Гамильтонова оптика - Hamiltonian optics

Гамильтонова оптика^[1] и Лагранжева оптика^[2] две формулировки геометрическая оптика которые разделяют большую часть математического формализма с Гамильтонова механика и Лагранжева механика.

Принцип Гамильтона

В физика, Принцип Гамильтона утверждает, что эволюция системы ${ Displaystyle влево (q_ {1} влево ( sigma right), cdots, q_ {N} left ( sigma right) right)}$ описанный ${ displaystyle N}$ обобщенные координаты между двумя указанными состояниями при двух указанных параметрах σ_А и σ_B это стационарная точка (точка, где вариация равен нулю), действие функциональный, или же

${ displaystyle delta S = delta int _ { sigma _ {A}} ^ { sigma _ {B}} L left (q_ {1}, cdots, q_ {N}, { dot { q}} _ {1}, cdots, { dot {q}} _ {N}, sigma right) , d sigma = 0}$

куда ${ displaystyle { dot {q}} _ {k} = dq_ {k} / d sigma}$. Условие ${ displaystyle delta S = 0}$ справедливо тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Эйлера-Лагранжа

${ displaystyle { frac { partial L} { partial q_ {k}}} - { frac {d} {d sigma}} { frac { partial L} { partial { dot {q} } _ {k}}} = 0}$

с ${ Displaystyle к = 1, cdots, N}$.

Импульс определяется как

${ displaystyle p_ {k} = { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {k}}}}$

и тогда уравнения Эйлера-Лагранжа можно переписать в виде

${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = { frac { partial L} { partial q_ {k}}}}$

куда ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / d sigma}$.

Другой подход к решению этой проблемы состоит в определении гамильтониана (взяв Преобразование Лежандра из Лагранжиан ) в качестве

${ displaystyle H = sum _ {k} {{ dot {q}} _ {k}} p_ {k} -L}$

для которого новая система дифференциальных уравнений можно вывести глядя на то, как полный дифференциал из Лагранжиан зависит от параметра σ, должности ${ displaystyle q_ {i} ,}$ и их производные ${ displaystyle { dot {q}} _ {i}}$ относительно σ. Этот вывод такой же, как в гамильтоновой механике, только со временем т теперь заменен общим параметром σ. Эти дифференциальные уравнения являются уравнениями Гамильтона

${ displaystyle { frac { partial H} { partial q_ {k}}} = - { dot {p}} _ {k} ,, quad { frac { partial H} { partial p_ {k}}} = { dot {q}} _ {k} ,, quad { frac { partial H} { partial sigma}} = - { partial L over partial sigma} ,.}$

с ${ Displaystyle к = 1, cdots, N}$. Уравнения Гамильтона первого порядка дифференциальные уравнения, а уравнения Эйлера-Лагранжа второго порядка.

Лагранжева оптика

Общие результаты, представленные выше для Принцип Гамильтона может применяться к оптике.^[3][4] В 3D евклидово пространство то обобщенные координаты теперь координаты евклидово пространство.

Принцип Ферма

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, по которому свет проходит между двумя фиксированными точками, А и B, является стационарной точкой. Это может быть максимум, минимум, постоянный или точка перегиба. В общем, когда свет распространяется, он движется в среде переменного показатель преломления который является скалярное поле положения в пространстве, то есть ${ Displaystyle п = п влево (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right)}$ в 3D евклидово пространство. Если предположить, что свет движется по Икс₃ оси путь светового луча может быть параметризован как ${ Displaystyle s = left (x_ {1} left (x_ {3} right), x_ {2} left (x_ {3} right), x_ {3} right)}$ начиная с точки ${ displaystyle mathbf {A} = left (x_ {1} left (x_ {3A} right), x_ {2} left (x_ {3A} right), x_ {3A} right)}$ и заканчивается в точке ${ Displaystyle mathbf {B} = left (x_ {1} left (x_ {3B} right), x_ {2} left (x_ {3B} right), x_ {3B} right)}$. В этом случае по сравнению с Принцип Гамильтона выше, координаты ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${ displaystyle q_ {k}}$ пока ${ displaystyle x_ {3}}$ играет роль параметра ${ displaystyle sigma}$, то есть параметр σ =Икс₃ и N=2.

