Изоспектральный - Isospectral

В математика, два линейные операторы называются изоспектральный или коспектральный если у них то же самое спектр. Грубо говоря, у них должны быть одинаковые наборы из собственные значения, когда они считаются множественность.

Теория изоспектральных операторов заметно различается в зависимости от того, является ли пространство конечномерным или бесконечномерным. В конечномерном случае мы имеем дело с квадратными матрицы.

В бесконечных измерениях спектр не обязательно должен состоять только из отдельных собственных значений. Однако случай с компактный оператор на Гильбертово пространство (или Банахово пространство ) по-прежнему разрешима, поскольку собственные значения не более чем счетны с не более чем одной предельной точкой λ = 0. Наиболее изученной изоспектральной задачей в бесконечных измерениях является проблема Оператор Лапласа на домене в р2. Две такие области называются изоспектральными, если их лапласианы изоспектральны. Проблема вывода геометрических свойств области из спектра ее лапласиана часто известна как слышать форму барабана.

Конечномерные пространства

В случае операторов в конечномерных векторных пространствах при сложный квадратные матрицы, отношение быть изоспектральным для двух диагонализуемые матрицы просто сходство. Однако это не снижает полностью интереса к концепции, поскольку мы можем изоспектральная семья матриц формы А(т) = M(т)−1AM(т) в зависимости от параметр т сложным образом. Это эволюция матрицы, которая происходит внутри одного класса подобия.

Фундаментальное понимание солитон теория заключалась в том, что бесконечно малый аналог этого уравнения, а именно

А ′ = [А, M] = AM − MA

стоял за законами сохранения, которые не давали солитонам рассеиваться. То есть сохранение спектра было интерпретацией механизма сохранения. Выявление так называемых Слабые пары (P, L), приводя к аналогичным уравнениям: Питер Лакс, показал, как линейные механизмы могут объяснить нелинейное поведение.

Изоспектральные многообразия

Два замкнутых римановых многообразия называются изоспектральными, если собственные значения их Оператор Лапласа – Бельтрами (Лапласианы), с учетом кратностей, совпадают. Одна из фундаментальных проблем спектральной геометрии состоит в том, чтобы задать вопрос, в какой степени собственные значения определяют геометрию данного многообразия.

Есть много примеров изоспектральных многообразий, которые не являются изометричными. Первый пример был приведен в 1964 г. Джон Милнор. Он построил пару плоских торов 16-размерности, используя арифметические решетки, впервые изученные А. Эрнст Витт. После этого примера было построено множество изоспектральных пар в размерности два и выше (например, М. Ф. Виньерасом, А. Икедой, Х. Уракавой, К. Гордоном). Особенно Виньера (1980), на основе Формула следа Сельберга для PSL (2,р) и PSL (2,C), построил примеры изоспектральных неизометрических замкнутых гиперболических 2-многообразий и 3-многообразий как факторпространства гиперболического 2-пространства и 3-пространства по арифметическим подгруппам, построенных с использованием кватернионных алгебр, связанных с квадратичными расширениями рациональных чисел с помощью теория поля классов.[1] В этом случае формула следа Сельберга показывает, что спектр лапласиана полностью определяет спектр длин[нужна цитата ], множество длин замкнутых геодезических в каждом свободном гомотопическом классе вместе с закруткой по геодезической в ​​трехмерном случае.[2]

В 1985 г. Тошиказу Сунада нашел общий метод построения на основе покрывающее пространство техника, которая в своей первоначальной или в некоторых обобщенных версиях стала известна как метод Сунада или конструкция Сунада. Как и предыдущие методы, он основан на формуле трассировки через Дзета-функция Сельберга. Сунада заметил, что метод построения числовых полей с одинаковыми Дзета-функция Дедекинда может быть адаптирован к компактным коллекторам. Его метод основан на том, что если M является конечным покрытием компактного риманова многообразияM0 с участием г то конечная группа из преобразования колоды и ЧАС1, ЧАС2 являются подгруппами г соответствие каждому классу сопряженности г в том же количестве элементов, то многообразия ЧАС1 \ M и ЧАС2 \ M изоспектральны, но не обязательно изометричны. Хотя это не повторяет арифметические примеры Милнора и Виньераса.[нужна цитата ], Метод Сунады дает много известных примеров изоспектральных многообразий. Это привело К. Гордона, Д. Уэбб и С. Вольпертом к открытию в 1991 г. противоположного примера Марк Кац проблема "Можно ли услышать форму барабана? "Элементарное лечение, основанное на методе Сунады, было позже проведено в Buser et al. (1994).

Идея Сунады также стимулировала попытку найти изоспектральные примеры, которые не могли быть получены с помощью его техники. Среди множества примеров наиболее ярким является односвязный пример Шют (1999).

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Маклахлан и Рид 2003
  2. ^ Это равносильно знанию класса сопряженности соответствующего элемента группы в PSL (2,р) или PSL (2,C).

использованная литература

  • Берар, Пьер (1988–1989), Римские вариации, isospectrales non isométriques, экспозиция 705 (PDF), Семинар Бурбаки, 31
  • Брукс, Роберт (1988), "Построение изоспектральных многообразий", Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 95 (9): 823–839, Дои:10.2307/2322897, JSTOR  2322897
  • Баззар, Питер (1986), «Изоспектральные римановы поверхности» (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 36: 167–192, Дои:10.5802 / aif.1054
  • Баззар, Питер; Конвей, Джон; Дойл, Питер; Земмлер, Клаус-Дитер (1994), «Некоторые плоские изоспектральные области», Int. Математика. Res. Уведомления: 391–400
  • Маккин, Х. П. (1972), "Формула следа Сельберга применительно к компактной римановой поверхности", Comm. Pure Appl. Математика., 25 (3): 225–246, Дои:10.1002 / cpa.3160250302
  • Maclachlan, C .; Рид, Алан В. (2003), Арифметика трехмерных гиперболических многообразий, Springer, стр. 383–394, ISBN  0387983864,
  • Милнор, Джон (1964), "Собственные значения оператора Лапласа на некоторых многообразиях", Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки, 51 (4): 542, Bibcode:1964ПНАС ... 51..542М, Дои:10.1073 / пнас.51.4.542, ЧВК  300113, PMID  16591156
  • Schueth, D. (1999), "Непрерывные семейства изоспектральных метрик на односвязных многообразиях", Анналы математики, 149 (1): 287–308, arXiv:dg-ga / 9711010, Дои:10.2307/121026, JSTOR  121026
  • Сельберг, Атле (1956), "Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле", J. Indian Math. Soc., 20: 47–87
  • Сунада, Т. (1985), "Римановы накрытия и изоспектральные многообразия", Анналы математики, 121 (1): 169–186, Дои:10.2307/1971195, JSTOR  1971195
  • Виньера, Мари-Франс (1980), "Римские римские изоспектральные и неизометрические варианты", Анналы математики, Анналы математики, 112 (1): 21–32, Дои:10.2307/1971319, JSTOR  1971319
  • Вольперт, Скотт (1977), «Спектр собственных значений как модули для компактных римановых поверхностей» (PDF), Бык. Амер. Математика. Soc., 83 (6): 1306–1308, Дои:10.1090 / S0002-9904-1977-14425-X
  • Вольперт, Скотт (1979), "Спектры длин как модули для компактных римановых поверхностей", Анналы математики, 109 (2): 323–351, Дои:10.2307/1971114, JSTOR  1971114