Винеровская алгебра - Wiener algebra

В математике Винеровская алгебра, названный в честь Норберт Винер и обычно обозначается А(Т), это пространство абсолютно сходящийся Ряд Фурье.[1] Здесь Т обозначает круговая группа.

Структура банаховой алгебры

Норма функции ж ∈ А(Т) дан кем-то

куда

это пth коэффициент Фурье ж. Алгебра Винера А(Т) замкнуто относительно поточечного умножения функций. В самом деле,

следовательно

Таким образом, алгебра Винера является коммутативной унитарной Банахова алгебра. Также, А(Т) изоморфна банаховой алгебре л1(Z), с изоморфизмом, задаваемым преобразованием Фурье.

Характеристики

Сумма абсолютно сходящегося ряда Фурье непрерывна, поэтому

куда C(Т) кольцо непрерывных функций на единичной окружности.

С другой стороны интеграция по частям вместе с Неравенство Коши – Шварца и Формула Парсеваля, показывает, что

В более общем смысле,

за (видеть Кацнельсон (2004) ).

Винера 1 /ж теорема

Винер (1932, 1933 ) доказал, что если ж имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равен нулю, то его обратная 1/ж также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. С тех пор появилось много других доказательств, в том числе элементарное, сделанное Новичок  (1975 ).

Гельфанд (1941, 1941b ) использовал теорию банаховых алгебр, которую он развил, чтобы показать, что максимальные идеалы А(Т) имеют форму

что эквивалентно теореме Винера.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Вайсштейн, Эрик В.; Мослехян, М. «Алгебра Винера». MathWorld.

Рекомендации