В контексте вариационное исчисление это можно записать как^[2]

${ displaystyle delta S = delta int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} n , ds = delta int _ {x_ {3A}} ^ {x_ {3B}} n { frac {ds} {dx_ {3}}} , dx_ {3} = delta int _ {x_ {3A}} ^ {x_ {3B}} L left (x_ {1}, x_ { 2}, { dot {x}} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, x_ {3} right) , dx_ {3} = 0}$

куда ds бесконечно малое смещение вдоль луча, заданного формулой ${ displaystyle ds = { sqrt {dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}}$ и

${ displaystyle L = n { frac {ds} {dx_ {3}}} = n left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right) { sqrt {1 + { dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2}}}}$

- оптический лагранжиан и ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}$.

В длина оптического пути (OPL) определяется как

${ Displaystyle S = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} n , ds = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} L , dx_ {3}}$

куда п - местный показатель преломления как функция положения на пути между точками А и B.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Общие результаты, представленные выше для Принцип Гамильтона может быть применен к оптике с помощью лагранжиана, определенного в Принцип Ферма. Уравнения Эйлера-Лагранжа с параметром σ =Икс₃ и N= 2 применительно к принципу Ферма приводит к

${ displaystyle { frac { partial L} { partial x_ {k}}} - { frac {d} {dx_ {3}}} { frac { partial L} { partial { dot {x }} _ {k}}} = 0}$

с k= 1,2 и где L - оптический лагранжиан и ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}$.

Оптический импульс

Оптический импульс определяется как

${ displaystyle p_ {k} = { frac { partial L} { partial { dot {x}} _ {k}}}}$

и из определения оптического лагранжиана ${ displaystyle L = N { sqrt {1 + { dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2}}}}$ это выражение можно переписать как

${ displaystyle p_ {k} = n { frac {{ dot {x}} _ {k}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x} }} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} { sqrt {dx_ {1} ^ { 2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} {ds}}}$

Оптический импульс

или в векторной форме

${ displaystyle mathbf {p} = n { frac { mathbf {ds}} {ds}} = left (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3} right)}$

${ Displaystyle = влево (п соз альфа _ {1}, п соз альфа _ {2}, п соз альфа _ {3} справа) = п mathbf { шляпа {е}} }$

куда ${ displaystyle mathbf { hat {e}}}$ это единичный вектор и углы α₁, α₂ и α₃ углы п делает ось Икс₁, Икс₂ и Икс₃ соответственно, как показано на рисунке «оптический момент». Следовательно, оптический импульс - это вектор норма

${ displaystyle | mathbf {p} | = { sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2}}} = n}$

куда п - показатель преломления, при котором п рассчитывается. Вектор п указывает в направлении распространения света. Если свет распространяется в оптика с градиентным индексом путь светового луча изогнут и вектор п касается светового луча.

Выражение для длины оптического пути также можно записать как функцию оптического импульса. Учитывая, что ${ displaystyle { dot {x}} _ {3} = dx_ {3} / dx_ {3} = 1}$ выражение для оптического лагранжиана можно переписать как

${ displaystyle L = n { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = { dot {x}} _ {1} { frac {n { dot {x}} _ {1}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { dot {x}} _ {2} { frac {n { dot {x}} _ {2}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ { 2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { frac {n { dot {x}} _ {3}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}}}$

${ displaystyle = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + { dot {x}} _ {3} p_ {3 } = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + p_ {3}}$

а выражение для длины оптического пути имеет вид

${ Displaystyle S = int L , dx_ {3} = int mathbf {p} cdot d mathbf {s}}$

Уравнения Гамильтона

Аналогично тому, что происходит в Гамильтонова механика, также в оптике гамильтониан определяется выражением, приведенным над за N= 2, соответствующие функциям ${ Displaystyle х_ {1} влево (х_ {3} вправо)}$ и ${ Displaystyle х_ {2} влево (х_ {3} вправо)}$ быть определенным

${ displaystyle H = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} -L}$

Сравнивая это выражение с ${ displaystyle L = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + p_ {3}}$ для лагранжевых результатов в

${ displaystyle H = -p_ {3} = - { sqrt {n ^ {2} -p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}}}}$

И соответствующие уравнения Гамильтона с параметром σ =Икс₃ и k= 1,2 применительно к оптике^[5][6]

${ displaystyle { frac { partial H} { partial x_ {k}}} = - { dot {p}} _ {k} ,, quad { frac { partial H} { partial p_ {k}}} = { dot {x}} _ {k}}$

с ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / dx_ {3}}$ и ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / dx_ {3}}$.

