Спряжение Соболева - Википедия - Sobolev conjugate

В Соболева конъюгат из п за ${ Displaystyle 1 Leq р <п}$ , куда п размерность пространства,

{ displaystyle p ^ {*} = { frac {pn} {n-p}}> p}

Это важный параметр в Соболевские неравенства.

Мотивация

Возникает вопрос: ты от Соболевское пространство ${ Displaystyle W ^ {1, p} ( mathbb {R} ^ {n})}$ принадлежит ${ Displaystyle L ^ {д} ( mathbb {R} ^ {п})}$ для некоторых q > п. В частности, когда ${ Displaystyle | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})}}$ контроль ${ Displaystyle | и | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})}}$ ? Несложно проверить, что следующее неравенство

{ displaystyle | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} leq C (p, q) | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} qquad qquad (*)}

не может быть верным для произвольных q. Учитывать ${ Displaystyle и (х) в C_ {c} ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ , бесконечно дифференцируемая функция с компактным носителем. Вводить ${ Displaystyle и _ { лямбда} (х): = и ( лямбда х)}$ . У нас это:

{ Displaystyle { begin {align} | u _ { lambda} | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {q} & = int _ { mathbb { R} ^ {n}} | u ( lambda x) | ^ {q} dx = { frac {1} { lambda ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | u (y) | ^ {q} dy = lambda ^ {- n} | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {q} | Du _ { lambda} | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {p} & = int _ { mathbb {R} ^ {n}} | lambda Du ( lambda x) | ^ {p} dx = { frac { lambda ^ {p}} { lambda ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} | Du ( y) | ^ {p} dy = lambda ^ {pn} | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})} ^ {p} end {align}}}

Неравенство (*) для ${ displaystyle u _ { lambda}}$ приводит к следующему неравенству для ${ displaystyle u}$

{ displaystyle | u | _ {L ^ {q} ( mathbb {R} ^ {n})} leq lambda ^ {1 - { frac {n} {p}} + { frac { n} {q}}} C (p, q) | Du | _ {L ^ {p} ( mathbb {R} ^ {n})}}

Если ${ displaystyle 1 - { frac {n} {p}} + { frac {n} {q}} neq 0,}$ затем позволив ${ displaystyle lambda}$ переходя к нулю или бесконечности, получаем противоречие. Таким образом, неравенство (*) может выполняться только для

{ displaystyle q = { frac {pn} {n-p}}}

,

которое является сопряженным по Соболеву.

Смотрите также

Сергей Львович Соболев

Спряжение Соболева - Википедия - Sobolev conjugate

Мотивация

Смотрите также

Рекомендации