Форма Дирихле - Википедия - Dirichlet form

В филиале математика известный как теория потенциала (И в функциональный анализ ) форма Дирихле является обобщением Лапласиан который может быть определен на каждом измерить пространство, без необходимости упоминания частные производные. Это позволяет математикам изучать Уравнение лапласа и уравнение теплопроводности на пространствах, которые не коллекторы: Например, фракталы. Преимущество этих пространств состоит в том, что это можно сделать без использования оператора градиента, и, в частности, можно даже слабо определить «лапласиан» таким образом, если начать с формы Дирихле. Классическая форма Дирихле на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ дан кем-то:

{ Displaystyle { mathcal {E}} (u, v) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} nabla u (x) cdot nabla v (x) ; dx}

где часто обсуждают ${ Displaystyle { mathcal {E}} (u): = { mathcal {E}} (u, u) = | nabla u | _ {2} ^ {2}}$ которую часто называют «энергией» функции ${ Displaystyle и (х)}$ . Функции, которые минимизируют энергию при определенных граничных условиях, называются гармоническими, и связанный с ними лапласиан (слабый или нет) будет равен нулю внутри, как и ожидалось. В качестве альтернативного примера стандартная форма графа Дирихле имеет вид:

{ Displaystyle { mathcal {E}} _ {G} (u, v) = sum _ {x sim y} ((u (x) -u (y)) (v (x) -v (y ))}

куда ${ Displaystyle х сим у}$ означает, что они соединены ребром. Пусть выбрано подмножество множества вершин и назовем его границей графа. Задайте граничное условие Дирихле (выберите действительные числа для каждой граничной вершины). Можно найти функцию, которая минимизирует энергию графика, и она будет гармонической. В частности, он будет удовлетворять свойству усреднения, которое воплощено в лапласиане графа, то есть если ${ Displaystyle и_ {G} (х)}$ является гармоническим графом, то ${ Displaystyle Delta _ {G} u_ {G} (x) = sum _ {y sim x} (u_ {G} (y) -u_ {G} (x)) = 0}$ который, конечно, можно переформатировать в ${ displaystyle u_ {G} (x) = { frac {1} {| {y: y sim x } |}} sum _ {y sim x} u_ {G} (y)}$ показывающее свойство усреднения.

Технически Форма Дирихле это Марковский закрыто симметричная форма на L²-Космос.^[1] Такие объекты изучаются в абстрактная теория потенциала, основанный на классическом Принцип Дирихле. Теория форм Дирихле зародилась в работах Бёрлинга и Дени (1958, 1959 ) на пространствах Дирихле.

Форма Дирихле на измерить пространство ${ Displaystyle (Х, му)}$ является билинейной функцией

{ displaystyle { mathcal {E}}: D times D to mathbb {R}}

такой, что

1) ${ displaystyle D}$ плотное подмножество ${ Displaystyle L ^ {2} (X, mu)}$

2) ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ симметрично, то есть ${ Displaystyle { mathcal {E}} (u, v) = { mathcal {E}} (v, u)}$ для каждого ${ displaystyle u, v in D}$ .

3) ${ Displaystyle { mathcal {E}} (и, и) geq 0}$ для каждого ${ Displaystyle и в D}$ .

4) Набор ${ displaystyle D}$ оснащен внутренним продуктом, определенным ${ displaystyle (u, v) _ { mathcal {E}}: = (u, v) _ {L ^ {2} (X, mu)} + { mathcal {E}} (u, v) }$ - реальное гильбертово пространство.

5) Для каждого ${ Displaystyle и в D}$ у нас есть это ${ Displaystyle и _ {*} = мин ( макс (и, 0), 1) в D}$ и ${ displaystyle { mathcal {E}} (u _ {*}, u _ {*}) leq { mathcal {E}} (u, u)}$

Другими словами, форма Дирихле - это не что иное, как неотрицательная симметричная билинейная форма, определенная на плотном подмножестве ${ Displaystyle L ^ {2} (X, mu)}$ такие, что выполняются 4) и 5). В качестве альтернативы квадратичная форма ${ Displaystyle и к { mathcal {E}} (и, и)}$ сама известна как форма Дирихле и до сих пор обозначается ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ ,так ${ Displaystyle { mathcal {E}} (и): = { mathcal {E}} (и, и)}$ .

Самая известная форма Дирихле - это энергия Дирихле функций на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$

{ displaystyle { mathcal {E}} (u) = int _ { mathbb {R} ^ {n}} | nabla u | ^ {2} ; dx}

что порождает Соболевское пространство ${ Displaystyle Н ^ {1} ( mathbb {R} ^ {п})}$ . Другой пример формы Дирихле дает

{ displaystyle { mathcal {E}} (u) = iint _ { mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n}} (u (y) -u (x)) ^ {2} к (х, у) , mathrm {d} x , mathrm {d} y}

куда ${ Displaystyle к: mathbb {R} ^ {n} times mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ является некоторой неотрицательной симметричной интегральное ядро.