Приложения

Предполагается, что свет движется по Икс₃ ось, дюйм Принцип Гамильтона выше, координаты ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${ displaystyle q_ {k}}$ пока ${ displaystyle x_ {3}}$ играет роль параметра ${ displaystyle sigma}$, то есть параметр σ =Икс₃ и N=2.

Преломление и отражение

Если самолет Икс₁Икс₂ разделяет две среды показателя преломления п_А ниже и п_B над ним показатель преломления определяется как ступенчатая функция

${ displaystyle n (x_ {3}) = { begin {case} n_ {A} & { mbox {if}} x_ {3} <0 n_ {B} & { mbox {if}} x_ {3}> 0 end {case}}}$

и из Уравнения Гамильтона

${ displaystyle { frac { partial H} { partial x_ {k}}} = - { frac { partial} { partial x_ {k}}} { sqrt {n (x_ {3}) ^ {2} -p_ {1} ^ {2} -p_ {2} ^ {2}}} = 0}$

и поэтому ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = 0}$ или же ${ displaystyle p_ {k} = { text {Константа}}}$ за k=1,2.

Входящий световой луч имеет импульс п_А до преломления (ниже плоскости Икс₁Икс₂) и импульс п_B после рефракции (над плоскостью Икс₁Икс₂). Луч света делает угол θ_А с осью Икс₃ (нормаль к преломляющей поверхности) до преломления и угол θ_B с осью Икс₃ после преломления. Поскольку п₁ и п₂ компоненты импульса постоянны, только п₃ меняется с п_3А к п_3B.

Преломление

Рисунок «преломление» показывает геометрию этого преломления, от которой ${ displaystyle d = | mathbf {p} _ {A} | sin theta _ {A} = | mathbf {p} _ {B} | sin theta _ {B}}$. С ${ Displaystyle | mathbf {p} _ {A} | = n_ {A}}$ и ${ Displaystyle | mathbf {p} _ {B} | = n_ {B}}$, это последнее выражение можно записать как

${ displaystyle n_ {A} sin theta _ {A} = n_ {B} sin theta _ {B}}$

который Закон Снеллиуса из преломление.

На рисунке "преломление" нормаль к преломляющей поверхности указывает в направлении оси Икс₃, а также вектора ${ Displaystyle mathbf {v} = mathbf {p} _ {A} - mathbf {p} _ {B}}$. Единица нормальная ${ Displaystyle mathbf {п} = mathbf {v} / | mathbf {v} |}$ к преломляющей поверхности может быть получено из импульсов входящих и выходящих лучей:

${ displaystyle mathbf {n} = { frac { mathbf {p} _ {A} - mathbf {p} _ {B}} { | mathbf {p} _ {A} - mathbf {p } _ {B} |}} = { frac {n_ {A} mathbf {i} -n_ {B} mathbf {r}} { | n_ {A} mathbf {i} -n_ {B } mathbf {r} |}}}$

куда я и р - орты в направлениях падающего и преломленного лучей. Также исходящий луч (в направлении ${ displaystyle mathbf {p} _ {B}}$) содержится в плоскости, определяемой падающим лучом (в направлении ${ displaystyle mathbf {p} _ {A}}$) и нормальный ${ Displaystyle mathbf {п}}$ на поверхность.

Аналогичный аргумент можно использовать для отражение в выводе закона зеркальное отражение, только сейчас с п_А=п_B, в результате чего θ_А=θ_B. Кроме того, если я и р - единичные векторы в направлениях падающего и преломленного луча соответственно, соответствующая нормаль к поверхности дается тем же выражением, что и для преломления, только с п_А=п_B

${ displaystyle mathbf {n} = { frac { mathbf {i} - mathbf {r}} { | mathbf {i} - mathbf {r} |}}}$

В векторной форме, если я - единичный вектор, указывающий в направлении падающего луча, и п единица нормали к поверхности, направление р преломленного луча определяется выражением:^[3]

