Проблема плато - Википедия - Plateaus problem

Мыльный пузырь в форме катеноид

В математика, Проблема плато показать существование минимальная поверхность с заданной границей проблема, поставленная Жозеф-Луи Лагранж в 1760 году. Однако назван в честь Плато Джозеф кто экспериментировал с мыльные фильмы. Проблема считается частью вариационное исчисление. Проблемы существования и регулярности являются частью геометрическая теория меры.

История

Были решены различные специализированные формы проблемы, но только в 1930 году общие решения были найдены в контексте отображений (погружений) независимо друг от друга. Джесси Дуглас и Тибор Радо. Их методы были совершенно разными; Работа Радо основана на предыдущей работе Рене Гарнье и действительна только для исправимый простые замкнутые кривые, тогда как Дуглас использовал совершенно новые идеи с его результатом, справедливым для произвольной простой замкнутой кривой. Оба полагались на настройку задач минимизации; Дуглас минимизировал теперь названный интеграл Дугласа, в то время как Радо минимизировал «энергию». Дуглас был награжден Медаль Филдса в 1936 г. за его труды.

В высших измерениях

Распространение проблемы на более высокую размеры (то есть для -мерные поверхности в -мерное пространство) оказывается намного сложнее для изучения. Более того, хотя решения исходной задачи всегда регулярны, оказывается, что решения расширенной задачи могут иметь особенности если . в гиперповерхность случай, когда , особенности возникают только при .

Для решения расширенной задачи в некоторых частных случаях теория периметров (Де Джорджи ) коразмерности 1 и теории выпрямляемые токи (Федерер и Флеминг) для более высокой коразмерности. Многомерная задача Плато в классе спектральных поверхностей (параметризованная спектрами многообразий с фиксированной границей) была решена в 1969 г. Анатолий Фоменко.

Аксиоматический подход Дженни Харрисон и Харрисон Пью рассматривает широкий спектр особых случаев. В частности, они решают проблему анизотропного Плато в произвольной размерности и коразмерности для любого набора спрямляемых множеств, удовлетворяющих комбинации общих гомологических, когомологических или гомотопических условий остовности.

Физические приложения

Физические мыльные пленки более точно моделируются -минимальные наборы Фредерик Альмгрен, но отсутствие теоремы компактности затрудняет доказательство существования минимизатора площади. В этом контексте постоянно возникает открытый вопрос о существовании мыльной пленки с наименьшей площадью поверхности. Эрнст Роберт Райфенберг решил такую ​​«универсальную проблему Плато» для границ, гомеоморфных одиночным вложенным сферам. В своей книге Альмгрен утверждал, что использовал варифолды для решения проблемы для более чем одной сферы, а также для более общих границ, но теорема Алларда о компактности для целочисленных варифолдов дает минимальную поверхность, не обязательно минимизатор площади.[нужна цитата ]

Смотрите также

Рекомендации

  • Харрисон, Дженни; Пью, Харрисон (2016). «Открытые задачи математики (проблема Плато)». Springer. Дои:10.1007/978-3-319-32162-2. ISBN  978-3-319-32160-8. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

Эта статья включает материал из проблемы Плато о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.