Спектральная теория нормальных C * -алгебр - Spectral theory of normal C*-algebras

В функциональный анализ, каждый C*-алгебра изоморфна подалгебре в C*-алгебра из ограниченные линейные операторы на некоторых Гильбертово пространство ЧАС. В статье описана спектральная теория закрыто нормальный[необходимо разрешение неоднозначности ] подалгебры из

Разрешение личности

На протяжении, ЧАС фиксированный Гильбертово пространство.

А проекционно-оценочная мера на измеримое пространство куда это σ-алгебра подмножеств это отображение такой, что для всех это самосопряженный проекция на ЧАС (т.е. - линейный ограниченный оператор это удовлетворяет и ) такие, что

(куда является тождественным оператором ЧАС) и для каждого Икс и у в ЧАС, функция определяется это комплексная мера на (то есть комплекснозначный счетно аддитивный функция).

А разрешение личности[1] на измеримое пространство это функция так что для каждого :

  1. ;
  2. ;
  3. для каждого это самосопряженный проекция на ЧАС;
  4. для каждого Икс и у в ЧАС, карта определяется комплексная мера на ;
  5. ;
  6. если тогда ;

Если это -алгебры всех борелевских множеств на хаусдорфово локально компактном (или компактном) пространстве, то добавляется следующее дополнительное требование:

  1. для каждого Икс и у в ЧАС, карта это регулярная мера Бореля (это автоматически выполняется на компактных метрических пространствах).

Из условий 2, 3 и 4 следует, что является проекционно-значной мерой.

Характеристики

Во всем пусть быть разрешением идентичности. Для всех Икс в ЧАС, положительная мера на с полным изменением и это удовлетворяет для всех [1]

Для каждого :

  • (поскольку оба равны ).[1]
  • Если тогда диапазоны карт и ортогональны друг другу и [1]
  • конечно аддитивен.[1]
  • Если попарно непересекающиеся элементы чей союз и если для всех я тогда [1]
    • Тем не мение, является счетно добавляется только в тривиальных ситуациях, как теперь описано: предположим, что являются попарно непересекающимися элементами чей союз и что частичные суммы сходиться к в (с его топологией нормы) как ; тогда, поскольку норма любой проекции либо 0 или же частичные суммы не могут образовать последовательность Коши, если только все, кроме конечного числа находятся 0.[1]
  • Для любых фиксированных Икс в ЧАС, карта определяется является счетно аддитивным ЧАС-значная мера по
    • Здесь счетно аддитивный означает, что всякий раз, когда являются попарно непересекающимися элементами чей союз тогда частичные суммы сходиться к в ЧАС. Сказано более лаконично: [1]

L(π) - пространство существенно ограниченной функции

В быть разрешением идентичности на

Существенно ограниченные функции

Предполагать комплекснозначный -измеримая функция. Существует уникальное наибольшее открытое подмножество из (упорядочены по включению подмножества) такие, что [2] Чтобы понять почему, позвольте быть основой для топология, состоящая из открытых дисков, и предположим, что - подпоследовательность (возможно, конечная), состоящая из таких множеств, что ; тогда Отметим, что, в частности, если D открытое подмножество такой, что тогда так что (хотя есть и другие способы может равняться 0). В самом деле,

В существенный диапазон из ж определяется как дополнение Это наименьшее замкнутое подмножество который содержит почти для всех (т.е. для всех кроме тех, что в некотором наборе такой, что ).[2] Существенный диапазон - это замкнутое подмножество так что, если это также ограниченное подмножество тогда это компактно.

Функция ж является существенно ограниченный если его существенный диапазон ограничен, и в этом случае определите его существенный супремум, обозначаемый быть супремумом всех в качестве колеблется в основном диапазоне ж.[2]

Пространство существенно ограниченных функций

Позволять - векторное пространство всех ограниченных комплекснозначных -измеримые функции которая становится банаховой алгеброй при нормировании Функция это полунорма на но не обязательно норма. Ядро этой полунормы, является векторным подпространством в который является замкнутым двусторонним идеалом банаховой алгебры [2] Следовательно, частное от к также является банаховой алгеброй, обозначаемой где норма любого элемента равно (поскольку если тогда ) и эта норма составляет в банахову алгебру. Спектр в это существенный диапазон ж.[2] Эта статья будет следовать обычной практике написания ж скорее, чем представлять элементы

Теорема[2] — Позволять быть разрешением идентичности на Существует замкнутая нормальная подалгебра А из и изометрический *-изоморфизм удовлетворяющие следующим свойствам:

  1. для всех Икс и у в ЧАС и что оправдывает обозначение ;
  2. для всех и ;
  3. оператор коммутирует с каждым элементом тогда и только тогда, когда он коммутирует с каждым элементом
  4. если ж простая функция, равная куда это раздел Икс и комплексные числа, тогда (здесь - характеристическая функция);
  5. если ж - предел (в норме ) последовательности простых функций в тогда сходится к в и ;
  6. для каждого

Спектральная теорема

Пространство максимальных идеалов банаховой алгебры А - множество всех комплексных гомоморфизмов который мы обозначим через Для каждого Т в Апреобразование Гельфанда Т это карта определяется дается самая слабая топология, делающая каждое непрерывный. В этой топологии компактное хаусдорфово пространство и каждое Т в А, G (Т) принадлежит которое является пространством непрерывных комплекснозначных функций на Диапазон это спектр и что спектральный радиус равен который [3]

Теорема[4] — Предполагать А замкнутая нормальная подалгебра в который содержит оператор идентичности и разреши - максимальное идеальное пространство А. Позволять - борелевские подмножества Для каждого Т в А, позволять обозначим преобразование Гельфанда Т так что грамм является инъективным отображением Существует уникальное разрешение идентичности что удовлетворяет:

для всех и все ;

обозначение используется для резюмирования этой ситуации. Позволять - обратное преобразованию Гельфанда куда можно канонически идентифицировать как подпространство Позволять B - замыкание (в топологии нормы ) линейной оболочки Тогда верно следующее:

  1. B замкнутая подалгебра в содержащий А;
  2. Существует (линейная мультипликативная) изометрическая *-изоморфизм расширение такой, что для всех ;
    • Напомним, что обозначения Значит это для всех ;
    • Отметим, в частности, что для всех ;
    • Явно, удовлетворяет и для каждого (так что если ж действительно ценится тогда самосопряженный);
  3. Если открыто и непусто (откуда следует, что ) тогда ;
  4. Ограниченный линейный оператор коммутирует с каждым элементом А тогда и только тогда, когда он коммутирует с каждым элементом

Приведенный выше результат может быть специализирован для одного нормального ограниченного оператора.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час Рудин 1991 С. 316-318.
  2. ^ а б c d е ж Рудин 1991 С. 318-321.
  3. ^ Рудин 1991, п. 280.
  4. ^ Рудин 1991 С. 321-325.
  • Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства. Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN  0-521-29882-2. OCLC  589250.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства. Кембриджские трактаты по математике. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
  • Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
  • Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.