${ displaystyle mathbf {r} = { frac {n_ {A}} {n_ {B}}} mathbf {i} + left (- left ( mathbf {i} cdot mathbf {n}) right) { frac {n_ {A}} {n_ {B}}} + { sqrt { Delta}} right) mathbf {n}}$

с

${ displaystyle Delta = 1- left ({ frac {n_ {A}} {n_ {B}}} right) ^ {2} left (1- left ( mathbf {i} cdot ) mathbf {n} right) ^ {2} right)}$

Если я·п<0, тогда -п следует использовать в расчетах. Когда ${ displaystyle Delta <0}$, свет страдает полное внутреннее отражение а выражение для отраженного луча - это отражение:

${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {i} -2 left ( mathbf {i} cdot mathbf {n} right) mathbf {n}}$

Лучи и волновые фронты

Из определения длины оптического пути ${ Displaystyle S = int L , dx_ {3}}$

${ displaystyle { frac { partial S} { partial x_ {k}}} = int { frac { partial L} { partial x_ {k}}} , dx_ {3} = int { frac {dp_ {k}} {dx_ {3}}} , dx_ {3} = p_ {k}}$

Лучи и волновые фронты

с k= 1,2, где Уравнения Эйлера-Лагранжа ${ displaystyle partial L / partial x_ {k} = dp_ {k} / dx_ {3}}$ с k= 1,2. Кроме того, из последнего Уравнения Гамильтона ${ displaystyle partial H / partial x_ {3} = - partial L / partial x_ {3}}$ и из ${ displaystyle H = -p_ {3}}$ над

${ displaystyle { frac { partial S} { partial x_ {3}}} = int { frac { partial L} { partial x_ {3}}} , dx_ {3} = int { frac {dp_ {3}} {dx_ {3}}} , dx_ {3} = p_ {3}}$

объединяя уравнения для компонент импульса п приводит к

${ displaystyle mathbf {p} = nabla S}$

С п вектор, касательный к световым лучам, поверхности S= Константа должна быть перпендикулярна этим световым лучам. Эти поверхности называются волновые фронты. Рисунок «Лучи и волновые фронты» иллюстрирует эту взаимосвязь. Также показан оптический импульс п, касательной к световому лучу и перпендикулярной фронту волны.

Векторное поле ${ displaystyle mathbf {p} = nabla S}$ является консервативное векторное поле. В градиентная теорема затем можно применить к длине оптического пути (как указано над ) в результате чего

${ Displaystyle S = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} nabla S cdot d mathbf {s} = S ( mathbf {B}) -S ( mathbf {A})}$

и длина оптического пути S рассчитывается по кривой C между точками А и B является функцией только своих конечных точек А и B а не форму кривой между ними. В частности, если кривая замкнута, она начинается и заканчивается в одной и той же точке, или А=B так что

${ Displaystyle S = oint nabla S cdot d mathbf {s} = 0}$

Этот результат можно применить к замкнутому пути. ABCDA как на рисунке «длина оптического пути»

${ Displaystyle S = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} + int _ { mathbf {B}} ^ { mathbf {C}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} + int _ { mathbf {C}} ^ { mathbf {D}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} + int _ { mathbf {D}} ^ { mathbf {A}} mathbf {p} cdot d mathbf {s} = 0}$

Длина оптического пути

для сегмента кривой AB оптический импульс п перпендикулярно смещению ds по кривой AB, или же ${ Displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = 0}$. То же верно и для сегмента CD. Для сегмента до н.э оптический импульс п имеет то же направление, что и смещение ds и ${ Displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = nds}$. Для сегмента DA оптический импульс п имеет направление, противоположное смещению ds и ${ Displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = -n , ds}$. Однако изменение направления интегрирования так, чтобы интеграл был взят из А к D, ds меняет направление и ${ Displaystyle mathbf {p} cdot d mathbf {s} = n , ds}$. Из этих соображений

${ displaystyle int _ { mathbf {B}} ^ { mathbf {C}} n , ds = int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {D}} n , ds}$

или же

${ Displaystyle S _ { mathbf {BC}} = S _ { mathbf {AD}}}$

и длина оптического пути S_{до н.э} между точками B и C вдоль соединяющего их луча такая же, как и длина оптического пути S_{ОБЪЯВЛЕНИЕ} между точками А и D по лучу, соединяющему их. Длина оптического пути постоянна между фронтами волн.

