Форма Дирихле - Википедия - Dirichlet form

В филиале математика известный как теория потенциала (И в функциональный анализ ) форма Дирихле является обобщением Лапласиан который может быть определен на каждом измерить пространство, без необходимости упоминания частные производные. Это позволяет математикам изучать Уравнение лапласа и уравнение теплопроводности на пространствах, которые не коллекторы: Например, фракталы. Преимущество этих пространств состоит в том, что это можно сделать без использования оператора градиента, и, в частности, можно даже слабо определить «лапласиан» таким образом, если начать с формы Дирихле. Классическая форма Дирихле на дан кем-то:

где часто обсуждают которую часто называют «энергией» функции . Функции, которые минимизируют энергию при определенных граничных условиях, называются гармоническими, и связанный с ними лапласиан (слабый или нет) будет равен нулю внутри, как и ожидалось. В качестве альтернативного примера стандартная форма графа Дирихле имеет вид:

куда означает, что они соединены ребром. Пусть выбрано подмножество множества вершин и назовем его границей графа. Задайте граничное условие Дирихле (выберите действительные числа для каждой граничной вершины). Можно найти функцию, которая минимизирует энергию графика, и она будет гармонической. В частности, он будет удовлетворять свойству усреднения, которое воплощено в лапласиане графа, то есть если является гармоническим графом, то который, конечно, можно переформатировать в показывающее свойство усреднения.

Технически Форма Дирихле это Марковский закрыто симметричная форма на L2-Космос.[1] Такие объекты изучаются в абстрактная теория потенциала, основанный на классическом Принцип Дирихле. Теория форм Дирихле зародилась в работах Бёрлинга и Дени (1958, 1959 ) на пространствах Дирихле.

Форма Дирихле на измерить пространство является билинейной функцией

такой, что

1) плотное подмножество

2) симметрично, то есть для каждого .

3) для каждого .

4) Набор оснащен внутренним продуктом, определенным - реальное гильбертово пространство.

5) Для каждого у нас есть это и

Другими словами, форма Дирихле - это не что иное, как неотрицательная симметричная билинейная форма, определенная на плотном подмножестве такие, что выполняются 4) и 5). В качестве альтернативы квадратичная форма сама известна как форма Дирихле и до сих пор обозначается ,так .

Самая известная форма Дирихле - это энергия Дирихле функций на

что порождает Соболевское пространство . Другой пример формы Дирихле дает

куда является некоторой неотрицательной симметричной интегральное ядро.

Если ядро удовлетворяет оценке , то квадратичная форма ограничена в .Если к тому же , то форма сравнима с нормой в в квадрате, и в этом случае набор определенное выше дается . Таким образом, формы Дирихле являются естественным обобщением Интегралы Дирихле

куда является положительно симметричной матрицей. Уравнение Эйлера-Лагранжа формы Дирихле является нелокальным аналогом эллиптического уравнения в дивергентной форме. Уравнения этого типа изучаются вариационными методами, и ожидается, что они будут обладать аналогичными свойствами.[2][3][4]

Рекомендации

  1. ^ Фукусима, М., Осима, Ю., и Такеда, М. (1994). Формы Дирихле и симметричные марковские процессы. Вальтер де Грюйтер и Ко, ISBN  3-11-011626-X
  2. ^ Барлоу, Мартин Т .; Басс, Ричард Ф .; Чен, Чжэнь-Цин; Кассманн, Мориц (2009), "Нелокальные формы Дирихле и симметричные скачкообразные процессы", Труды Американского математического общества, 361 (4): 1963–1999, arXiv:математика / 0609842, Дои:10.1090 / S0002-9947-08-04544-3, ISSN  0002-9947
  3. ^ Кассманн, Мориц (2009), "Априорные оценки для интегро-дифференциальных операторов с измеримыми ядрами", Вариационное исчисление и уравнения с частными производными, 34 (1): 1–21, Дои:10.1007 / s00526-008-0173-6, ISSN  0944-2669
  4. ^ Каффарелли, Луис; Чан, Чи Хин; Вассер, Алексис (2011), "Теория регулярностей для параболических нелинейных интегральных операторов", Журнал Американского математического общества, 24 (24): 849–869, Дои:10.1090 / S0894-0347-2011-00698-X, ISSN  0894-0347