральные уравнения», UMN, 3 (25): 29–112, МИСТЕР  0027429 (в русский ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83, Оксфорд –Лондон –Эдинбург –Нью-Йорк –Париж –Франкфурт: Pergamon Press, стр. XII + 255, МИСТЕР  0185399, Zbl  0129.07701.
• Михлин, Соломон Г.; Prössdorf, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы, Берлин –Гейдельберг –Нью-Йорк: Springer Verlag, п. 528, г. ISBN  0-387-15967-3, МИСТЕР  0867687, Zbl  0612.47024, (Европейское издание: ISBN  3-540-15967-3).
• Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Принстонская математическая серия, 30, Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. XIV + 287, ISBN  0-691-08079-8, МИСТЕР  0290095, Zbl  0207.13501

внешняя ссылка

• Штейн, Элиас М. (октябрь 1998 г.). «Сингулярные интегралы: роль Кальдерона и Зигмунда» (PDF). Уведомления Американского математического общества. 45 (9): 1130–1140.