Фазовое пространство

На рисунке «2D фазовое пространство» вверху показаны световые лучи в двухмерном пространстве. Здесь Икс₂= 0 и п₂= 0, поэтому свет распространяется по плоскости Икс₁Икс₃ по направлениям увеличения Икс₃ значения. В этом случае ${ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = n ^ {2}}$ а направление светового луча полностью определяется п₁ компонент импульса ${ Displaystyle mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {3})}$ поскольку п₂= 0. Если п₁ дано, п₃ могут быть рассчитаны (учитывая значение показателя преломления п) и поэтому п₁ Достаточно определить направление светового луча. Показатель преломления среды, в которой проходит луч, определяется выражением ${ Displaystyle | mathbf {p} | = п}$.

2D фазовое пространство

Например, луч р_C пересекает ось Икс₁ по координате Икс_B с оптическим импульсом п_C, острие которого находится на окружности радиуса п по центру позиции Икс_B. Координаты Икс_B и горизонтальная координата п_1C импульса п_C полностью определить луч р_C как он пересекает ось Икс₁. Тогда этот луч можно определить точкой р_C=(Икс_B,п_1C) в космосе Икс₁п₁ как показано в нижней части рисунка. Космос Икс₁п₁ называется фазовое пространство и разные световые лучи могут быть представлены разными точками в этом пространстве.

Таким образом, луч р_D показанный вверху представлен точкой р_D в фазовом пространстве внизу. Все лучи пересекают ось Икс₁ по координате Икс_B содержится между лучами р_C и р_D представлены вертикальной линией, соединяющей точки р_C и р_D в фазовом пространстве. Соответственно, все лучи, пересекающие ось Икс₁ по координате Икс_А содержится между лучами р_А и р_B представлены вертикальной линией, соединяющей точки р_А и р_B в фазовом пространстве. В общем, все лучи пересекают ось Икс₁ между Икс_L и Икс_р представлены томом р в фазовом пространстве. Лучи на границе ∂р объема р называются краевыми лучами. Например, на позиции Икс_А оси Икс₁, лучи р_А и р_B являются краевыми лучами, поскольку все остальные лучи находятся между этими двумя. (Луч, параллельный x1, не будет между двумя лучами, поскольку импульс не находится между двумя лучами)

В трехмерной геометрии оптический момент определяется выражением ${ Displaystyle mathbf {p} = (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3})}$ с ${ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} = n ^ {2}}$. Если п₁ и п₂ даны, п₃ могут быть рассчитаны (учитывая значение показателя преломления п) и поэтому п₁ и п₂ Достаточно определить направление светового луча. Луч, идущий вдоль оси Икс₃ тогда определяется точкой (Икс₁,Икс₂) в самолете Икс₁Икс₂ и направление (п₁,п₂). Затем он может быть определен точкой в ​​четырехмерном фазовое пространство Икс₁Икс₂п₁п₂.

Сохранение etendue

На рисунке «изменение объема» показан объем V связаны областью А. Со временем, если граница А движется, объем V может различаться. В частности, бесконечно малая площадь dA с направленным наружу блоком нормальный п движется со скоростью v.

Изменение объема

Это приводит к изменению объема ${ Displaystyle dV = dA ( mathbf {v} cdot mathbf {n}) dt}$. Используя Теорема Гаусса, изменение во времени общего объема V объем, движущийся в пространстве,

${ displaystyle { frac {dV} {dt}} = int _ {A} mathbf {v} cdot mathbf {n} , dA = int _ {V} nabla cdot mathbf {v } , dV}$

Самый правый член - это объемный интеграл по объему V а средний член - это поверхностный интеграл через границу А объема V. Также, v - скорость, с которой точки в V движутся.