Если ядро ${ displaystyle k}$ удовлетворяет оценке ${ Displaystyle к (х, у) leq лямбда | х-у | ^ {- п-с}}$ , то квадратичная форма ограничена в ${ displaystyle { dot {H}} ^ {s / 2}}$ .Если к тому же ${ displaystyle lambda | x-y | ^ {- n-s} leq k (x, y)}$ , то форма сравнима с нормой в ${ displaystyle { dot {H}} ^ {s / 2}}$ в квадрате, и в этом случае набор ${ Displaystyle D подмножество L ^ {2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ определенное выше дается ${ Displaystyle Н ^ {s / 2} ( mathbb {R} ^ {n})}$ . Таким образом, формы Дирихле являются естественным обобщением Интегралы Дирихле

{ displaystyle { mathcal {E}} (u) = int (A nabla u, nabla u) ; mathrm {d} x,}

куда ${ Displaystyle А (х)}$ является положительно симметричной матрицей. Уравнение Эйлера-Лагранжа формы Дирихле является нелокальным аналогом эллиптического уравнения в дивергентной форме. Уравнения этого типа изучаются вариационными методами, и ожидается, что они будут обладать аналогичными свойствами.^[2]^[3]^[4]

Рекомендации

^ Фукусима, М., Осима, Ю., и Такеда, М. (1994). Формы Дирихле и симметричные марковские процессы. Вальтер де Грюйтер и Ко, ISBN 3-11-011626-X
^ Барлоу, Мартин Т .; Басс, Ричард Ф .; Чен, Чжэнь-Цин; Кассманн, Мориц (2009), "Нелокальные формы Дирихле и симметричные скачкообразные процессы", Труды Американского математического общества, 361 (4): 1963–1999, arXiv:математика / 0609842, Дои:10.1090 / S0002-9947-08-04544-3, ISSN 0002-9947
^ Кассманн, Мориц (2009), "Априорные оценки для интегро-дифференциальных операторов с измеримыми ядрами", Вариационное исчисление и уравнения с частными производными, 34 (1): 1–21, Дои:10.1007 / s00526-008-0173-6, ISSN 0944-2669
^ Каффарелли, Луис; Чан, Чи Хин; Вассер, Алексис (2011), "Теория регулярностей для параболических нелинейных интегральных операторов", Журнал Американского математического общества, 24 (24): 849–869, Дои:10.1090 / S0894-0347-2011-00698-X, ISSN 0894-0347

Берлинг, Арне; Deny, J. (1958), "Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire", Acta Mathematica, 99 (1): 203–224, Дои:10.1007 / BF02392426, ISSN 0001-5962, МИСТЕР 0098924
Берлинг, Арне; Deny, J. (1959), "Пространства Дирихле", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 45 (2): 208–215, Bibcode:1959ПНАС ... 45..208Б, Дои:10.1073 / pnas.45.2.208, ISSN 0027-8424, JSTOR 90170, МИСТЕР 0106365, ЧВК 222537, PMID 16590372
Фукусима, Масатоши (1980), Формы Дирихле и марковские процессы, Математическая библиотека Северной Голландии, 23, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85421-6, МИСТЕР 0569058
Йост, Юрген; Кендалл, Уилфрид; Моско, Умберто; Рёкнер, Михаэль; Штурм, Карл-Теодор (1998), Новые направления в формах Дирихле, Исследования AMS / IP по высшей математике, 8, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv + 277, ISBN 978-0-8218-1061-3, МИСТЕР 1652277.
«Абстрактная теория потенциала», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Фукусима, М., Осима, Ю., и Такеда, М. (1994). Формы Дирихле и симметричные марковские процессы. Вальтер де Грюйтер и Ко, ISBN 3-11-011626-X

[BBCK-2] Барлоу, Мартин Т .; Басс, Ричард Ф .; Чен, Чжэнь-Цин; Кассманн, Мориц (2009), "Нелокальные формы Дирихле и симметричные скачкообразные процессы", Труды Американского математического общества, 361 (4): 1963–1999, arXiv:математика / 0609842, Дои:10.1090 / S0002-9947-08-04544-3, ISSN 0002-9947

[K-3] Кассманн, Мориц (2009), "Априорные оценки для интегро-дифференциальных операторов с измеримыми ядрами", Вариационное исчисление и уравнения с частными производными, 34 (1): 1–21, Дои:10.1007 / s00526-008-0173-6, ISSN 0944-2669

[CCV-4] Каффарелли, Луис; Чан, Чи Хин; Вассер, Алексис (2011), "Теория регулярностей для параболических нелинейных интегральных операторов", Журнал Американского математического общества, 24 (24): 849–869, Дои:10.1090 / S0894-0347-2011-00698-X, ISSN 0894-0347

[1]

[2]

[3]

[4]