Принцип Дирихле - Википедия - Dirichlets principle

В математика, и особенно в теория потенциала, Принцип Дирихле является предположением, что минимизатор некоторого энергетический функционал это решение Уравнение Пуассона.

Официальное заявление

Принцип Дирихле утверждает, что если функция ${ Displaystyle и (х)}$ это решение Уравнение Пуассона

${ displaystyle Delta u + f = 0}$

на домен ${ displaystyle Omega}$ из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с граничное условие

${ displaystyle u = g { text {on}} partial Omega,}$

тогда ты можно получить как минимизатор Энергия Дирихле

${ Displaystyle E [v (x)] = int _ { Omega} left ({ frac {1} {2}} | nabla v | ^ {2} -vf right) , mathrm { d} x}$

среди всех дважды дифференцируемых функций ${ displaystyle v}$ такой, что ${ displaystyle v = g}$ на ${ displaystyle partial Omega}$ (при условии, что существует хотя бы одна функция, делающая интеграл Дирихле конечным). Эта концепция названа в честь немецкого математика. Питер Густав Лежен Дирихле.

История

Поскольку интеграл Дирихле ограничен снизу, существование инфимум гарантировано. То, что эта нижняя грань достигнута, считалось само собой разумеющимся. Риман (кто ввел термин Принцип Дирихле) и другие, пока Weierstrass привел пример того, что функционал не достигает своего минимума. Гильберта позже оправдал использование Риманом принципа Дирихле прямой метод вариационного исчисления.

Смотрите также

• Задача Дирихле
• Проблема плато
• Первая личность Грина

Рекомендации

• Курант, Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера, Interscience
• Лоуренс К. Эванс (1998), Уравнения с частными производными, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0772-9
• Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Дирихле». MathWorld.