В координатах оптики ${ displaystyle x_ {3}}$ берет на себя роль времени. В фазовом пространстве луч света идентифицируется точкой ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, p_ {1}, p_ {2})}$ который движется с "скорость " ${ displaystyle mathbf {v} = ({ dot {x}} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, { dot {p}} _ {1}, { dot { p}} _ {2})}$ где точка представляет собой производную относительно ${ displaystyle x_ {3}}$. Набор световых лучей, распространяющихся по ${ displaystyle dx_ {1}}$ в координации ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle dx_ {2}}$ в координации ${ displaystyle x_ {2}}$, ${ displaystyle dp_ {1}}$ в координации ${ displaystyle p_ {1}}$ и ${ displaystyle dp_ {2}}$ в координации ${ displaystyle p_ {2}}$ занимает объем ${ displaystyle dV = dx_ {1} dx_ {2} dp_ {1} dp_ {2}}$ в фазовом пространстве. В общем, большой набор лучей занимает большой объем ${ displaystyle V}$ в фазовом пространстве, к которому Теорема Гаусса может применяться

${ displaystyle { frac {dV} {dx_ {3}}} = int _ {V} nabla cdot mathbf {v} , dV}$

и используя Уравнения Гамильтона

${ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = { frac { partial { dot {x}} _ {1}} { partial x_ {1}}} + { frac { partial { dot {x}} _ {2}} { partial x_ {2}}} + { frac { partial { dot {p}} _ {1}} { partial p_ {1}}} + { frac { partial { dot {p}} _ {2}} { partial p_ {2}}} = { frac { partial} { partial x_ {1}}} { frac { partial H} { partial p_ {1}}} + { frac { partial} { partial x_ {2}}} { frac { partial H} { partial p_ {2}}} - { frac { partial} { partial p_ {1}}} { frac { partial H} { partial x_ {1}}} - { frac { partial} { partial p_ {2}}} { frac { partial H } { partial x_ {2}}} = 0}$

или же ${ displaystyle dV / dx_ {3} = 0}$ и ${ displaystyle dV = dx_ {1} dx_ {2} dp_ {1} dp_ {2} = { text {Constant}}}$ это означает, что объем фазового пространства сохраняется при прохождении света по оптической системе.

Объем, занимаемый набором лучей в фазовом пространстве, называется продолжать, которая сохраняется при прохождении световых лучей в оптической системе вдоль направления Икс₃. Это соответствует Теорема Лиувилля, что также относится к Гамильтонова механика.

Однако смысл теоремы Лиувилля в механике довольно сильно отличается от теоремы о сохранении étendue. Теорема Лиувилля является статистической по своей природе и относится к эволюции во времени ансамбля механических систем с одинаковыми свойствами, но с разными начальными условиями. Каждая система представлена ​​одной точкой в ​​фазовом пространстве, и теорема утверждает, что средняя плотность точек в фазовом пространстве постоянна во времени. Примером могут служить молекулы идеального классического газа, находящиеся в равновесии в контейнере. Каждая точка в фазовом пространстве, которая в этом примере имеет 2N измерений, где N - количество молекул, представляет одну из ансамбля идентичных контейнеров, ансамбля, достаточно большого, чтобы позволить получить статистическое среднее значение плотности репрезентативных точек. Теорема Лиувилля утверждает, что если все контейнеры остаются в равновесии, средняя плотность точек остается постоянной.^[3]

Изображающая и невизуальная оптика

На рисунке "сохранение внешнего вида" слева схематично изображена двумерная оптическая система, в которой Икс₂= 0 и п₂= 0, поэтому свет движется по плоскости Икс₁Икс₃ по направлениям увеличения Икс₃ значения.

Сохранение etendue

Световые лучи, пересекающие входную апертуру оптики в точке Икс₁=Икс_я содержатся между краевыми лучами р_А и р_B представлен вертикальной линией между точками р_А и р_B в фазовом пространстве входной апертуры (правый нижний угол рисунка). Все лучи, пересекающие входную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью р_я.

Кроме того, световые лучи, пересекающие выходную апертуру оптики в точке Икс₁=Икс_О содержатся между краевыми лучами р_А и р_B представлен вертикальной линией между точками р_А и р_B в фазовом пространстве выходной апертуры (правый верхний угол рисунка). Все лучи, пересекающие выходную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью р_О.

Сохранение длины в оптической системе означает, что объем (или площадь в этом двумерном случае) в фазовом пространстве, занимаемый р_я на входной апертуре должен быть таким же, как объем в фазовом пространстве, занимаемый р_О на выходной апертуре.

В оптике формирования изображений все световые лучи, пересекающие входную апертуру на Икс₁=Икс_я перенаправляются им к выходной апертуре на Икс₁=Икс_О куда Икс_я=м х_О. Это гарантирует, что изображение входа формируется на выходе с увеличением м. В фазовом пространстве это означает, что вертикальные линии в фазовом пространстве на входе преобразуются в вертикальные линии на выходе. Это было бы в случае вертикальной линии р_А р_B в р_я преобразован в вертикальную линию р_А р_B в р_О.

В не отображающая оптика, цель состоит не в том, чтобы сформировать изображение, а просто перенести весь свет из входной апертуры в выходную апертуру. Это достигается преобразованием краевых лучей ∂р_я из р_я к краевым лучам ∂р_О из р_О. Это известно как принцип краевого луча.

Обобщения

Выше предполагалось, что свет движется по Икс₃ ось, дюйм Принцип Гамильтона выше, координаты ${ displaystyle x_ {1}}$ и ${ displaystyle x_ {2}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${ displaystyle q_ {k}}$ пока ${ displaystyle x_ {3}}$ играет роль параметра ${ displaystyle sigma}$, то есть параметр σ =Икс₃ и N= 2. Однако возможны различные параметризации световых лучей, а также использование обобщенные координаты.

Общая параметризация лучей

Можно рассмотреть более общую ситуацию, в которой путь светового луча параметризуется как ${ Displaystyle s = left (x_ {1} left ( sigma right), x_ {2} left ( sigma right), x_ {3} left ( sigma right) right)}$ в котором σ - общий параметр. В этом случае по сравнению с Принцип Гамильтона выше, координаты ${ displaystyle x_ {1}}$, ${ displaystyle x_ {2}}$ и ${ displaystyle x_ {3}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${ displaystyle q_ {k}}$ с N= 3. Применение Принцип Гамильтона к оптике в этом случае приводит к

${ displaystyle delta S = delta int _ { mathbf {A}} ^ { mathbf {B}} n , ds = delta int _ { sigma _ {A}} ^ { sigma _ {B}} n { frac {ds} {d sigma}} , d sigma}$

${ displaystyle = delta int _ { sigma _ {A}} ^ { sigma _ {B}} L left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, { dot {x) }} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, { dot {x}} _ {3}, sigma right) , d sigma = 0}$

где сейчас ${ Displaystyle L = nds / d sigma}$ и ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d sigma}$ и для которого уравнения Эйлера-Лагранжа, примененные к этой форме принципа Ферма, приводят к

${ displaystyle { frac { partial L} { partial x_ {k}}} - { frac {d} {d sigma}} { frac { partial L} { partial { dot {x} } _ {k}}} = 0}$

с k= 1,2,3 и где L - оптический лагранжиан. Также в этом случае оптический импульс определяется как

${ displaystyle p_ {k} = { frac { partial L} { partial { dot {x}} _ {k}}}}$

и гамильтониан п определяется выражением, данным над за N= 3, что соответствует функциям ${ Displaystyle х_ {1} влево ( сигма вправо)}$, ${ Displaystyle х_ {2} влево ( сигма вправо)}$ и ${ Displaystyle х_ {3} влево ( сигма вправо)}$ быть определенным

${ displaystyle P = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + { dot {x}} _ {3} p_ { 3} -L}$

И соответствующие уравнения Гамильтона с k= 1,2,3 прикладная оптика

${ displaystyle { frac { partial H} { partial x_ {k}}} = - { dot {p}} _ {k} ,, quad { frac { partial H} { partial p_ {k}}} = { dot {x}} _ {k}}$

с ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d sigma}$ и ${ displaystyle { dot {p}} _ {k} = dp_ {k} / d sigma}$.

Оптический лагранжиан определяется выражением

${ displaystyle L = n { frac {ds} {d sigma}} = n left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right) { sqrt {{ dot {x}) } _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = L left (x_ { 1}, x_ {2}, x_ {3}, { dot {x}} _ {1}, { dot {x}} _ {2}, { dot {x}} _ {3} right )}$

и не зависит явно от параметра σ. По этой причине не все решения уравнений Эйлера-Лагранжа будут возможными световыми лучами, так как их вывод предполагал явную зависимость L на σ чего не бывает в оптике.

Компоненты оптического момента могут быть получены из

${ displaystyle p_ {k} = n { frac {{ dot {x}} _ {k}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x} }} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} { sqrt {dx_ {1} ^ { 2} + dx_ {2} ^ {2} + dx_ {3} ^ {2}}}} = n { frac {dx_ {k}} {ds}}}$

куда ${ displaystyle { dot {x}} _ {k} = dx_ {k} / d sigma}$. Выражение для лагранжиана можно переписать как

${ displaystyle L = n { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}} = { dot {x}} _ {1} { frac {n { dot {x}} _ {1}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { dot {x}} _ {2} { frac {n { dot {x}} _ {2}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ { 2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3} ^ {2}}}} + { dot {x}} _ {3} { frac {n { dot {x}} _ {3}} { sqrt {{ dot {x}} _ {1} ^ {2} + { dot {x}} _ {2} ^ {2} + { dot {x}} _ {3 } ^ {2}}}}}$

${ displaystyle = { dot {x}} _ {1} p_ {1} + { dot {x}} _ {2} p_ {2} + { dot {x}} _ {3} p_ {3 }}$

Сравнивая это выражение для L с этим для гамильтониана п можно сделать вывод, что

${ displaystyle P = 0}$

Из выражений для компонентов ${ displaystyle p_ {k}}$ результатов оптического импульса

${ displaystyle p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} -n ^ {2} left (x_ {1}, x_ {2}, x_ { 3} right) = 0}$

Оптический гамильтониан выбран как

${ displaystyle P = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + p_ {3} ^ {2} -n ^ {2} left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} right) = 0}$

хотя можно было сделать и другой выбор.^[3][4] Уравнения Гамильтона с k= 1,2,3 определено выше вместе с ${ displaystyle P = 0}$ определить возможные световые лучи.

Обобщенные координаты

Как в Гамильтонова механика, также можно записать уравнения гамильтоновой оптики в терминах обобщенные координаты ${ displaystyle left (q_ {1} left ( sigma right), q_ {2} left ( sigma right), q_ {3} left ( sigma right) right)}$, обобщенные импульсы ${ Displaystyle влево (и_ {1} влево ( сигма вправо), и_ {2} влево ( сигма вправо), и_ {3} влево ( сигма вправо) вправо)}$ и гамильтониан п в качестве^[3][4]

${ displaystyle { frac {dq_ {1}} {d sigma}} = { frac { partial P} { partial u_ {1}}} quad quad { frac {du_ {1}} { d sigma}} = - { frac { partial P} { partial q_ {1}}}}$

${ displaystyle { frac {dq_ {2}} {d sigma}} = { frac { partial P} { partial u_ {2}}} quad quad { frac {du_ {2}} { d sigma}} = - { frac { partial P} { partial q_ {2}}}}$

${ displaystyle { frac {dq_ {3}} {d sigma}} = { frac { partial P} { partial u_ {3}}} quad quad { frac {du_ {3}} { d sigma}} = - { frac { partial P} { partial q_ {3}}}}$

${ Displaystyle P = mathbf {p} cdot mathbf {p} -n ^ {2} = 0}$

где оптический импульс определяется выражением

${ displaystyle mathbf {p} = u_ {1} nabla q_ {1} + u_ {2} nabla q_ {2} + u_ {3} nabla q_ {3}}$

${ displaystyle = u_ {1} | nabla q_ {1} | { frac { nabla q_ {1}} { | nabla q_ {1} |}} + u_ {2} | набла q_ {2} | { frac { nabla q_ {2}} { | nabla q_ {2} |}} + u_ {3} | nabla q_ {3} | { frac { nabla q_ {3}} { | nabla q_ {3} |}}}$

${ displaystyle = u_ {1} a_ {1} mathbf { hat {e}} _ {1} + u_ {2} a_ {2} mathbf { hat {e}} _ {2} + u_ { 3} а_ {3} mathbf { hat {e}} _ {3}}$

и ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {1}}$, ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {2}}$ и ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {3}}$ находятся единичные векторы. Частный случай получается, когда эти векторы образуют ортонормированный базис, то есть все они перпендикулярны друг другу. В таком случае, ${ Displaystyle и_ {к} а_ {к} / п}$ косинус угла оптического момента ${ displaystyle mathbf {p}}$ делает единичный вектор ${ displaystyle mathbf { hat {e}} _ {k}}$.

Смотрите также

• Учебные материалы, связанные с простой одномерный вывод гамильтоновой оптики в Викиверситете
• Гамильтонова механика
• Вариационное исчисление

Рекомендации